Exemple 6

Soient $M$ un $A$-module, $S(M)$ l’algèbre symétrique de $M$ (III, p. 67); l’application diagonale $\Delta : x \mapsto (x, x)$ de $M$ dans $M \times M$ est une application $A$-linéaire, à laquelle correspond donc canoniquement un homomorphisme $S(\Delta)$ de la $A$-algèbre $S(M)$ dans la $A$-algèbre $S(M \times M)$ (III, p. 68, prop. 3). D’autre part, on a défini dans III, p. 73, un isomorphisme canonique d’algèbres graduées, $h : S(M \times M) \to S(M) \otimes_A S(M)$; par composition on obtient donc un homomorphisme de A-algèbres, $c = h \circ S(\Delta) : S(M) \to S(M) \otimes_A S(M)$, définissant donc sur $S(M)$ une structure de cogèbre. Pour tout $x \in M$, on a par définition $S(\Delta)(x) = (x, x)$, et la définition de $h$ donnée dans III, p. 73 montre que $h((x, x)) = x \otimes 1 + 1 \otimes x$. Il en résulte que $c$ est l’unique homomorphisme d’algèbre tel que, pour tout $x \in M$, on ait

Comme $c$ est un homomorphisme d’algèbres, on en déduit que, pour toute suite $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $n$ éléments de $M$, on a

la sommation du troisième membre de (5) étant étendue à tous les couples de suites strictement croissantes (éventuellement vides) $i_1 < i_2 < \cdots < i_p,\ j_1 < j_2 < \cdots < j_{n-p}$ d’éléments de $[1, n]$, dont les ensembles d’éléments sont complémentaires. L’élément $c(x_1 x_2 \ldots x_n)$ est un élément de degré total $n$ dans $S(M) \otimes_A S(M)$, et sa composante de bidegré $(p, n-p)$ est

où la sommation est étendue à toutes les permutations $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ qui sont croissantes dans chacun des intervalles $[1, p]$ et $[p+1, n]$.