Exemple 7

Soit $M$ un $A$-module, et procédons pour l’algèbre extérieure $\wedge(M)$ de la même manière que pour $S(M)$ dans l’*Exemple* 6; l’application diagonale $\Delta : M \to M \times M$ définit cette fois un homomorphisme $\wedge(\Delta)$ de la $A$-algèbre $\wedge(M)$ dans la $A$-algèbre $\wedge(M \times M)$ (III, p. 77, prop. 2); on a d’autre part un isomorphisme canonique d’algèbres graduées

(III, p. 84, prop. 10), d’où par composition un homomorphisme d’*algèbres* $c = h \circ \wedge(\Delta) : \wedge(M) \to \wedge(M)^g \otimes_A \wedge(M)$, que l’on peut considérer comme un homomorphisme de $A$-modules $\wedge(M) \to \wedge(M) \otimes_A \wedge(M)$ et qui définit donc sur $\wedge(M)$ une structure de cogèbre. On prouve comme dans l’*Exemple* 6 que $c$ est l’unique homomorphisme d’algèbres tel que pour tout $x \in M$, on a

d’où, pour toute suite $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’éléments de $M$

où le produit du second membre est pris dans l’algèbre $\wedge(M)^g \otimes_A \wedge(M)$; pour calculer ce produit, on considère, pour tout couple de suites strictement croissantes $i_1 < i_2 < \cdots < i_p,\ j_1 < j_2 < \cdots < j_{n-p}$ d’éléments de $[1, n]$, dont les ensembles d’éléments sont complémentaires, le produit $y_1 y_2 \ldots y_n$, où $y_{i_h} = x_{i_h} \otimes 1$ ($1 \leq h \leq p$) et $y_{j_k} = 1 \otimes x_{j_k}$ ($1 \leq k \leq n-p$), et on fait la somme de tous ces produits. Comme l’algèbre graduée $\wedge(M)^g \otimes_A \wedge(M)$ est anticommutative et que les éléments $x_i \otimes 1$ et $1 \otimes x_i$ sont de degré total 1, on a, en vertu de III, p. 45, lemme 3 et de III, p. 44, lemme 1,

$\nu$ étant le nombre de couples $(h, k)$ tels que $j_k < i_h$, et la sommation étant étendue au même ensemble que dans (5) (III, p. 140). L’élément $c(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n)$ est de degré total $n$ dans $\Lambda(M)^g \otimes_A \Lambda(M)$, et sa composante homogène de bidegré $(p, n-p)$ est égale à

la sommation étant étendue aux permutations $\sigma \in S_n$ qui sont croissantes dans chacun des intervalles $[1, p]$ et $[p+1, n]$.

Quand on parlera par la suite de $A^{(\mathbf{x})}$, de $T(M)$, $S(M)$ ou $\Lambda(M)$ comme de cogèbres, il s’agira, sauf mention expresse du contraire, des structures de cogèbres définies dans les exemples 5, 6, 7 et 8 respectivement.