Exemple 8

Étiquette 0DH7, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0DH7].

Algebra, chapter III, § 11. Cogèbres, produits de formes multilinéaires, produits intérieurs et dualité

Soient $E, F$ deux $A$ -cogèbres, $c, c'$ leurs coproduits respectifs. Désignons par $\tau : (E \otimes_A E) \otimes_A (F \otimes_A F) \to (E \otimes_A F) \otimes_A (E \otimes_A F)$ l’isomorphisme d’associativité tel que $\tau((x \otimes x') \otimes (y \otimes y')) = (x \otimes y) \otimes (x' \otimes y')$ pour $x, x'$ dans $E$ et $y, y'$ dans $F$ . Alors l’application linéaire composée

E \otimes_A F \xrightarrow{c \otimes c'} (E \otimes_A E) \otimes_A (F \otimes_A F) \xrightarrow{\tau} (E \otimes_A F) \otimes_A (E \otimes_A F)

définit sur le $A$ -module $E \otimes_A F$ une structure de cogèbre, dite produit tensoriel des cogèbres $E$ et $F$ .

Soient $E$ une cogèbre, $\Delta$ un monoïde commutatif. On dit qu’une graduation $(E_{\lambda})_{\lambda \in \Delta}$ sur le $A$ -module $E$ est compatible avec le coproduit $c$ de $E$ si $c$ est un homomorphisme gradué de degré 0 du $A$ -module gradué $E$ dans le $A$ -module gradué (de type $\Delta$ ) $E \otimes_A E$ , autrement dit (II, p. 173) si l’on a

c(E_{\lambda}) \subset \sum_{\mu + \nu = \lambda} E_{\mu} \otimes_A E_{\nu}.

Dans ce qui suit, nous nous limiterons le plus souvent aux graduations de type $\mathbf{N}$ compatibles avec le produit; une cogèbre munie d’une telle graduation sera encore appelée une cogèbre graduée. Si $F$ est une second cogèbre graduée, un morphisme de cogèbres graduées $\varphi : E \to F$ est par définition un morphisme de cogèbres (III, p. 138, déf. 2) qui est aussi un homomorphisme gradué de degré 0 de $A$ -modules gradués.

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.