Exemple 5

Il est immédiat que la cogèbre $A$ (III, p. 139, Exemple 1) et la cogèbre $A^{(x)}$ (III, p. 139, Exemple 4) sont cocommutatives. Il résulte de la formule (5) de III, p. 140, que la cogèbre $S(M)$ est cocommutative. Enfin, pour qu’une $A$-algèbre $B$, telle que le $A$-module $B$ soit projectif de type fini, ait la propriété que la cogèbre $B^*$ (III, p. 139, Exemple 3) soit cocommutative, il faut et il suffit que $B$ soit commutative; en effet (compte tenu de l’identification canonique du $A$-module $B$ et de son bidual (II, p. 47)), cela résulte de ce que la commutativité du diagramme (15) de III, p. 144, équivaut par transposition à celle du diagramme qui exprime la commutativité de $B$ (III, p. 5).