Exemple 6

L’application identique est la coïunité de la cogèbre A ; sur la cogèbre $A^{(X)}$ (III, p. 139, Exemple 4), la forme linéaire $\gamma$ telle que $\gamma(e_x) = 1$ pour tout $x \in X$ est la coïunité. Sur la cogèbre $T(M)$ (resp. $S(M)$, $\wedge(M)$) la forme linéaire $\gamma$ telle que $\gamma(1) = 1$ et $\gamma(z) = 0$ pour $z$ dans les $T^n(M)$ (resp. $S^n(M)$, $\wedge^n(M)$) pour $n \geqslant 1$, est la coïunité. Enfin, soit B une A-algèbre qui soit un A-module projectif de type fini, et qui possède un élément unité $e$; alors sur la cogèbre $B^*$ (III, p. 139, Exemple 3), la forme linéaire $\gamma : x^* \mapsto \langle e, x^* \rangle$ est la coïunité, car cette forme n’est autre que la transposée de l’application A-linéaire $\eta_e : \xi \mapsto \xi e$ de A dans B, et, par transposition, la commutativité des diagrammes (16) de III, p. 145, se déduit de celle des diagrammes qui expriment (à l’aide de $\eta_e$) que $e$ est élément unité de B (III, p. 6); le même raisonnement montre d’ailleurs qu’inversement, si la cogèbre $B^*$ admet une coïunité $\gamma$, la transposée de $\gamma$ définit un élément unité $e = {}^t\gamma(1)$ de B.