Lemme

Soient $P \in M$ et $x \notin P$; il existe alors $P' \in M$ tel que $P \subset P'$ et que $-x \in P'$

Prenons $P' = P - xP$, et vérifions que $P'$ possède les propriétés requises. Comme $0 \in C \subset P$, on a $P \subset P'$. D’où $C \subset P'$ et $K_+ \subset P'$. Comme $1 \in C \subset P$, on a $-x \in P'$. On a

d’où (AP₁). On a

d’où (AP₂). Vérifions enfin (AP₃) : supposons que nous ayons une égalité de la forme $p - xq = -(r - xs)$ où $p, q, r, s$ appartiennent à $P$; on en déduit la relation $x(s + q) = p + r$; si $(s + q) \neq 0$, on a $x = (s + q)^{-2}(s + q)(p + r) \in CPP \subset P$ contrairement à l’hypothèse ; on a donc $s + q = 0$, d’où $p + r = 0$; comme $P$ vérifie (AP₃) on en déduit $s = q = r = p = 0$, ce qui achève la démonstration.