Remarque

Lorsque le corps ordonné K contient les « racines carrées » d’un élément positif a de K (racines du polynôme $X^2 - a$), on réserve en général la notation $\sqrt{a}$ à celle de ces racines qui est positive. Si K ne contient pas les racines carrées b et – b de a dans le corps E, ce dernier admet deux structures d’extension ordonnée de K, se déduisant l’une de l’autre par le K-automorphisme défini par $b \mapsto -b$; le choix d’une de ces structures d’ordre détermine alors $\sqrt{a}$: c’est celui des éléments b et – b qui est positif.

Si a et a’ sont deux éléments positifs de K, dont les racines carrées sont dans K, on a $\sqrt{aa'} = (\sqrt{a})(\sqrt{a'})$, comme il résulte de la définition de $\sqrt{a}$, et de la règle des signes.

5. Corps ordonnés maximaux