Remarque

La mise sous forme canonique des trinômes donne le résultat plus fort que voici : étant donné un corps ordonné $K$, pour que le polynôme $aX^2 + bX + c$ ait un signe constant dans $K$, il faut et il suffit que $b^2 - 4ac < 0$, et le signe du polynôme est alors celui de $a$.

7. Espaces vectoriels sur un corps ordonné

Soient $K$ un corps ordonné, $E$ un espace vectoriel sur $K$. Dans l’ensemble $E - \{0\}$, la relation « il existe $\lambda > 0$ dans $K$ tel que $y = \lambda x$ » entre $x$ et $y$ est une relation d’équivalence. Les classes d’équivalence pour cette relation sont appelées les demi-droites ouvertes d’origine 0 ; la réunion d’une demi-droite ouverte et de $\{0\}$ est appelée demi-droite fermée (ou quelquefois simplement demi-droite) d’origine 0. Tout vecteur $a \neq 0$ contenu dans une demi-droite ouverte (resp. fermée) $\Delta$ est dit vecteur directeur de $\Delta$, et $\Delta$ est l’ensemble des vecteurs $\lambda a$ pour tous les scalaires $\lambda > 0$ (resp. $\lambda \geq 0$). Toute droite $D$ passant par 0 contient exactement deux demi-droites ouvertes (resp. fermées) d’origine 0 ; si $\Delta$ est l’une d’elles, l’autre est $-\Delta$ (dite opposée de $\Delta$).

Si maintenant $F$ est un espace affine sur $K$, et $E$ l’espace des translations de $F$, on appelle demi-droite ouverte (resp. fermée) d’origine $a \in F$ toute partie de $F$ de la forme $\Delta = a + \Delta_0$, où $\Delta_0$ est une demi-droite ouverte (resp. fermée) de $E$, qui est bien déterminée par la donnée de $\Delta$ (car, pour $b \neq a$ dans $\Delta$, c’est la demi-droite de vecteur directeur $b - a$) et est appelée la direction de $\Delta$ ; un vecteur directeur de $\Delta_0$ est aussi appelé vecteur directeur de $\Delta$.

Supposons maintenant que $E$ soit de dimension finie n sur $K$ ; alors on sait (III, p. 87, cor. 1) que la puissance extérieure n-ième $\Lambda^n E$ est un espace vectoriel de dimension 1 sur K, donc réunion de deux demi-droites fermées opposées d’origine 0. On appelle ces demi-droites les orientations sur E ; l’espace E muni de la structure définie par la donnée d’une de ces demi-droites Δ est dit orienté ; un n-vecteur z est alors dit positif (resp. négatif ) pour cette orientation s’il appartient à Δ (resp. à − Δ) ; il est négatif (resp. positif) pour l’orientation opposée.

Une orientation d’un espace affine F sur K, de dimension finie, est par définition une orientation de l’espace des translations de F ; muni d’une telle orientation, F est appelé un espace affine orienté.

Soit E un espace vectoriel orienté sur K, de dimension n ; une base ordonnée $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ de E est dite positive ou directe (resp. négative ou rétrograde) si le n-vecteur $a_1 \wedge a_2 \wedge \ldots \wedge a_n$ est positif (resp. négatif). Si u est un automorphisme de l’espace vectoriel E, on a $(\Lambda^n u)(z) = \det(u).z$ pour tout $z \in \Lambda^n E$, donc pour que $\Lambda^n u$ laisse invariante l’orientation de E (ou comme on dit encore, pour que u conserve l’orientation) il faut et il suffit que $\det(u) > 0$ ; les automorphismes ayant cette propriété ne sont autres que les automorphismes de la structure d’espace vectoriel orienté de E ; ils forment un sous-groupe distingué $GL^+(E)$ du groupe linéaire $GL(E)$, qui est d’indice 2 dans ce dernier lorsque $E \neq 0$.

Lorsque $E = 0$, $GL(E) = \mathrm{End}(E)$ est réduit à l’application identique $1_E$ et l’on a par définition $\det(1_E) = 1$. On notera que dans ce cas $\Lambda^n E = \Lambda^0 E = K$ par définition ; la demi-droite de K formée des scalaires $\geq 0$ est appelée l’orientation canonique de l’espace réduit à 0.

Soient M, N deux sous-espaces supplémentaires de dimensions p et $n - p$ respectivement dans un espace vectoriel E de dimension n ; si $z'$ (resp. $z''$) est un vecteur $\neq 0$ de $\Lambda^p M$ (resp. de $\Lambda^{n-p} N$), $z' \wedge z''$ est un vecteur $\neq 0$ de $\Lambda^n E$. Lorsqu’on s’est donné une orientation sur M et une orientation sur N, les vecteurs $z' \wedge z''$, pour $z'$ et $z''$ positifs, forment une orientation de E, dite orientation produit de l’orientation de M par l’orientation de N (qui dépend de l’ordre des facteurs lorsque $p(n - p)$ est impair). Inversement, si l’on s’est donné des orientations sur E et sur M, il existe sur N une seule orientation telle que l’orientation donnée sur E soit produit de l’orientation donnée sur M et de cette orientation sur N (dans cet ordre) ; on dit que cette orientation est supplémentaire de l’orientation de M par rapport à celle de E. Si N’ est un second sous-espace supplémentaire de M, la projection canonique $N \to N'$ parallèlement à M transforme l’orientation supplémentaire de N en celle de N’. L’image de l’orientation supplémentaire de N par l’application canonique $N \to E/M$ ne dépend donc pas du supplémentaire choisi N ; on dit que, sur $E/M$, c’est l’orientation quotient de celle de E par celle de M.

Exercises