Lemma 1

Let $\Phi$ be an $\varepsilon$-hermitian form satisfying (T) (resp. the bilinear form associated with a quadratic form Q) on $E$, and let F be a totally isotropic (resp. totally singular) subspace of $E$, not reduced to 0. For every $x \in E$ not orthogonal to F and every $\alpha \in A$, there exists $y \in F$ such that

Put $\Phi(x, x) = \beta + \varepsilon \bar{\beta}$ (resp. $Q(x) = \beta$). For $y \in F$ we then have $\Phi(x + y, x + y) = (\beta + \Phi(x, y)) + \varepsilon (\beta + \Phi(x, y))$ since $\Phi(y, y) = 0$ (resp. $Q(x + y) = \beta + \Phi(x, y)$ since $Q(y) = 0$). Since $x$ is not orthogonal to F, the affine linear function $y \to \Phi(x, y) + \beta$ on F is not constant; it therefore takes the value $\alpha$ for some element $y$ of F, which thus answers the question.

On appelle décomposition de Witt de E toute décomposition de E en somme directe de trois sous-espaces F, F', G tels que F et F' soient totalement isotropes (resp. totalement singuliers) et que G soit non isotrope et soit orthogonal à $F + F'$; si E est de dimension finie, la matrice de $\Phi$ par rapport à une base de E adaptée à une décomposition de Witt de E se met sous la forme

(1)

On dit que $\Phi$ est une forme neutre si elle est non dégénérée et si E est de dimension finie et est somme directe de deux sous-espaces totalement isotropes (resp. totalement singuliers). La somme directe de deux formes neutres est une forme neutre.