a) Les applications u ~ , α , β , π , π ~ , δ \tilde{u},\, \alpha,\, \beta,\, \pi,\, \tilde{\pi},\, \delta u ~ , α , β , π , π ~ , δ sont des morphismes de complexes : on a u = β ∘ u ~ , π = π ~ ∘ α , β ∘ α = 1 C u = \beta \circ \tilde{u},\, \pi = \tilde{\pi} \circ \alpha,\, \beta \circ \alpha = 1_C u = β ∘ u ~ , π = π ~ ∘ α , β ∘ α = 1 C
b) Les suites de morphismes de complexes
(6)
0 → C ′ → u ~ C y l ( u ) → π ~ C o n ( u ) → 0 0 \to C' \xrightarrow{\tilde{u}} \mathrm{Cyl}\,(u) \xrightarrow{\tilde{\pi}} \mathrm{Con}\,(u) \to 0 0 → C ′ u ~ Cyl ( u ) π ~ Con ( u ) → 0 (7)
0 → C → π C o n ( u ) → δ C ′ ( − 1 ) → 0 0 \to C \xrightarrow{\pi} \mathrm{Con}\,(u) \xrightarrow{\delta} C'(-1) \to 0 0 → C π Con ( u ) δ C ′ ( − 1 ) → 0 sont exactes .
c) Les morphismes α : C → C y l ( u ) \alpha : C \to \mathrm{Cyl}\,(u) α : C → Cyl ( u ) et β : C y l ( u ) → C \beta : \mathrm{Cyl}\,(u) \to C β : Cyl ( u ) → C sont des homotopismes réciproques l'un de l'autre à homotopie près .
L'assertion a) est équivalente aux formules
u ~ ∘ d ′ = D ‾ ∘ u ~ , α ∘ d = D ‾ ∘ α , β ∘ D ‾ = d ∘ β , π ∘ d = D ∘ π , π ~ ∘ D ‾ = D ∘ π ~ , δ ∘ D = − d ′ ∘ δ , u = β ∘ u ~ , π = π ~ ∘ α , β ∘ α = 1 C
\begin{align*}
\tilde{u} \circ d' &= \overline{D} \circ \tilde{u}\,, & \alpha \circ d &= \overline{D} \circ \alpha\,, & \beta \circ \overline{D} &= d \circ \beta\,, & \pi \circ d &= D \circ \pi\,, \\
\tilde{\pi} \circ \overline{D} &= D \circ \tilde{\pi}\,, & \delta \circ D &= -d' \circ \delta\,, & u &= \beta \circ \tilde{u}\,, & \pi &= \tilde{\pi} \circ \alpha\,, & \beta \circ \alpha &= 1_C
\end{align*}
u ~ ∘ d ′ π ~ ∘ D = D ∘ u ~ , = D ∘ π ~ , α ∘ d δ ∘ D = D ∘ α , = − d ′ ∘ δ , β ∘ D u = d ∘ β , = β ∘ u ~ , π ∘ d π = D ∘ π , = π ~ ∘ α , β ∘ α = 1 C qui se vérifient par des calculs immédiats. L'assertion b) est triviale. Démontrons c) ; on a d'une part β ∘ α = 1 C \beta \circ \alpha = 1_C β ∘ α = 1 C σ : C y l ( u ) → C y l ( u ) \sigma : \mathrm{Cyl}\,(u) \to \mathrm{Cyl}\,(u) σ : Cyl ( u ) → Cyl ( u ) A \mathbf{A} A σ ( x ′ , y ′ , x ) = ( 0 , x ′ , 0 ) \sigma(x',\,y',\,x) = (0,\,x',\,0) σ ( x ′ , y ′ , x ) = ( 0 , x ′ , 0 )
D ‾ ∘ σ + σ ∘ D ‾ + α ∘ β = 1 C y l ( u ) ,
\overline{D} \circ \sigma + \sigma \circ \overline{D} + \alpha \circ \beta = 1_{\mathrm{Cyl}\,(u)}\,,
D ∘ σ + σ ∘ D + α ∘ β = 1 Cyl ( u ) , d'où c) .
On peut résumer la prop. 7 par le diagramme commutatif suivant, où les lignes sont exactes, et où les flèches verticales sont des homotopismes :
0 ⟶ C → π C o n ( u ) → δ C ′ ( − 1 ) ⟶ 0 ↓ α ↓ 1 0 ⟶ C ′ → u ~ C y l ( u ) → π ~ C o n ( u ) ⟶ 0 ↓ 1 ↓ β C ′ → u C
\begin{array}{ccccccccc}
0 & \longrightarrow & C & \xrightarrow{\pi} & \mathrm{Con}\,(u) & \xrightarrow{\delta} & C'(-1) & \longrightarrow & 0 \\
& & \downarrow^{\alpha} & & \downarrow^1 & & & & \\
0 & \longrightarrow & C' & \xrightarrow{\tilde{u}} & \mathrm{Cyl}\,(u) & \xrightarrow{\tilde{\pi}} & \mathrm{Con}\,(u) & \longrightarrow & 0 \\
& & \downarrow^1 & & \downarrow^{\beta} & & & & \\
& & C' & \xrightarrow{u} & C & & & &
\end{array}
0 0 ⟶ ⟶ C ↓ α C ′ ↓ 1 C ′ π u ~ u Con ( u ) ↓ 1 Cyl ( u ) ↓ β C δ π ~ C ′ ( − 1 ) Con ( u ) ⟶ ⟶ 0 0 Bourbaki puts the proof directly after the statement, so what is above is the statement and its proof together.
Nothing.
Nothing.