§ 2. Complexes de A-modules

§ 2. Complexes de a-modules

Dans ce paragraphe, on désigne par $A$ un anneau. Lorsque nous parlerons de $A$ -modules sans préciser, il sera toujours question de $A$ -modules à gauche.

Nous appellerons modules gradués les modules gradués de type $\mathbf{Z}$ (II, p. 164).

Si $M$ est un $A$ -module gradué, de graduation $(M_n)_{n\in\mathbf{Z}}$ , on pose $M^n=M_{-n}$ et on dit que $M_n$ (resp. $M^n$ ) est la composante homogène de degré descendant $n$ (resp. de degré ascendant $n$ ) de $M$ . Si $u:M\to N$ est un homomorphisme gradué de degré $p$ de $A$ -modules gradués (II, p. 166), on note $u_n:M_n\to M_{n+p}$ (resp. $u^n:M^n\to M^{n-p}$ ) l’homomorphisme déduit de $u$ ; on l’appelle la composante homogène de degré descendant (resp. ascendant) $n$ de $u$ ; on dit aussi que $u$ est de degré descendant $p$ ou de degré ascendant $-p$ .

1. Complexes de A-modules

Définition 1

Un complexe différentiel de A-modules est un couple $(C,d)$ formé d’un $A$ -module gradué $C$ et d’un endomorphisme $d:C\to C$ gradué de degré descendant $-1$ et tel que $d\circ d=0$ .

On dit aussi complexe de A-modules, ou A-complexe, ou complexe. On écrit souvent C au lieu de (C, d) ; l’endomorphisme d s’appelle la différentielle du complexe (C, d), ou par abus de langage de C.

Si C_n (resp. C^n) est la composante homogène de degré descendant (resp. ascendant) n de C, la donnée de d équivaut à celle de la suite d’homomorphismes

(1)

\cdots \longrightarrow C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} C_n \xrightarrow{d_n} C_{n-1} \longrightarrow \cdots

resp.

(1')

\cdots \longrightarrow C^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} C^n \xrightarrow{d^n} C^{n+1} \longrightarrow \cdots

telle que

d_n \circ d_{n+1} = 0

pour tout

n \in \mathbf{Z}

(resp.

d^n \circ d^{n-1} = 0

pour tout

n \in \mathbf{Z}

). Par abus de langage, on appellera aussi complexe la donnée d’une telle suite de A-modules et d’homomorphismes.

On remarquera, à titre mnémotechnique, que lorsqu’on « suit le sens des flèches » dans les diagrammes (1) et (1’), le degré descendant diminue et le degré ascendant augmente.

Tout A-module gradué sera tacitement considéré comme un complexe en le munissant de la différentielle nulle ; les complexes ainsi obtenus seront appelés complexes à différentielle nulle. En particulier, tout A-module M sera muni de l’unique structure de A-complexe telle que $M_0 = M^0 = M$ . Le complexe (C, d) est dit nul si C est réduit à 0. Dans la suite, on note 0 un complexe nul, choisi une fois pour toutes.

Adjoignons à l’ensemble ordonné $\mathbf{Z}$ deux éléments notés $-\infty$ et $+\infty$ ; notons $\overline{\mathbf{Z}}$ l’ensemble obtenu, et munissons-le de la relation d’ordre prolongeant celle de $\mathbf{Z}$ et telle que $-\infty < n < +\infty$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$ ; toute partie de $\overline{\mathbf{Z}}$ possède une borne inférieure et une borne supérieure.

Soit C un complexe ; on appelle bornes droite et gauche $^1$ de C les éléments $b_d(C)$ et $b_g(C)$ de $\overline{\mathbf{Z}}$ définis par

b_d(C) = \inf \{ n \in \mathbf{Z}, C_n \neq 0 \}, \quad b_g(C) = \sup \{ n \in \mathbf{Z}, C_n \neq 0 \}.

On dit que C est nul à droite si

b_d(C) \geqslant 0

, borné à droite si

b_d(C) \neq -\infty

, nul à gauche si

b_g(C) \leqslant 0

, borné à gauche si

b_g(C) \neq +\infty

; on dit que C est borné si

b_d(C) \neq -\infty, \quad b_g(C) \neq +\infty.

On appelle longueur

^2

de C et on note

l(C)

l’élément de

\overline{\mathbf{Z}}

défini comme suit : si C est nul,

l(C) = -\infty

; si C est borné et non nul

l(C) = b_g(C) - b_d(C)

; si C

$^1$ Les mots de droite et gauche sont relatifs à la description de C à l’aide des diagrammes (1) et (1’). $^2$ On ne confondra pas la notion de longueur du complexe (C, d) et celle de longueur du module C (II, p. 21).

n’est pas borné, $l(C) = + \infty$ . \* Avec les conventions de TG, IV, p. 13-17, on a toujours $l(C) = b_g(C) - b_d(C)$ . \*

Par exemple, si $k$ composantes consécutives de $C$ sont non nulles, les autres étant nulles, on a $l(C) = k - 1$ si $k > 0$ , $l(C) = - \infty$ si $k = 0$ .

On dit que le complexe $(C, d)$ est libre, projectif, plat, injectif, si chacun des modules $C_n$ l’est. On notera que le complexe $(C, d)$ est projectif ou plat si et seulement si le module $C$ l’est (II, p. 39, prop. 3 et X, p. 8, prop. 4), mais que $C$ peut être libre sans que le complexe $(C, d)$ le soit (puisqu’un facteur direct d’un module libre n’est pas toujours libre), de même que $(C, d)$ peut être injectif sans que $C$ le soit (X, p. 170, exercice 21).

Soit $(C, d)$ un complexe. On pose $Z(C, d) = \mathrm{Ker}\,(d)$ , $B(C, d) = \mathrm{Im}\,(d)$ ; ce sont des sous-modules gradués de $C$ , appelés respectivement le module des cycles et le module des bords de $(C, d)$ ; les composantes homogènes de $Z(C, d)$ et $B(C, d)$ se notent $Z_n(C, d) = Z^{-n}(C, d)$ , $B_n(C, d) = B^{-n}(C, d)$ ; on a $Z_n(C, d) = \mathrm{Ker}\,(d_n)$ , $B_n(C, d) = \mathrm{Im}\,(d_{n+1})$ , $Z^n(C, d) = \mathrm{Ker}\,(d^n)$ , $B^n(C, d) = \mathrm{Im}\,(d^{n-1})$ .

Puisque $d \circ d = 0$ , on a $B(C) \subset Z(C)$ ; deux cycles sont dits homologues si leur différence est un bord; le module gradué quotient $H(C, d) = Z(C, d)/B(C, d)$ est appelé le module d’homologie de $(C, d)$ ; ses éléments sont les classes d’homologie; ses composantes homogènes sont notées $H_n(C, d) = H^{-n}(C, d)$ .

Exemple

Si $C$ est à différentielle nulle, on a $Z(C) = C$ , $B(C) = 0$ et $H(C)$ s’identifie canoniquement à $C$ .

On a des suites exactes, dites canoniques :

(I $_n$ )

0 \to Z_n(C) \to C_n \xrightarrow{\delta_n} B_{n-1}(C) \to 0

(II

_n

)

0 \to B_n(C) \to Z_n(C) \to H_n(C) \to 0

(III

_n

)

0 \to B_n(C) \to C_n \to C_n/B_n(C) \to 0

(IV

_n

)

0 \to H_n(C) \to C_n/B_n(C) \xrightarrow{\overline{\delta}_n} B_{n-1}(C) \to 0

où $\delta_n$ et $\overline{\delta}_n$ sont déduits de $d_n$ . Par combinaison de (IV $_n$ ) et (II $_{n-1}$ ), on obtient la suite exacte

(V $_n$ )

0 \to H_n(C) \to C_n/B_n(C) \to Z_{n-1}(C) \to H_{n-1}(C) \to 0 ,

qui s’écrit aussi, changeant $n$ en $-n$

(V $^n$ )

0 \to H^n(C) \to C^n/B^n(C) \to Z^{n+1}(C) \to H^{n+1}(C) \to 0 .

Définition 2

Soient $(C, d)$ et $(C', d')$ deux complexes. Un morphisme $^1$ de $(C, d)$ dans $(C', d')$ est un A-homomorphisme gradué $u$ de degré 0 de $C$ dans $C'$ tel que

d' \circ u = u \circ d .

¹ Ou morphisme de degré 0 (cf. X, p. 81).

Pour tout $n$ , on a donc $d'_n \circ u_n = u_{n-1} \circ d_n$ et ${d''}^n \circ u^n = u^{n+1} \circ d^n$ . On a

u(Z(C)) \subset Z(C') , \quad u(B(C)) \subset B(C') ,

et on note

Z(u) : Z(C) \to Z(C')

B(u) : B(C) \to B(C')

H(u) : H(C) \to H(C')

, les homomorphismes de A-modules qu’on en déduit ; les composantes homogènes de ces morphismes sont notées

Z_n(u)

Z^n(u)

, ...

Si $v$ est un autre morphisme de $(C, d)$ dans $(C', d')$ , alors $u + v$ est un morphisme de $(C, d)$ dans $(C', d')$ , et on a

Z(u + v) = Z(u) + Z(v) , \quad B(u + v) = B(u) + B(v) , \quad H(u + v) = H(u) + H(v) .

De même, si

A

est une algèbre sur un anneau commutatif

k

, et si

\lambda \in k

, alors

\lambda u

est un morphisme de

(C, d)

dans

(C', d')

et on a

Z(\lambda u) = \lambda Z(u) , \quad B(\lambda u) = \lambda B(u) , \quad H(\lambda u) = \lambda H(u) .

u' : (C', d') \to (C'', d'')

est un autre morphisme de complexes, alors

u' \circ u

est un morphisme de

(C, d)

dans

(C'', d'')

et on a

Z(u' \circ u) = Z(u') \circ Z(u) , \quad B(u' \circ u) = B(u') \circ B(u) , \quad H(u' \circ u) = H(u') \circ H(u) .

Il est clair qu’un morphisme bijectif est un isomorphisme.

Définition 3

Soient $(C, d)$ et $(C', d')$ deux complexes. Un homologisme (ou quasi-isomorphisme) de $(C, d)$ dans $(C', d')$ est un morphisme $u$ de $(C, d)$ dans $(C', d')$ tel que $H(u)$ soit bijectif.

Tout isomorphisme est un homologisme, tout morphisme composé d’homologismes est un homologisme.

On dit que $(C, d)$ est d’homologie nulle si $H(C) = 0$ , c’est-à-dire si l’unique morphisme de complexes $0 \to C$ (resp. $C \to 0$ ) est un homologisme. On dit que $(C, d)$ est acyclique en degré descendant $n$ (resp. en degré ascendant $n$ ) si $H_n(C) = 0$ (resp. $H^n(C) = 0$ ).

Soient $(C, d)$ un complexe et $p \in \mathbf{Z}$ . On appelle $p$ -ième translaté de $(C, d)$ le complexe $(C(p), d(p))$ obtenu comme suit : $C(p)$ est le A-module obtenu par décalage de $p$ de la graduation de $C$ (II, p. 163; exemple 3), de sorte que

C(p)_n = C_{n+p} , \quad C(p)^n = C^{n-p} ;

en particulier

C(p)_0 = C_p

; on notera aussi que

C

est la somme directe de ses sous-modules gradués

C_p(-p)

p \in \mathbf{Z}

(resp.

C^p(p)

p \in \mathbf{Z}

). On pose

d(p) = (-1)^p d

. On a

Z(C(p)) = Z(C)(p)

B(C(p)) = B(C)(p)

H(C(p)) = H(C)(p)

Par exemple, $d$ est un morphisme de complexes de $C$ dans $C(-1)$ et

H(d) : H(C) \to H(C)(-1)

est nul.

Pour tout morphisme de complexes $u : (C,d) \to (C',d')$ , et tout $p \in \mathbf{Z}$ , $u$ est aussi un morphisme de $(C(p),d(p))$ dans $(C'(p),d'(p))$ ; on le note parfois $u(p)$ et on a

u(p)_n = u_{n+p}, \qquad u(p)^n = u^{n-p}.

2. Opérations sur les complexes

Sur l’ensemble $A \times A$ , les deux lois

(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')

(a,b)(a',b') = (aa',ab'+ba')

définissent une structure d’anneau, notée $A(\varepsilon)$ , d’élément unité $1=(1,0)$ ; l’injection $a \mapsto (a,0)=a1$ permet d’identifier $A$ à un sous-anneau de $A(\varepsilon)$ ; le module $A(\varepsilon)$ est libre de base $\{1,\varepsilon\}$ où $\varepsilon=(0,1)$ ; on a $\varepsilon^2=0$ et $\varepsilon$ est central dans $A(\varepsilon)$ .

Lorsque $A$ est commutatif, $A(\varepsilon)$ est une algèbre de nombres duaux sur $A$ (III, p. 15).

Munissons $A(\varepsilon)$ de la graduation d’anneau (II, p. 164) pour laquelle $A(\varepsilon)_0=A\mathbin{.}1$ , $A(\varepsilon)_{-1}=A\mathbin{.}\varepsilon$ et $A(\varepsilon)_n=0$ pour $n\neq 0,-1$ . Il est clair que se donner une structure de $A$ -complexe sur un ensemble $C$ revient à se donner sur $C$ une structure de $A(\varepsilon)$ -module gradué, la différentielle $d$ correspondant à l’homothétie $\varepsilon_C$ ; de même les morphismes de complexes correspondent aux homomorphismes gradués de degré 0 de $A(\varepsilon)$ -modules gradués. Les espèces de structure de $A(\varepsilon)$ -modules gradués et de $A$ -complexes sont donc équivalentes (E, IV, p. 9-10). Nous utiliserons ce fait pour transporter à la théorie des complexes, les notions usuelles de la théorie des modules gradués.

A la notion de sous- $A(\varepsilon)$ -module gradué correspond celle de sous-complexe : un sous-complexe du complexe $(C,d)$ est donc un sous-module gradué $C'$ de $C$ tel que, pour tout $n\in\mathbf{Z}$ , $d_n(C'_n)\subset C'_{n-1}$ ; si on note $d'$ le $A$ -homomorphisme gradué de $C'$ dans $C'$ déduit de $d$ , alors $(C',d')$ est une structure de complexe, dite induite par $(C,d)$ . Sauf mention expresse du contraire, tout sous-complexe sera muni de la structure induite.

Nous laissons au lecteur le soin d’expli de même les notions de complexe-quotient, suite exacte de complexes, noyau, conoyau, image d’un morphisme de complexes, suivant le dictionnaire ci-dessous :

\begin{array}{rcl} A(\varepsilon)\text{-module gradué quotient} & = & \textit{complexe quotient},\\[2mm] \left. \begin{array}{l} \text{noyau, conoyau, image d’un }A(\varepsilon)\text{-}\\ \text{homomorphisme gradué de degré 0} \end{array} \right\} & = & \begin{array}{l} \textit{noyau, conoyau, image d’un morphisme}\\ \textit{de complexes}, \end{array}\\[4mm] \left. \begin{array}{l} \text{suite exacte de }A(\varepsilon)\text{-modules gradués et d’homomorphismes gradués}\\ \text{de degré 0} \end{array} \right\} & = & \textit{suite exacte de complexes.} \end{array}

Par exemple, les suites exactes canoniques du n° 1 donnent des suites exactes de complexes, dites canoniques

(I) $0 \to Z(C) \to C \xrightarrow{\delta} B(C) (-1) \to 0$ , (II) $0 \to B(C) \to Z(C) \to H(C) \to 0$ , (III) $0 \to B(C) \to C \to C/B(C) \to 0$ , (IV) $0 \to H(C) \to C/B(C) \xrightarrow{\delta} B(C) (-1) \to 0$ , (V) $0 \to H(C) \to C/B(C) \to Z(C) (-1) \to H(C) (-1) \to 0$ .

On définit de même les notions de somme directe de complexes, système inductif de complexes, limite inductive d’un système inductif de complexes.

Soit $(C_i, d_i)$ une famille de complexes. On appelle produit de cette famille et on note $\prod_{i \in I} (C_i, d_i)$ le complexe $(C, d)$ obtenu comme suit :

a) pour chaque $n \in \mathbf{Z}$ , $C_n$ est le A-module produit $\prod_{i \in I} (C_i)_n$ des composantes homogènes $(C_i)_n$ des complexes donnés, b) pour chaque $n \in \mathbf{Z}$ , $d_n : C_n \to C_{n-1}$ est le A-homomorphisme de composantes $(d_i)_n$ .

Lorsque I est fini, $\prod_{i \in I} (C_i, d_i)$ est égal à $\bigoplus_{i \in I} (C_i, d_i)$ . On prendra garde qu’en général, le A-module sous-jacent au complexe produit $\prod_{i \in I} (C_i, d_i)$ n’est pas le A-module produit $\prod_{i \in I} C_i$ .

Considérons une famille (resp. un système inductif filtrant) $(C_i)_{i \in I}$ de complexes. Soit C la somme directe (resp. la limite inductive) des $C_i$ , et soient $\alpha_i : C_i \to C$ les homomorphismes canoniques. Alors les $H(\alpha_i) : H(C_i) \to H(C)$ définissent un homomorphisme gradué de degré 0, dit canonique, de $\bigoplus_{i \in I} H(C_i)$ (resp. $\varprojlim_{i \in I} H(C_i)$ ) dans $H(C)$ . De même, les projections canoniques $\prod_{i \in I} C_i \to C_i$ définissent un homomorphisme gradué de degré 0, dit canonique, de $H(\prod_{i \in I} C_i)$ dans $\prod_{i \in I} (H(C_i))$ .

Proposition 1

Pour toute famille de complexes $(C_i)_{i \in I}$ , les homomorphismes canoniques

\bigoplus_{i \in I} H(C_i) \to H(\bigoplus_{i \in I} C_i), \quad H(\prod_{i \in I} C_i) \to \prod_{i \in I} H(C_i)

sont bijectifs.

Pour tout système inductif filtrant de complexes $(C_i)_{i \in I}$ , l’homomorphisme canonique

\varprojlim_{i \in I} H(C_i) \to H(\varprojlim_{i \in I} C_i)

est bijectif.

Cela résulte aussitôt de II, p. 14, cor. 1 à la prop. 7, p. 11, cor. à la prop. 5, et p. 91, prop. 3.

3. L’homomorphisme de liaison et la suite exacte d’homologie

Dans ce numéro, on considère une suite exacte de complexes

0 \longrightarrow C' \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} C'' \longrightarrow 0 ;

notons par la même lettre

d

les différentielles de

C, C'

C''

Soit $\Gamma$ l’ensemble des $x \in C$ tels que $dx \in \operatorname{Im}(u)$ ; pour $x \in \Gamma$ , on a

d(\bar{u}^{-1}(dx)) = \bar{u}^{-1}(dd(x)) = 0 ,

donc

\bar{u}^{-1}(dx) \in Z(C')

; on a aussi

dv(x) = v(dx) \in \operatorname{Im}(v \circ u) = 0

, donc

v(x) \in Z(C'')

; considérons alors l’application linéaire

\varphi : \Gamma \to H(C'') \times H(C')

qui applique tout élément

x \in \Gamma

sur la classe de

(v(x), \bar{u}^{-1}(dx))

Lemme 1

L’image $\varphi(\Gamma)$ de $\Gamma$ dans $H(C'') \times H(C')$ est le graphe d’un A-homomorphisme gradué de degré $-1$ de $H(C'')$ dans $H(C')$ .

a) Si $x \in \Gamma$ et si $v(x) \in B(C'')$ , alors $\bar{u}^{-1}(dx) \in B(C')$ : il existe en effet $z'' \in C''$ tel que $v(x) = dz''$ , puis $z \in C$ tel que $z'' = v(z)$ , donc $v(x) = v(dz)$ , puis $t' \in C'$ tel que $x - dz = u(t')$ , ce qui donne $dx = u(dt')$ , donc $\bar{u}^{-1}(dx) = dt' \in B(C')$ .

b) Tout élément de $Z(C'')$ est l’image par $v$ d’un élément $x$ de $C$ tel que $v(dx) = 0$ , i.e. $dx \in \operatorname{Im} u$ , c’est-à-dire tel que $x \in \Gamma$ .

c) Il résulte de a) et b) que $\varphi(\Gamma)$ est bien un graphe fonctionnel ; comme $\varphi$ est bihomogène de bidegré $(0, -1)$ , cela achève la démonstration.

L’homomorphisme gradué de degré $-1$ de $H(C'')$ dans $H(C')$ ainsi défini s’appelle l’homomorphisme de liaison relatif à la suite exacte $(u, v)$ ; on le note $\partial(u, v)$ ou $\partial_{u,v}$ ou simplement $\partial$ . Ses composantes homogènes sont notées

\partial_n(u, v) : H_n(C'') \to H_{n-1}(C') \quad \text{et} \quad \partial^n(u, v) : H^n(C'') \to H^{n+1}(C') .

Par définition, pour construire l’image d’une classe $\alpha \in H_n(C'')$ par $\partial$ , on choisit un cycle $z'' \in Z_n(C'')$ dans la classe $\alpha$ , puis un élément $x$ de $C_n$ tel que $v(x) = z''$ ; alors $dx$ est de la forme $u(t')$ , $t' \in C'_{n-1}$ , et $\partial(\alpha)$ est la classe d’homologie de $t'$ .

En termes de correspondances, $\partial_n(u, v)$ s’obtient donc à partir de la correspondance $\bar{u}_{n-1}^{-1} \circ d_n \circ \bar{v}_n^{-1}$ entre $C''_n$ et $C'_{n-1}$ , par passage aux sous-ensembles $Z_n(C'')$ et $Z_{n-1}(C')$ , puis à leurs quotients $H_n(C'')$ et $H_{n-1}(C')$ . Cela montre notamment que, si on remplace $C, C', C'', u, v$ par $C(p), C'(p), C''(p), u(p), v(p)$ , on a

\partial(u(p), v(p)) = (-1)^p \partial(u, v) ;

de même, si

\lambda

\mu

sont deux éléments inversibles du centre de

A

, on a

\partial(\lambda u, \mu v) = \lambda^{-1} \mu^{-1} \partial(u, v) .

On peut aussi relier $\partial(u, v)$ au diagramme du serpent (X, p. 4). D’après loc. cit., prop. 2, les suites

0 \longrightarrow Z_n(C') \xrightarrow{Z_n(u)} Z_n(C) \xrightarrow{Z_n(v)} Z_n(C'')

C'_n/B_n(C') \xrightarrow{\overline{u}_n} C_n/B_n(C) \xrightarrow{\overline{v}_n} C''_n/B_n(C'') \longrightarrow 0 ,

où $\overline{u}_n$ et $\overline{v}_n$ sont déduits de $u$ et $v$ , sont exactes. Utilisant les suites exactes canoniques $(V_n)$ , on obtient un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes

\begin{array}{ccccccccc} &&0&&0&&0&&\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ &&H_n(C')&\xrightarrow{H_n(u)}&H_n(C)&\xrightarrow{H_n(v)}&H_n(C'')&&\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ 0&\longrightarrow&C'_n/B_n(C')&\xrightarrow{\overline{u}_n}&C_n/B_n(C)&\xrightarrow{\overline{v}_n}&C''_n/B_n(C'')&\longrightarrow&0\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ 0&\longrightarrow&Z_{n-1}(C')&\xrightarrow{Z_{n-1}(u)}&Z_{n-1}(C)&\xrightarrow{Z_{n-1}(v)}&Z_{n-1}(C'')&&\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ &&H_{n-1}(C')&\xrightarrow{H_{n-1}(u)}&H_{n-1}(C)&\xrightarrow{H_{n-1}(v)}&H_{n-1}(C'')&&\\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\\ &&0&&0&&0&& \end{array}

L’homomorphisme $H_n(C'')\to H_{n-1}(C')$ associé à ce diagramme (loc. cit., prop. 2, (iii)) coïncide par construction avec $\partial_n(u,v)$ . Cela entraîne en outre que la suite d’homomorphismes $(H_n(u),\ H_n(v),\ \partial_n(u,v),\ H_{n-1}(u),\ H_{n-1}(v))$ est exacte ; par conséquent :

Théorème 1

La suite illimitée d’homomorphismes de* $A$ -*modules

\cdots \longrightarrow H_{n+1}(C'') \xrightarrow{\partial_{n+1}(u,v)} H_n(C') \xrightarrow{H_n(u)} H_n(C) \xrightarrow{H_n(v)} H_n(C'')

\xrightarrow{\partial_n(u,v)} H_{n-1}(C') \xrightarrow{H_{n-1}(u)} H_{n-1}(C) \xrightarrow{H_{n-1}(v)} H_{n-1}(C'') \xrightarrow{\partial_{n-1}(u,v)} H_{n-2}(C') \longrightarrow \cdots

est exacte.

Cette suite s’appelle la suite exacte d’homologie associée à la suite exacte $(u,v)$ ; on l’écrit parfois sous la forme d’un triangle exact de $A$ -*modules*

\begin{array}{ccc} &&H(C)\\ &\nearrow^{H(u)}&\searrow^{H(v)}\\ H(C')&\xleftarrow{\partial(u,v)}&H(C'') . \end{array}

Corollaire 1

Si deux des complexes* $C$ , $C'$ , $C''$ sont d’homologie nulle, le troisième l’est aussi. Pour que $u$ (resp. $v$ *) soit un homomorphisme, il faut et il suffit que* $C''$ (resp. $C'$ *) soit d’homologie nulle. Pour que* $\partial(u,v)$ soit bijectif, il faut et il suffit que $C$ *soit d’homologie nulle.

Corollaire 2

Soit u un morphisme de complexes. Si Ker u et Coker u sont d’homologie nulle, alors u est un homologisme.

En effet, soit u : E → E’ un morphisme de complexes. Si Ker u (resp. Coker u) est d’homologie nulle, alors le morphisme canonique E → Im u (resp. Im u → E’) est un homologisme d’après le corollaire 1.

Proposition 2

Considérons un diagramme commutatif de complexes à lignes exactes

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & C' & \xrightarrow{u} & C & \xrightarrow{v} & C'' & \longrightarrow & 0 \\ & & f' \downarrow & & f \downarrow & & f'' \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & C'_1 & \xrightarrow{u_1} & C_1 & \xrightarrow{v_1} & C''_1 & \longrightarrow & 0 . \end{array}

Alors $\mathrm{H}(f') \circ \partial(u, v) = \partial(u_1, v_1) \circ \mathrm{H}(f'')$ .

Soit $\alpha'' \in \mathrm{H}(C'')$ ; soient $z''$ un cycle de classe $\alpha''$ et $x$ un élément de $C$ tel que $v(x) = z''$ ; on a

(\partial_{u_1, v_1} \circ \mathrm{H}(f'')) (\alpha'') = \partial_{u_1, v_1}(\overline{f''(z'')}) = \overline{u_1^{-1}(df(x))} = \overline{f'(u_1^{-1}(dx))} = = \mathrm{H}(f') (\overline{u^{-1}(dx)}) = (\mathrm{H}(f') \circ \partial_{u, v}) (\alpha'') .

Exemple

Soit C un complexe. Considérons la suite exacte canonique

(I)

0 \longrightarrow Z(C) \xrightarrow{j} C \xrightarrow{\delta} B(C) (-1) \longrightarrow 0 ,

et soit

i : B(C) \to Z(C)

l’injection canonique. Alors l’homomorphisme de liaison

\partial(j, \delta) : \mathrm{H}(B(C)) (-1) \to \mathrm{H}(Z(C)) (-1)

s’identifie à

\mathrm{H}(i) (-1)

, comme on le vérifie aussitôt. Comme

\mathrm{H}(\delta) = 0

, la suite exacte d’homologie associée à (I) se décompose en les suites exactes courtes

(II_n)

0 \longrightarrow B_n(C) \xrightarrow{i} Z_n(C) \xrightarrow{\mathrm{H}(j)} H_n(C) \longrightarrow 0 .

\* Applications :

1) Homologie singulière

Soit A un anneau. Pour tout espace topologique X, on définit le complexe singulier $C(X, A)$ de X à coefficients dans A de la façon suivante :

Dans $\mathbf{R}^{(N)}$ , notons $(e_n)$ la base canonique ; on appelle n-simplexe canonique l’enveloppe convexe $\Delta_n$ de $\{ e_0, ..., e_n \}$ . Pour $i \in \{ 0, ..., n \}$ , on définit l’application affine $\iota_i : \Delta_{n-1} \to \Delta_n$ par $\iota_i(e_k) = e_k$ pour $k < i$ et $\iota_i(e_k) = e_{k+1}$ pour $k \geq i$ . On note $C_n(X, A)$ le A-module $A^{(\Sigma_n(X))}$ , où $\Sigma_n(X)$ est l’ensemble des applications continues de $\Delta_n$ dans X ; pour $n < 0$ , on pose $C_n = 0$ . Pour $i \in \{ 0, ..., n \}$ , on définit l’application linéaire $\partial_{n, i} : C_n(X, A) \to C_{n-1}(X, A)$ par $\partial_{n, i}(e_s) = e_{s \circ \iota_i}$ pour $s \in \Sigma_n(X)$ , et on pose $d_n = \Sigma (-1)^i \partial_{n, i}$ . On vérifie que

... C_n(X, A) \xrightarrow{d_n} C_{n-1}(X, A) \to ...

est un complexe. Son homologie est appelée l’homologie singulière de X à coefficients dans A et se note $\mathrm{H}(X, A)$ ou simplement $\mathrm{H}(X)$ .

Si Y est un sous-espace de X, on note $C(X, Y, A)$ le complexe quotient $C(X, A)/C(Y, A)$ , et $\mathrm{H}(X, Y, A)$ son homologie. Il résulte du théorème 1 que l’on a une suite exacte :

... \to \mathrm{H}_n(Y, A) \to \mathrm{H}_n(X, A) \to \mathrm{H}_n(X, Y, A) \to \mathrm{H}_{n-1}(Y, A) \to \mathrm{H}_{n-1}(X, A) \to ...

2) Complexes cellulaires finis

Soit X un espace topologique séparé. Une décomposition cellulaire finie de X est donnée par une suite croissante $(X_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ de sous-espaces fermés de X satisfaisant aux conditions suivantes : (i) $X_n = \varnothing$ pour $n < 0$ ; (ii) il existe un N tel que $X_N = X$ (donc $X_n = X$ pour $n > N$ ); (iii) pour tout n, l’espace $X_n - X_{n-1}$ n’a qu’un nombre fini de composantes connexes, appelées cellules de dimension n; (iv) pour tout n, et pour toute composante connexe C de $X_n - X_{n-1}$ , il existe un homéomorphisme de la boule euclidienne ouverte $\hat{B}_n$ de dimension n (TG, VI, p. 10) sur C qui se prolonge en une application continue de la boule fermée dans X.

On peut montrer que ces conditions entraînent que $H_n(X_n, X_{n-1}, A)$ est un A-module libre $\Gamma_n$ de rang égal au nombre de cellules de dimension n, et que $H_i(X_n, X_{n-1}, A) = 0$ pour $i \neq n$ . On a $C(X_n, X_{n-1}, A) = C(X_n, X_{n-2}, A)/C(X_{n-1}, X_{n-2}, A)$ , d’où une suite exacte

H_n(X_n, X_{n-2}) \longrightarrow H_n(X_n, X_{n-1}) \xrightarrow{d_n} H_{n-1}(X_{n-1}, X_{n-2}) \longrightarrow H_{n-1}(X_n, X_{n-2}) ,

comportant un homomorphisme de liaison $d_n : \Gamma_n \to \Gamma_{n-1}$ . On a $d_n \circ d_{n+1} = 0$ , ce qui permet de définir un complexe $\Gamma : \cdots \to \Gamma_n \xrightarrow{d_n} \Gamma_{n-1} \to \cdots$ .

La suite exacte

H_{n+1}(X_p, X_{p-1}) \to H_n(X_{p-1}) \to H_n(X_p) \to H_n(X_p, X_{p-1}) \to H_{n-1}(X_{p-1})

montre par récurrence sur p que $H_n(X_p) = 0$ pour $p < n$ , que $H_n(X_n) = \mathrm{Ker}\,(d_n : \Gamma_n \to \Gamma_{n-1})$ et que $H_n(X_p) = H_n(\Gamma)$ pour $p > n$ . En particulier $H_n(X)$ s’identifie à $H_n(\Gamma)$ .

Exemple

Considérons le produit de sphères $S_2 \times S_2$ et l’espace projectif complexe $P_2(\mathbf{C})$ . Soit $b \in S_2$ , on définit une décomposition cellulaire $(Y_n)$ de $Y = S_2 \times S_2$ en posant

Y_0 = Y_1 = \{ (b, b) \} , \quad Y_2 = Y_3 = (\{ b \} \times S_2) \cup (S_2 \times \{ b \}) \quad \text{et} \quad Y_4 = S_2 \times S_2 ;

cette décomposition comporte une cellule de dimension 0, deux de dimension 2 et une de dimension 4. Les différentielles du complexe associé sont nécessairement nulles, donc $H_0(Y)$ , $H_2(Y)$ et $H_4(Y)$ sont libres de rang 1, 2 et 1 respectivement, et $H_n(Y) = 0$ pour $n \notin \{ 0, 2, 4 \}$ . On obtient une décomposition cellulaire $(Z_n)$ de $P_2(\mathbf{C})$ en posant

Z_0 = Z_1 = \{ c \} , \quad Z_2 = Z_3 = P_1(\mathbf{C}) , \quad Z_4 = P_2(\mathbf{C}) ,

l’espace $P_1(\mathbf{C})$ étant plongé dans $P_2(\mathbf{C})$ (TG, VIII, p. 20), et c étant un point de $P_1(\mathbf{C})$ ; cette décomposition comporte une cellule de dimension 0, une de dimension 2 et une de dimension 4. Ici encore les différentielles du complexe sont nécessairement nulles, et il en résulte que $H_n(P_2(\mathbf{C}))$ est isomorphe à A pour $n \in \{ 0, 2, 4 \}$ et à 0 sinon. Comme les modules d’homologie en degré 2 des deux espaces considérés sont libres de rang 2 et 1 respectivement, ces espaces ne sont pas homéomorphes. \

4. Homotopies

Définition 4

Soient $(C, d)$ et $(C', d')$ deux complexes, $f$ et $g$ deux morphismes de C dans $C'$ . On appelle homotopie reliant $f$ à $g$ tout A-homomorphisme gradué s de degré 1 de C dans $C'$ tel que $g - f = d' \circ s + s \circ d$ . On dit que $f$ et $g$ sont homotopes, s’il existe une homotopie reliant $f$ à $g$ . Si $h$ est un troisième morphisme de C dans $C'$ et si $s$ (resp. $t$ ) est une homotopie reliant $f$ à $g$ (resp. $g$ à $h$ ), alors $s + t$ est une homotopie reliant $f$ à $h$ ; par suite, la relation « $f$ et $g$ sont deux morphismes homotopes de $C$ dans $C'$ » est une relation d’équivalence, dont les classes sont appelées les classes d’homotopie de morphismes de $C$ dans $C'$ .

\* Etant donnés deux espaces topologiques $X$ et $Y$ , et une application continue $f : X \to Y$ , on définit une application linéaire $f_*$ du complexe singulier (cf. n° 3) $C(X, A)$ dans $C(Y, A)$ en posant $f_*(e_s) = e_{f \circ s}$ pour $s \in \Sigma_n(X)$ . Cette application est un morphisme de complexes. Deux applications continues $f$ et $g$ de $X$ dans $Y$ sont dites topologiquement homotopes s’il existe une application continue $h$ de $[0, 1] \times X$ dans $Y$ telle que $h(0, x) = f(x)$ et $h(1, x) = g(x)$ pour tout $x \in X$ . On montre que, si $f$ et $g$ sont topologiquement homotopes, les morphismes $f_*$ et $g_*$ sont homotopes au sens de la définition 4 ci-dessus. C’est ce fait qui est à l’origine de la terminologie utilisée en algèbre. \*

Proposition 3

Si $f$ et $g$ sont deux morphismes homotopes de $C$ dans $C'$ , alors $\mathrm{H}(f) = \mathrm{H}(g)$ .* Soit $s$ une homotopie reliant $f$ à $g$ . On a

(g - f)(\mathbf{Z}(C)) = (d' \circ s + s \circ d)(\mathbf{Z}(C)) = (d' \circ s)(\mathbf{Z}(C)) \subset \mathbf{B}(C') ,

donc

\mathrm{H}(g - f) = 0

\mathrm{H}(g) = \mathrm{H}(f)

Corollaire

Un morphisme homotope à un homologisme est un homologisme.

Proposition 4

Soient $C, C', D, D'$ quatre complexes, $f : C \to C'$ , $g : C \to C'$ , $u : D \to C$ , $v : C' \to D'$ quatre morphismes. Si $s$ est une homotopie reliant $f$ à $g$ , alors $v \circ s \circ u$ est une homotopie reliant $v \circ f \circ u$ à $v \circ g \circ u$ . Si $f$ et $g$ sont homotopes, $v \circ f \circ u$ et $v \circ g \circ u$ le sont aussi.* C’est clair.

Corollaire

Soient $C, C', C''$ trois complexes, $f$ et $g$ deux morphismes de $C$ dans $C'$ , $f_1$ et $g_1$ deux morphismes de $C'$ dans $C''$ . Si $s$ et $s_1$ sont des homotopies reliant $f$ à $g$ et $f_1$ à $g_1$ respectivement, alors $s_1 \circ f + g_1 \circ s$ est une homotopie reliant $f_1 \circ f$ à $g_1 \circ g$ . Si $f$ et $f_1$ sont homotopes à $g$ et $g_1$ respectivement, alors $f_1 \circ f$ est homotope à $g_1 \circ g$ . En effet, $s_1 \circ f$ relie $f_1 \circ f$ à $g_1 \circ f$ et $g_1 \circ s$ relie $g_1 \circ f$ à $g_1 \circ g$ .

Définition 5

Un morphisme de complexes $f : C \to C'$ est appelé un homotopisme s’il existe un morphisme $f' : C' \to C$ tel que $f' \circ f$ et $f \circ f'$ soient homotopes à $1_C$ et $1_{C'}$ respectivement.* Il est clair que $f'$ est alors aussi un homotopisme ; on dit aussi que $f'$ est réciproque de $f$ à homotopie près. Si $f'$ et $f'_1$ sont tous deux réciproques de $f$ à homotopie près, alors $f'$ et $f'_1$ sont homotopes (en effet d’après le corollaire précédent, $f'_1 = f'_1 \circ 1_{C'}$ est homotope à $f'_1 \circ f \circ f'$ , donc à $1_C \circ f' = f'$ ).

Proposition 5

Un homotopisme est un homologisme ; un morphisme composé d’homotopismes est un homotopisme. Un morphisme homotope à un homotopisme est un homotopisme.* Soient $f : C \to C'$ et $f_1 : C' \to C''$ des homotopismes de complexes, $f' : C' \to C$ et $f'_1 : C'' \to C'$ des morphismes réciproques à homotopie près. On a

\mathrm{H}(f') \circ \mathrm{H}(f) = \mathrm{H}(f' \circ f) = \mathrm{H}(1_C) = 1_{\mathrm{H}(C)} \quad (\text{prop. 3})

et de même $\mathrm{H}(f) \circ \mathrm{H}(f') = 1_{\mathrm{H}(C')}$ , donc $\mathrm{H}(f)$ est bijectif et $f$ est un homologisme. D’autre part, $(f' \circ f'_1) \circ (f_1 \circ f)$ est homotope à $f' \circ 1_C' \circ f$ (prop. 4), donc à $1_C$ ; de même, $(f_1 \circ f) \circ (f' \circ f'_1)$ est homotope à $1_{C''}$ et $f_1 \circ f$ est un homotopisme. Enfin, si $g : C \to C'$ est un morphisme homotope à $f$ , $f' \circ g$ est homotope à $f' \circ f$ , donc à $1_C$ ; de même, $g \circ f'$ est homotope à $f \circ f'$ , donc à $1_{C'}$ et $g$ est un homotopisme.

Corollaire

Soient $C, C', D, D'$ quatre complexes, $f : C \to C'$ un morphisme, $u : D \to C$ et $v : C' \to D'$ des homotopismes. Pour que $v \circ f \circ u$ soit un homotopisme (resp. un homologisme), il faut et il suffit que $f$ en soit un.

Si $f$ est un homotopisme (resp. un homologisme), alors $v \circ f \circ u$ est composé d’homotopismes (resp. d’homologismes), donc en est un. Inversement, soit $\overline{u}$ et $\overline{v}$ des morphismes réciproques de $u$ et $v$ à homotopie près ; alors $\overline{v} \circ (v \circ f \circ u) \circ \overline{u}$ est homotope à $f$ d’après la prop. 4 ; d’où la conclusion d’après la prop. 5, et le corollaire de la prop. 3.

On dit que le complexe $C$ est homotope à zéro si $1_C$ est homotope à l’application nulle, c’est-à-dire s’il existe un $A$ -endomorphisme gradué $s$ de degré 1 de $C$ tel que $1_C = s \circ d + d \circ s$ . Cela revient aussi à dire que l’unique morphisme $0 \to C$ (resp. $C \to 0$ ) est un homotopisme. Un complexe homotope à zéro est d’homologie nulle (prop. 5).

Exemple

Soient $u : M \to N$ et $v : N \to P$ des homomorphismes de $A$ -modules tels que $v \circ u = 0$ ; soit $C$ le complexe tel que $C_2 = M, C_1 = N, C_0 = P, C_i = 0$ pour $i \neq 0, 1, 2$ , $d_2 = u, d_1 = v, d_i = 0$ pour $i \neq 1, 2$ . Alors $C$ est d’homologie nulle si et seulement si la suite $0 \to M \xrightarrow{u} N \xrightarrow{v} P \to 0$ est exacte. Il est homotope à zéro si et seulement si cette suite est scindée. En effet, dire que $C$ est homotope à zéro signifie qu’il existe des $A$ -homomorphismes $s : P \to N$ et $t : N \to M$ tels que $v \circ s = 1_P, s \circ v + u \circ t = 1_N, t \circ u = 1_M$ ; cela implique que la suite est scindée ; inversement si $s$ est une section $A$ -linéaire de $v$ , on définit $t$ par $u \circ t = 1_N - s \circ v$ , ce qui est possible puisque $v \circ (1_N - s \circ v) = v - v \circ s \circ v = 0$ .

5. Complexes scindés

Proposition 6

Soit $(C, d)$ un complexe. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) il existe un homotopisme de $(C, d)$ sur $(\mathrm{H}(C), 0)$ ; (ii) il existe un $A$ -endomorphisme $s$ de $C$ , gradué de degré 1, tel que $d = d \circ s \circ d$ ; (iii) $B(C)$ et $Z(C)$ sont des sous-modules facteurs directs de $C$ ; (iv) $(C, d)$ est somme directe de sous-complexes qui sont soit de longueur 0, soit de longueur 1 et d’homologie nulle.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : soit $\varphi : C \to \mathrm{H}(C)$ un homotopisme ; il existe alors un morphisme de complexes $\psi : \mathrm{H}(C) \to C$ et un endomorphisme $s$ de $C$ , gradué de degré 1 tel que $\psi \circ \varphi = 1_C - s \circ d - d \circ s$ . On a $d \circ \psi = \psi \circ 0 = 0$ , donc

0 = d \circ \psi \circ \varphi = d - d \circ s \circ d - d \circ d \circ s = d - d \circ s \circ d ,

d’où (ii) .

$(ii) \Rightarrow (iii)$ : soit $s$ comme dans (ii). Alors $d \circ (1_C-s\circ d)=0$ , donc $1_C-s\circ d$ est un projecteur de $C$ sur $Z(C)$ , et $(d\circ s)\circ d=d$ , donc $d\circ s$ est un projecteur de $C$ sur $B(C)$ .

$(iii) \Rightarrow (iv)$ : pour chaque $n\in\mathbf{Z}$ , posons $Z_n=Z_n(C)$ , $B_n=B_n(C)$ et choisissons des sous-modules $K_n$ et $B'_n$ de $C_n$ tels que $C_n=B'_n\oplus Z_n$ , $Z_n=K_n\oplus B_n$ . Alors

E_{(n)}=K_n(-n)\quad\text{et}\quad F_{(n)}=B'_n(-n)\oplus B_{n-1}(1-n)

sont des sous-complexes de $(C,d)$ ; on a

(C,d)=\bigoplus_{n\in\mathbf{Z}}(E_{(n)}\oplus F_{(n)})

; chaque $E_{(n)}$ est, soit nul, soit de longueur $0$ , chaque $F_{(n)}$ est soit nul, soit de longueur $1$ et d’homologie nulle, d’où (iv).

$(iv) \Rightarrow (i)$ : il suffit de remarquer que (i) est satisfait lorsque $C$ est de longueur zéro, ou d’homologie nulle et de longueur 1.

Définition 6

Un complexe $C$ est dit scindé s’il satisfait aux conditions équivalentes de la prop. 6.

Un endomorphisme $s$ de $C$ satisfaisant à la condition (ii) de la prop. 6 est appelé une scission de $C$ .

Exemple 1

Un complexe à différentielle nulle est scindé.

Exemple 2

Les complexes homotopes à zéro sont les complexes scindés d’homologie nulle, i.e. les complexes $C$ tels que $H(C)=0$ et que $Z(C)$ soit facteur direct dans $C$ .

Exemple 3

Soient $f:M\to N$ un homomorphisme de A-modules et $C$ le complexe tel que $C_1=M$ , $C_0=N$ , $C_i=0$ pour $i\ne0,1$ , $d_1=f$ , $d_i=0$ pour $i\ne1$ . Alors $C$ est scindé si et seulement si $\operatorname{Ker}f$ est facteur direct dans $M$ et $\operatorname{Im}f$ facteur direct dans $N$ .

Exemple 4

Le complexe $C$ est scindé dès que $B(C)$ et $H(C)$ sont projectifs (resp. dès que $B_n(C)$ et $H_n(C)$ sont injectifs pour chaque $n$ ).* En effet, d’après les suites exactes $(I_n)$ à $(IV_n)$ du n° 1, $Z(C)$ est alors facteur direct dans $C$ et $B(C)$ facteur direct de $Z(C)$ (resp. $B(C)$ est facteur direct dans $C$ et $Z(C)/B(C)$ facteur direct dans $C/B(C)$ ).

Exemple 5

En particulier, si A est principal, un complexe libre $C$ est scindé si et seulement si $H(C)$ est libre (c’est-à-dire $H_n(C)$ libre pour tout $n\in\mathbf{Z}$ ).

Remarque

a) Supposons que la suite exacte canonique de A-modules gradués

\tag{II} 0\longrightarrow B(C)\longrightarrow Z(C)\xrightarrow{\pi}H(C)\longrightarrow0

soit scindée (cela a lieu par exemple si $H(C)$ est projectif, ou $B_n(C)$ injectif pour chaque $n$ ) ; soit $\sigma:H(C)\to Z(C)$ une section A-linéaire graduée de $\pi$ , et soit $\psi$ l’homomorphisme $x\mapsto\sigma(x)$ de $H(C)$ dans $C$ . Alors $\psi$ est un homologisme de $(H(C),0)$ dans $C$ , tel que

H(\psi)=1_{H(C)}.

b) Supposons que la suite exacte canonique de A-modules gradués

\tag{IV} 0\longrightarrow H(C)\xrightarrow{i}C/B(C)\longrightarrow B(C)(-1)\longrightarrow0

soit scindée (cela a lieu par exemple si $B(C)$ est projectif, ou $H_n(C)$ injectif pour chaque $n$ ); soit $\tau : C/B(C) \to H(C)$ une rétraction A-linéaire graduée de $i$ et $\varphi$ l’homomorphisme de $C$ dans $H(C)$ qui associe à chaque élément de $C$ l’image par $\tau$ de sa classe modulo $B(C)$ . Alors $\varphi$ est un homologisme de $C$ dans $(H(C), 0)$ tel que $H(\varphi) = 1_{H(C)}$ .

6. Cône et cylindre d’un morphisme de complexes

Soit $u : (C', d') \to (C, d)$ un morphisme de complexes. Soient $\mathrm{Cyl}\,(u)$ et $\mathrm{Con}\,(u)$ les A-modules gradués $\mathrm{Cyl}\,(u) = C' \oplus C'(-1) \oplus C$ , $\mathrm{Con}\,(u) = C'(-1) \oplus C$ , et définissons des applications A-linéaires graduées de degré $(-1)$

\overline{D} : \mathrm{Cyl}\,(u) \to \mathrm{Cyl}\,(u) , \quad \overline{D}(x', y', x) = (d'x' + y', -d'y', dx - u(y')),

D : \mathrm{Con}\,(u) \to \mathrm{Con}\,(u) , \quad D(y', x) = (-d'y', dx - u(y')) .

(Ici, et dans la suite, on note $x, y, \ldots$ des éléments arbitraires de $C$ , $x', y', \ldots$ des éléments arbitraires de $C'$ .)

Lemme 2

(Cyl $(u)$ , $\overline{D}$ ) et (Con $(u)$ , $D$ ) sont des complexes de A-modules.

En effet, on a

\overline{D} \circ \overline{D}(x', y', x) = \overline{D}(d'x' + y', -d'y', dx - u(y')) =

= (d'(d'x' + y') - d'y', -d'(-d'y'), d(dx - u(y')) - u(-d'y')) = 0

puisque

d' \circ d' = 0

d \circ d = 0

d \circ u = u \circ d'

. De même

D \circ D = 0

Définition 7

Les complexes* $\mathrm{Cyl}\,(u)$ et $\mathrm{Con}\,(u)$ sont appelés respectivement le cylindre et le cône du morphisme $u$ .

Exemple

Soit $u : M \to N$ un homomorphisme de A-modules ; alors les seules composantes homogènes non nulles de $\mathrm{Cyl}\,(u)$ et $\mathrm{Con}\,(u)$ sont

\mathrm{Cyl}_1\,(u) = M , \qquad \mathrm{Cyl}_0\,(u) = M \oplus N ,

\mathrm{Con}_1\,(u) = M , \qquad \mathrm{Con}_0\,(u) = N ,

et on a

\overline{D}(m) = (m, -u(m))

D(m) = -u(m)

pour

m \in M

; par conséquent,

H_1(\mathrm{Con}\,(u)) = \mathrm{Ker}\,(u) , \quad H_0(\mathrm{Con}\,(u)) = \mathrm{Coker}\,(u) .

Soient* $X$ et $Y$ deux espaces topologiques et $f$ une application continue de $X$ dans $Y$ . On appelle cylindre de $f$ l’espace quotient $\mathrm{Cyl}\,(f)$ de la somme topologique de $[0, 1] \times X$ et $Y$ par la relation d’équivalence identifiant le point $(1, x)$ de $[0, 1] \times X$ au point $f(x)$ de $Y$ pour tout $x \in X$ . On appelle cône de $f$ l’espace quotient $\mathrm{Con}\,(f)$ de la somme topologique d’un espace réduit à un point $s$ et de $\mathrm{Cyl}\,(f)$ par la relation d’équivalence identifiant $s$ à l’image de $(0, x)$ pour tout $x \in X$ : on note encore $s$ l’image de $s$ dans $\mathrm{Con}\,(f)$ .

Supposons $X$ et $Y$ munis de décompositions cellulaires $(X_n)$ et $(Y_n)$ (cf. n° 3), et supposons $f(X_n) \subset Y_n$ pour tout $n$ . On obtient une décomposition cellulaire $(S_n)$ de $\mathrm{Cyl}\,(f)$ (resp. de $\mathrm{Con}\,(f)$ ) en prenant pour $S_n$ l’image de $(\{0\} \times X_n) \cup ([0, 1] \times X_{n-1}) \cup Y_n$

(\text{resp. de } \{s\} \cup ([0, 1] \times X_{n-1}) \cup Y_n , \quad \text{si } n \geqslant 0) .

Notons

\Gamma(X), \Gamma(Y), \Gamma(\mathrm{Cyl}\,(f)), \Gamma(\mathrm{Con}\,(f))

les complexes associés à ces décompositions cellulaires.

Le complexe $\Gamma(s)$ associé à l’espace $\{ s \}$ muni de son unique décomposition cellulaire est réduit au module $\mathbf{A}$ et s’identifie à un sous-complexe de $\Gamma(\mathrm{Con}\,(f))$ ; notons $\Gamma(\mathrm{Con}\,(f),\,s)$ le complexe quotient. L’application $f$ définit un morphisme de complexes $\Gamma(f) : \Gamma(X) \to \Gamma(Y)$ , et on peut montrer que les complexes $\Gamma(\mathrm{Cyl}\,(f))$ et $\Gamma(\mathrm{Con}\,(f),\,s)$ s’identifient respectivement à $\mathrm{Cyl}\,(\Gamma(f))$ et $\mathrm{Con}\,(\Gamma(f))$ .

Par ailleurs, et sans hypothèses sur $X$ et $Y$ , on associe à $f$ un morphisme de complexes $f_* : C(X,\,\mathbf{A}) \to C(Y,\,\mathbf{A})$ . On peut construire des homotopismes injectifs de $\mathrm{Cyl}\,(f_*)$ dans $C(\mathrm{Cyl}\,(f),\,\mathbf{A})$ et de $\mathrm{Con}\,(f_*)$ dans $C(\mathrm{Con}\,(f),\,\{s\},\,\mathbf{A})$ . Soient $\tilde{f} : X \to \mathrm{Cyl}\,(f)$ l’application qui à $x$ associe l’image de $(0,\,x)$ , $\alpha : Y \to \mathrm{Cyl}\,(f)$ l’application canonique et $\beta : \mathrm{Cyl}\,(f) \to Y$ l’application qui associe $y$ à son image dans $\mathrm{Cyl}\,(f)$ pour $y \in Y$ et $f(x)$ à l’image de $(t,\,x)$ dans $\mathrm{Cyl}\,(f)$ pour $t \in [0,\,1]$ et $x \in X$ . L’application $\tilde{f}$ est un homéomorphisme de $X$ sur un fermé de $\mathrm{Cyl}\,(f)$ , on a $\beta \circ \alpha = \mathrm{Id}_Y$ , et $\alpha \circ \beta$ est topologiquement homotope à l’identité de $\mathrm{Cyl}\,(f)$ . Ces propriétés sont à rapprocher de la proposition 7 ci-dessous. \

Considérons maintenant les applications $\mathbf{A}$ -linéaires graduées de degré 0

\begin{align*} \tilde{u} : C' &\to \mathrm{Cyl}\,(u)\,, & \tilde{u}(x') &= (x',\,0,\,0)\,, \\ \alpha : C &\to \mathrm{Cyl}\,(u)\,, & \alpha(x) &= (0,\,0,\,x)\,, \\ \beta : \mathrm{Cyl}\,(u) &\to C\,, & \beta(x',\,y',\,x) &= u(x') + x\,, \\ \pi : C &\to \mathrm{Con}\,(u)\,, & \pi(x) &= (0,\,x)\,, \\ \tilde{\pi} : \mathrm{Cyl}\,(u) &\to \mathrm{Con}\,(u)\,, & \tilde{\pi}(x',\,y',\,x) &= (y',\,x)\,, \\ \delta : \mathrm{Con}\,(u) &\to C'(-1)\,, & \delta(y',\,x) &= y'\,. \end{align*}

Proposition 7

a)* Les applications $\tilde{u},\, \alpha,\, \beta,\, \pi,\, \tilde{\pi},\, \delta$ sont des morphismes de complexes : on a $u = \beta \circ \tilde{u},\, \pi = \tilde{\pi} \circ \alpha,\, \beta \circ \alpha = 1_C$ .

b)* *Les suites de morphismes de complexes

(6)

0 \to C' \xrightarrow{\tilde{u}} \mathrm{Cyl}\,(u) \xrightarrow{\tilde{\pi}} \mathrm{Con}\,(u) \to 0

(7)

0 \to C \xrightarrow{\pi} \mathrm{Con}\,(u) \xrightarrow{\delta} C'(-1) \to 0

sont exactes.

c) Les morphismes $\alpha : C \to \mathrm{Cyl}\,(u)$ et $\beta : \mathrm{Cyl}\,(u) \to C$ sont des homotopismes réciproques l’un de l’autre à homotopie près.

L’assertion a) est équivalente aux formules

\begin{align*} \tilde{u} \circ d' &= \overline{D} \circ \tilde{u}\,, & \alpha \circ d &= \overline{D} \circ \alpha\,, & \beta \circ \overline{D} &= d \circ \beta\,, & \pi \circ d &= D \circ \pi\,, \\ \tilde{\pi} \circ \overline{D} &= D \circ \tilde{\pi}\,, & \delta \circ D &= -d' \circ \delta\,, & u &= \beta \circ \tilde{u}\,, & \pi &= \tilde{\pi} \circ \alpha\,, & \beta \circ \alpha &= 1_C \end{align*}

qui se vérifient par des calculs immédiats. L’assertion b) est triviale. Démontrons c) ; on a d’une part $\beta \circ \alpha = 1_C$ ; d’autre part si $\sigma : \mathrm{Cyl}\,(u) \to \mathrm{Cyl}\,(u)$ est l’application $\mathbf{A}$ -linéaire graduée de degré 1 telle que $\sigma(x',\,y',\,x) = (0,\,x',\,0)$ , on vérifie aussitôt que

\overline{D} \circ \sigma + \sigma \circ \overline{D} + \alpha \circ \beta = 1_{\mathrm{Cyl}\,(u)}\,,

d’où c).

On peut résumer la prop. 7 par le diagramme commutatif suivant, où les lignes sont exactes, et où les flèches verticales sont des homotopismes :

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & C & \xrightarrow{\pi} & \mathrm{Con}\,(u) & \xrightarrow{\delta} & C'(-1) & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow^{\alpha} & & \downarrow^1 & & & & \\ 0 & \longrightarrow & C' & \xrightarrow{\tilde{u}} & \mathrm{Cyl}\,(u) & \xrightarrow{\tilde{\pi}} & \mathrm{Con}\,(u) & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow^1 & & \downarrow^{\beta} & & & & \\ & & C' & \xrightarrow{u} & C & & & & \end{array}

Corollaire

Pour tout morphisme de complexes* $u : C' \to C$ , il existe un morphisme injectif de complexes $\tilde{u} : C' \to C_1$ et un homotopisme $\beta : C_1 \to C$ tel que $u = \beta \circ \tilde{u}$ .

Lemme 3

a)* L’homomorphisme de liaison

\partial_{n+1}(\pi, \delta) : H_n(C') \to H_n(C)

relatif à la suite exacte (7) est égal à

-H_n(u)

b) L’homomorphisme de liaison

\partial_n(\tilde{u}, \tilde{\pi}) : H_n(\mathrm{Con}\,(u)) \to H_{n-1}(C')

relatif à la suite exacte (6) est égal à

H_n(\delta)

Soit $x' \in Z_n(C')$ ; comme $x' = \delta(x', 0)$ et que

- D(x', 0) = (d'x', u(x')) = (0, u(x')) = \pi(u(x')) ,

\partial(\pi, \delta)

applique par définition la classe de

x'

dans

H_n(C')

sur la classe de

-u(x')

dans

H_n(C)

, d’où a).

Soit $(y', x) \in \mathrm{Con}_n(u)$ tel que $D(y', x) = 0$ ; on a alors $(-d'y', dx - u(y')) = 0$ . Comme $(y', x) = \tilde{\pi}(0, y', x)$ et que

\overline{D}(0, y', x) = (y', -d'y', dx - u(y')) = (y', 0, 0) = \tilde{u}(\delta(y', x)) ,

\partial(\tilde{u}, \tilde{\pi})

applique par définition la classe de

(y', x)

dans

H_n(\mathrm{Con}\,(u))

sur la classe de

\delta(y', x)

dans

H_{n-1}(C')

, d’où b).

Proposition 8

On a la suite exacte illimitée* (8)

\cdots \longrightarrow H_n(C') \xrightarrow{H_n(u)} H_n(C) \xrightarrow{H_n(\pi)} H_n(\mathrm{Con}\,(u)) \xrightarrow{H_n(\delta)} H_{n-1}(C') \longrightarrow \cdots .

En effet, compte tenu du lemme 3, a), cela résulte du théorème 1 de X, p. 30, appliqué à la suite exacte (7).

Corollaire

Pour que u soit un homologisme, il faut et il suffit que Con (u) soit d’homologie nulle.

Remarque

Considérons le diagramme

\begin{array}{ccccccccc} \cdots & \longrightarrow & H_n(C') & \xrightarrow{H_n(\tilde{u})} & H_n(\mathrm{Cyl}\,(u)) & \xrightarrow{H_n(\pi)} & H_n(\mathrm{Con}\,(u)) & \xrightarrow{\partial_n(\tilde{u},\pi)} & H_{n-1}(C') \longrightarrow \cdots \\ & & \downarrow 1 & & \downarrow H_n(\beta) & & \downarrow 1 & & \downarrow 1 \\ \cdots & \longrightarrow & H_n(C') & \xrightarrow{H_n(u)} & H_n(C) & \xrightarrow{H_n(\pi)} & H_n(\mathrm{Con}\,(u)) & \xrightarrow{H_n(\delta)} & H_{n-1}(C') \longrightarrow \cdots \end{array}

où la première ligne (resp. la seconde) est la suite exacte d’homologie associée à la suite exacte (6) (resp. (7)). Les applications $H_n(\beta)$ sont bijectives (prop. 7, c)) et le diagramme est commutatif, puisque a) $u = \beta \circ \tilde{u}$ (prop. 7, a)) donc $H_n(u) = H_n(\beta) \circ H_n(\tilde{u})$ , b) $H_n(\beta) = H_n(\alpha)^{-1}$ et $\pi = \tilde{\pi} \circ \alpha$ (prop. 7, a) et c)), donc $H_n(\tilde{\pi}) = H_n(\pi) \circ H_n(\beta)$ , c) $H_n(\delta) = \partial_n(\tilde{u},\tilde{\pi})$ (lemme 3, b)).

7. Le cône d’un morphisme injectif ; nouvelle définition de l’homomorphisme de liaison

Considérons maintenant une suite exacte de complexes

(9)

0 \to C' \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} C'' \to 0 .

Définissons une application A-linéaire graduée de degré 0

\varphi : \mathrm{Con}\,(u) \to C''

par

\varphi(y', x) = v(x)

. On a alors un diagramme commutatif de A-modules à lignes exactes

(10)

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & C' & \xrightarrow{\tilde{u}} & \mathrm{Cyl}\,(u) & \xrightarrow{\tilde{\pi}} & \mathrm{Con}\,(u) & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow 1 & & \downarrow \beta & & \downarrow \varphi & & \\ 0 & \longrightarrow & C' & \xrightarrow{u} & C & \xrightarrow{v} & C'' & \longrightarrow & 0 . \end{array}

Proposition 9

Les applications* $\beta$ et $\varphi$ sont des homologismes de complexes. Pour $\beta$ , cela résulte de la prop. 7, c). On a

\begin{align*} \varphi \circ D(y', x) &= \varphi(-d'y', dx - u(y')) = v(dx - u(y')) \\ &= v(dx) = d'' v(x) = d''(\varphi(y', x)) , \end{align*}

donc

\varphi

est bien un morphisme de complexes. D’autre part,

\varphi

est surjectif et son noyau s’identifie au complexe

(\mathbf{K}, d_\mathbf{K})

tel que

\mathbf{K} = C'(-1) \oplus C'

d_\mathbf{K}(y', x') = (-d'y', d'x' - y') ;

d_\mathbf{K}(y', x') = 0

, on a

y' = d' x'

, donc

(y', x') = d_\mathbf{K}(0, -x')

; il s’ensuit que

\mathrm{H}(\mathbf{K}) = 0

\varphi

est un homologisme d’après X, p. 30, cor. 1.

Remarque

L’homologisme $\beta$ est un homotopisme, mais $\varphi$ n’est pas en général un homotopisme (cf. X, p. 173, exercice 8).

Corollaire

Le diagramme de A-modules gradués

\begin{array}{ccccc} && H(\operatorname{Con}(u)) &&\\ &\nearrow^{H(\pi)}&&\searrow^{H(\delta)}&\\ H(C)& &\downarrow^{H(\varphi)}&&H(C')(-.1)\\ &\searrow_{H(\iota)}&&\nearrow_{\partial(u,v)}&\\ &&H(C'')&& \end{array}

est commutatif et $H(\varphi)$ est bijectif.

Dans le diagramme commutatif (10), on a $H(1_{C'})\circ\widetilde{\partial}(\tilde u,\tilde\pi)=\partial(u,v)\circ H(\varphi)$ (X, p. 31, prop. 2) et $\widetilde{\partial}(\tilde u,\tilde\pi)=H(\delta)$ (X, p. 38, *lemme 3, b)), donc

\partial(u,v)\circ H(\varphi)=H(\delta)\ ;

d’autre part, $H(v)\circ H(\beta)=H(\varphi)\circ H(\tilde\pi)=H(\varphi)\circ H(\pi)\circ H(\beta)$ d’après X, p. 39, remarque. Comme $H(\beta)$ est bijectif, cela donne $H(v)=H(\varphi)\circ H(\pi)$ .

On a donc $\partial(u,v)=H(\delta)\circ H(\varphi)^{-1}$ , ce qui fournit une nouvelle définition de l’homomorphisme de liaison $\partial(u,v)$ . On notera d’autre part que si on identifie $H(\operatorname{Con}(u))$ à $H(C'')$ par $H(\varphi)$ , le corollaire précédent signifie que la suite exacte (8) s’identifie alors à la suite exacte d’homologie relative à (9).

8. Caractéristiques d’Euler-Poincaré

Dans ce n<sup>o</sup>, on considère un ensemble $\mathscr C$ de classes de A-modules qui est additif et exact à gauche, c’est-à-dire qui satisfait aux deux conditions suivantes :

(A) Si $M$ et $N$ sont deux A-modules de type $\mathscr C$ , $M\oplus N$ est de type $\mathscr C$ .

(G) Si $0\to M'\to M\to M''\to0$ est une suite exacte de A-modules et si $M$ et $M''$ sont de type $\mathscr C$ , alors $M'$ est de type $\mathscr C$ .

On dit que $\mathscr C$ est stable s’il satisfait aux conditions suivantes qui impliquent (A) et (G) :

(E) (« $\mathscr C$ est stable par extensions. ») Si $0\to M'\to M\to M''\to0$ est une suite exacte de A-modules et si $M'$ et $M''$ sont de type $\mathscr C$ , alors $M$ est de type $\mathscr C$ .

(S) (« $\mathscr C$ est stable par noyaux et conoyaux. ») Pour tout homomorphisme $f$ de A-modules de type $\mathscr C$ , les A-modules $\operatorname{Ker}f$ et $\operatorname{Coker}f$ sont de type $\mathscr C$ .

On note $K(\mathscr C)$ le groupe de Grothendieck de $\mathscr C$ et $[M]_{\mathscr C}$ ou $[M]$ l’élément de $K(\mathscr C)$ défini par le A-module $M$ (VIII, § 6, n<sup>o</sup> 2). Soient $G$ un groupe commutatif et $\varphi$ un homomorphisme de $K(\mathscr C)$ dans $G$ .

Exemple 1

Si A est un corps, on peut prendre pour $\mathscr C$ l’ensemble des classes d’espaces vectoriels de dimension finie et pour $\varphi$ l’isomorphisme de $K(\mathscr C)$ sur $\mathbf Z$ défini par $\varphi([M])=\dim(M)$ .

Exemple 2

On peut prendre pour $\mathscr{C}$ l’ensemble des classes de modules de longueur finie et pour $\varphi : K(\mathscr{C}) \to \mathbf{Z}$ l’homomorphisme défini par $\varphi([M]) = \operatorname{long}_A(M)$ .

On dit qu’un A-module gradué M est de type $\mathscr{C}$ si $M_n$ est de type $\mathscr{C}$ pour tout $n$ (pour cela, il faut si M est borné, et il suffit si $\mathscr{C}$ est stable, que le module M soit de type $\mathscr{C}$ ).

Définition 8

Soient M un A-module gradué borné de type $\mathscr{C}$ et $(M_n)$ sa graduation. On appelle $\varphi$ -caractéristique de M et on note $\chi_\varphi(M)$ ou simplement $\chi(M)$ l’élément $\sum (-1)^n \varphi([M_n])$ de G. Cette définition s’applique en particulier lorsque M est le module gradué sous-jacent à un complexe de A-modules.

Exemple 3

Si M est borné de type $\mathscr{C}$ , il en est de même de $M(p)$ pour tout $p \in \mathbf{Z}$ , et on a $\chi(M(p)) = (-1)^p \chi(M)$ .

Exemple 4

Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de A-modules gradués et d’homomorphismes gradués de degré 0. Si M, M’ et M'' sont bornés de type $\mathscr{C}$ , on a

\chi(M) = \chi(M') + \chi(M'').

Si M et M'' sont bornés de type

\mathscr{C}

, il en est de même de M’ ; si

\mathscr{C}

est stable et si deux des trois modules sont bornés de type

\mathscr{C}

, il en est de même du troisième.

Exemple 5

Soit $u : C' \to C$ un morphisme de complexes bornés de type $\mathscr{C}$ . Alors Con ( $u$ ) est borné de type $\mathscr{C}$ , et on a :

\chi(\operatorname{Con}(u)) = \chi(C) - \chi(C').

Exemple 6

On peut prendre pour G le groupe $K(\mathscr{C})$ lui-même, et pour $\varphi$ l’identité ; on note dans ce cas $\chi_{\mathscr{C}}(M)$ l’élément $\chi_\varphi(M) = \sum (-1)^n[M_n]$ de $K(\mathscr{C})$ .

Remarque

On appelle polynôme de Poincaré de M relativement à $\varphi$ l’élément $P_M(t) = \sum \varphi([M_n]) t^n \in G \otimes \mathbf{Z}[t, t^{-1}]$ . On a $P_M(1) = \varphi([M])$ et $P_M(-1) = \chi(M)$ .

Lemme 4

Soit C un complexe borné de type $\mathscr{C}$ . Si $H(C) = 0$ , on a $\chi(C) = 0$ . Cela résulte de VIII, § 6, no 1, cor. de la prop. 1.

Proposition 10

Soient C et C’ deux complexes bornés de type $\mathscr{C}$ . S’il existe un homologisme $u : C' \to C$ , on a $\chi(C) = \chi(C')$ . En effet, Con ( $u$ ) est borné de type $\mathscr{C}$ et on a $\chi(\operatorname{Con}(u)) = \chi(C) - \chi(C')$ ; d’autre part, $H(\operatorname{Con}(u)) = 0$ d’après X, p. 38, cor., donc $\chi(\operatorname{Con}(u)) = 0$ (lemme 4).

Proposition 11

Soit C un complexe borné de type $\mathscr{C}$ . a) Si $\mathscr{C}$ est stable, $H(C)$ est de type $\mathscr{C}$ . b) Si $H(C)$ est de type $\mathscr{C}$ , il en est de même de $B(C)$ et de $Z(C)$ , et on a $\chi(H(C)) = \chi(C)$ .

a) Si $\mathscr{C}$ est stable, pour tout $n$ le module $Z_n(C)$ est de type $\mathscr{C}$ comme noyau de $d_n : C_n \to C_{n-1}$ , et $H_n(C)$ est de type $\mathscr{C}$ comme conoyau de $C_{n+1} \to Z_n$ . D’autre part, $H_n(C) = 0$ dès que $C_n = 0$ .

b) Supposons $H(C)$ de type $\mathscr{C}$ . Les suites exactes canoniques :

0 \to Z_n(C) \to C_n \to B_{n-1}(C) \to 0

0 \to B_n(C) \to Z_n(C) \to H_n(C) \to 0

montrent par récurrence sur $n$ à partir de la borne droite de $C$ que $Z_n(C)$ et $B_n(C)$ sont de type $\mathscr{C}$ pour tout $n$ . On a alors

\chi(C) = \chi(Z(C)) + \chi(B(C) (-1)) = \chi(Z(C)) - \chi(B(C)) = \chi(H(C)) .

Corollaire

Si $\mathscr{C}$ est stable et $C$ borné de type $\mathscr{C}$ , le module gradué $H(C)$ est borné de type $\mathscr{C}$ et on a $\chi(H(C)) = \chi(C)$ .

Proposition 12

Soit $0 \to C' \to C \to C'' \to 0$ une suite exacte de complexes.

a) Si $H(C), H(C')$ et $H(C'')$ sont bornés de type $\mathscr{C}$ , on a

\chi(H(C)) = \chi(H(C')) + \chi(H(C'')) .

b) Si $\mathscr{C}$ est stable, et si deux des modules gradués $H(C), H(C')$ et $H(C'')$ sont bornés de type $\mathscr{C}$ , il en est de même du troisième.

La partie a) résulte du lemme 4 appliqué au complexe d’homologie nulle défini par la suite exacte d’homologie associée à la suite exacte donnée. La partie b) résulte, en considérant cette suite exacte d’homologie, du lemme suivant :

Lemme 5. — Soit $M \to N \to P \to Q \to R$ une suite exacte de $A$ -modules. Si $\mathscr{C}$ est stable, et si $M, N, Q$ et $R$ sont de type $\mathscr{C}$ , le module $P$ est de type $\mathscr{C}$ . Posons $N' = \operatorname{Coker}(M \to N)$ et $Q' = \operatorname{Ker}(Q \to R)$ . Les modules $N'$ et $Q'$ sont de type $\mathscr{C}$ , et on a une suite exacte $0 \to N' \to P \to Q' \to 0$ .

Corollaire

Supposons $\mathscr{C}$ stable, et soit $u : C' \to C$ un morphisme de complexes tels que $H(C)$ et $H(C')$ soient bornés de type $\mathscr{C}$ . Alors $H(\operatorname{Con}(u))$ est borné de type $\mathscr{C}$ , et on a*

\chi(H(\operatorname{Con}(u))) = \chi(H(C)) - \chi(H(C')) .

Cela résulte de la prop. 12 appliquée à la suite exacte de complexes (X, p. 37, prop. 7)

0 \to C \to \operatorname{Con}(u) \to C'(-1) \to 0 .

*Remarque. — Soient $E$ un complexe, $h : E \to C$ et $h' : E \to C'$ des homotopismes avec $C$ et $C'$ bornés de type $\mathscr{C}$ . On a alors $\chi(C) = \chi(C')$ . En effet, si $h_1$ est un inverse de $h$ à homotopie près, $h' \circ h_1$ est un homotopisme, donc un homologisme de $C$ dans

C' et on peut appliquer la prop. 10. Par suite, on peut étendre la définition 8 en posant $\chi(E) = \chi(C)$ dès qu’il existe un homotopisme de E sur un complexe C borné de type $\mathscr{C}$ . Les propositions 10, 11, 12 et leurs corollaires se généralisent dans ce cadre.

Application :

\* Soit X un espace topologique admettant une décomposition cellulaire finie (cf. n° 3). a) Soient K et K' deux corps, posons $b_i = \dim_K(H_i(X, K))$ et $b'_i = \dim_{K'}(H_i(X, K'))$ . On n’a pas nécessairement $b_i = b'_i$ , mais on a $\Sigma (-1)^i b_i = \Sigma (-1)^i b'_i$ . b) Soient $(X_n)$ et $(X'_n)$ deux décompositions cellulaires finies de X, et notons $c_n$ et $c'_n$ le nombre de cellules de dimension n dans ces deux décompositions. On a

\Sigma (-1)^i c_i = \Sigma (-1)^i c'_i .

c) Avec les notations de a) et b), on a

\Sigma (-1)^i c_i = \Sigma (--1)^i b_i

. Les propriétés a) et b) résultent de c), et c) résulte de la prop. 11 appliquée au complexe

\Gamma

décrit au n° 3, en prenant pour

\mathscr{C}

la classe des K-espaces vectoriels de dimension finie et pour

\varphi

la fonction définie par

\varphi([M]) = \dim_K(M)

(X, p. 40, exemple 1).

9. Complexes de modules à droite, complexes de multimodules

Un complexe de A-modules à droite est un A-module à droite gradué $(M_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ muni d’un endomorphisme $d$ gradué de degré -1 et de carré nul ; c’est donc un complexe de modules sur l’anneau A opposé à A. Toutes les définitions et propriétés énoncées dans les numéros précédents s’appliquent donc aux complexes de modules à droite considérés comme complexes de modules sur l’anneau $A^\circ$ .

De même, si A et B sont deux anneaux, un complexe de (A, B)-bimodules est un (A, B)-bimodule gradué M muni d’un endomorphisme $d$ gradué de degré (-1) et de carré nul ; si on munit M de sa structure canonique de $A \otimes_\mathbf{Z} B^\circ$ -module à gauche, $d$ le munit d’une structure de $A \otimes_\mathbf{Z} B^-$ -complexe. Toutes les définitions et propriétés énoncées dans les numéros précédents s’appliquent donc aux complexes de bimodules. On définit de manière analogue les complexes de multimodules.

10. Exemple : complexe de de Rham

Dans ce numéro, on suppose que A est une k-algèbre commutative sur un anneau commutatif k. On note $\Omega^1_{A/k}$ le A-module des k-différentielles de A (III, p. 134), $d^0 : A \to \Omega^1_{A/k}$ la k-dérivation $d_{A/k}$ , et $\Omega_{A/k}$ la k-algèbre graduée $\Lambda_A(\Omega^1_{A/k})$ .

Proposition 13

Il existe une unique k-antidérivation $d : \Omega_{A/k} \to \Omega_{A/k}$ de degré 1, de carré nul, qui prolonge la dérivation $d^0 : A \to \Omega^1_{A/k}$ .

Montrons l’unicité de l’antidérivation d. Comme $d \circ d = 0$ , on a pour $y, x_1, \ldots, x_p \in A$ :

d(y dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_p) = dy \wedge dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_p .

Le A-module

\Omega^p_{A/k}

étant engendré par les éléments

dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_p

, ceci prouve l’unicité de d.

Pour prouver l’existence, il suffit de construire un $k$ -homomorphisme $d^1 : \Omega_{A/k}^1 \to \Omega_{A/k}^2$ tel que $d^1 \circ d^0 = 0$ et

d^1(a \omega) = d^0(a) \wedge \omega + a d^1(\omega) \quad \text{pour } a \in A , \quad \omega \in \Omega_{A/k}^1 .

En effet, il résulte alors de III, p. 128, prop. 14 (compte tenu de III, p. 118, remarque 2) qu’il existe une antidérivation

d : \Omega_{A/k} \to \Omega_{A/k}

qui coïncide avec

d^0

en degré 0 et avec

d^1

en degré 1. Comme

d^0

est nulle sur

A

, l’antidérivation

d

est

k

-linéaire ; comme

d^1 \circ d^0 = 0

, on a

d \circ d = 0

puisque

\Omega_{A/k}

est engendrée comme

A

-algèbre par les éléments

d^0 a

pour

a \in A

Pour définir $d^1$ , rappelons (III, p. 133) que $\Omega_{A/k}^1$ est égal au $A$ -module $\mathfrak{J}/\mathfrak{J}^2$ , où $\mathfrak{J}$ est le noyau de la multiplication $m : A \otimes_k A \to A$ . Considérons l’application $k$ -linéaire $u : A \otimes_k A \to \Omega_{A/k}^2$ définie par $u(x \otimes y) = d^0(y) \wedge d^0(x)$ . On a

u(ax \otimes y - x \otimes ay) = d^0(y) \wedge d^0(ax) - d^0(ay) \wedge d^0(x) = d^0(xy) \wedge d^0(a)

pour

x, y

a

dans

A

, d’où

u((a \otimes 1 - 1 \otimes a) \xi) = d^0(m(\xi)) \wedge d^0(a) , \quad \xi \in A \otimes_k A , \quad a \in A .

Comme

\mathfrak{J}

est engendré comme

A

-module à gauche par les éléments

(a \otimes 1 - 1 \otimes a)

pour

a \in A

, on en déduit que

u(\mathfrak{J}^2) = 0

; par conséquent

u

définit par restriction à

\mathfrak{J}

et passage au quotient une application

k

-linéaire

d^1 : \mathfrak{J}/\mathfrak{J}^2 \to \Omega_{A/k}^2

En faisant $\xi = b \otimes 1$ dans (12), avec $b \in A$ , on obtient $d^1(b d^0(a)) = d^0(b) \wedge d^0(a)$ ; il en résulte que $d^1 \circ d^0 = 0$ et que $d^1(c \omega) = d^0(c) \wedge \omega + c d^1(\omega)$ pour $c \in A$ et $\omega = b d^0(a)$ . Comme $\Omega_{A/k}^1$ est engendré comme $k$ -module par les éléments $b d^0(a)$ , pour $a$ et $b$ dans $A$ , la formule (11) est satisfaite pour tout $\omega \in \Omega_{A/k}$ , ce qui achève de prouver la proposition.

On dit parfois que les éléments $\omega \in \Omega_{A/k}^p$ sont les formes différentielles extérieures de degré $p$ de $A$ sur $k$ , et que l’antidérivation $d$ est la différentielle extérieure de $\Omega_{A/k}$ ; le complexe $(\Omega_{A/k}, d)$ est appelé complexe de de Rham de A sur k, et son homologie est la cohomologie de de Rham de A sur k.

Exemple 1

Prenons pour $A$ l’anneau $k[X_1, ..., X_n]$ . Alors $\Omega_{A/k}^1$ est un $A$ -module libre de base $dX_1, ..., dX_n$ (III, p. 134, exemple). Par conséquent, si pour toute partie $I = \{ i_1, ..., i_p \}$ de $\{ 1, n \}$ on pose $dX_I = dX_{i_1} \wedge ... \wedge dX_{i_p}$ (avec $i_1 < ... < i_p$ ), le $A$ -module $\Omega_{A/k}^p$ admet comme base les éléments $dX_I$ , où $I$ parcourt l’ensemble des parties de $\{ 1, n \}$ de cardinal $p$ . On a

d(P dX_I) = dP \wedge dX_I = \sum_{i \notin I} (-1)^{n(I,i)} \frac{\partial P}{\partial X_i} dX_{I \cup \{ i \}} ,

où

n(I, i)

désigne le nombre d’éléments de

I

strictement inférieurs à

i

Les cycles de $Z^p(\Omega_{A/k})$ sont donc les éléments $\omega = \sum_{\operatorname{Card}(I) = p} P_I dX_I$ tels que, pour toute partie $J$ à $(p + 1)$ éléments de $\{ 1, n \}$ , on ait :

\sum_{i \in J} (-1)^{n(J,i)} \frac{\partial P_{J-\{i\}}}{\partial X_i} = 0 .

L’élément $\omega$ est un bord si on peut choisir, pour toute partie $J \subset \{1, n\}$ à $(p - 1)$ éléments, un polynôme $Q_J \in A$ de façon que :

P_I = \sum_{j \in I} (-1)^{n(I,j)} \frac{\partial Q_{I-\{j\}}}{\partial X_j}.

Nous verrons au § 9 que le complexe de de Rham de $A$ sur $k$ est acyclique en degrés $> 0$ si $k$ est une $\mathbf{Q}$ -algèbre (X, p. 159, remarque 4).

Exemple 2

Supposons que $k = \mathbf{C}$ et $A = \mathbf{C} [X_1, ..., X_n]/(P_1, ..., P_r)$ , où les $P_i$ sont des polynômes en $X_1, ..., X_n$ , tels que l’ensemble des points de $\mathbf{C}^n$ où tous les $P_i$ s’annulent soit une sous-variété analytique $V$ de $\mathbf{C}^n$ . On peut montrer que la cohomologie de de Rham de $A$ sur $\mathbf{C}$ est isomorphe à la cohomologie singulière $H(V, \mathbf{C})$ .

Soient maintenant $M$ un $A$ -module et $\nabla^0$ une application $k$ -linéaire de $M$ dans $M \otimes_A \Omega^1_{A/k}$ telle que

(13)

\nabla^0(am) = a \nabla^0(m) + m \otimes da \quad \text{pour} \quad a \in A,\ m \in M

(on dit parfois que

\nabla^0

est une connexion sur le

A

-module

M

Proposition 14

(i) Il existe une unique application $k$ -linéaire $\nabla$ du $\Omega_{A/k}$ -module à droite $M \otimes_A \Omega_{A/k}$ dans lui-même, graduée de degré 1, qui prolonge $\nabla^0$ en degré 0 et satisfait à l’identité :

(14)

\nabla(x \omega) = (\nabla x) \omega + (-1)^p x(d\omega) \quad \text{pour} \quad x \in M \otimes_A \Omega^p_{A/k},\ \omega \in \Omega_{A/k}.

(ii) L’application composée $\nabla \circ \nabla$ est $\Omega_{A/k}$ -linéaire ; en particulier l’application $R = \nabla^1 \circ \nabla^0$ de $M$ dans $M \otimes_A \Omega^2_{A/k}$ est $A$ -linéaire, et on a

\nabla \circ \nabla(m \otimes \omega) = R(m).\omega \quad \text{pour} \quad m \in M,\ \omega \in \Omega_{A/k}.

L’homomorphisme $R$ est parfois appelé homomorphisme de courbure de la connexion $\nabla^0$ ; s’il est nul, le couple $(M \otimes_A \Omega_{A/k}, \nabla)$ est un complexe, appelé encore complexe de de Rham de $(M, \nabla^0)$ sur $k$ .

Démontrons (i). L’unicité de $\nabla$ est évidente. Définissons un $k$ -homomorphisme $\overline{\nabla}$ de $M \otimes_k \Omega_{A/k}$ dans $M \otimes_A \Omega_{A/k}$ par

\overline{\nabla}(m \otimes_k \omega) = (\nabla^0 m) \omega + m \otimes d\omega \quad \text{pour} \quad m \in M,\ \omega \in \Omega_{A/k}.

Il résulte de (13) que $\overline{\nabla}(am \otimes \omega) = \overline{\nabla}(m \otimes a \omega)$ , de sorte qu’on obtient par passage au quotient un $k$ -homomorphisme $\nabla$ de $M \otimes_A \Omega_{A/k}$ dans lui-même, gradué de degré 1, prolongeant $\nabla^0$ en degré 0. Vérifions (14) : on a pour $m \in M$ , $\alpha \in \Omega^p_{A/k}$ , $\omega \in \Omega_{A/k}$ :

\begin{align*} \nabla((m \otimes \alpha).\omega) &= \nabla(m \otimes (\alpha \wedge \omega)) = \nabla^0(m).(\alpha \wedge \omega) + m \otimes d(\alpha \wedge \omega) \\ &= \nabla^0(m) \alpha.\omega + (m \otimes d\alpha) \omega + (-1)^p (m \otimes \alpha) d\omega \\ &= (\nabla(m \otimes \alpha)) \omega + (-1)^p (m \otimes \alpha) d\omega \end{align*}

ce qui prouve (14) pour

x = m \otimes \alpha

; le cas général s’en déduit par linéarité.

Démontrons (ii). Soient $x \in M \otimes_A \Omega_{A/k}^p, \omega \in \Omega_{A/k}$ ; par application répétée de (14), on obtient :

\nabla \circ \nabla(x \omega) = \nabla(\nabla(x) \omega) + (-1)^p \nabla(x d \omega) = (\nabla \circ \nabla(x)) \omega + (-1)^{p+1} \nabla(x)(d \omega) + (-1)^p \nabla(x)(d \omega) = (\nabla \circ \nabla(x)) \omega,

ce qui prouve la première assertion de (ii); les autres s’en déduisent immédiatement.

Exercices

See the exercises for § 2.