Bourbaki

§ 3. Résolutions

On conserve les conventions du paragraphe précédent.

1. Prolongement de morphismes de complexes

Lemme 1

Considérons un diagramme de A-modules et d’homomorphismes

M′→α′Mf′↓f↓N′→β′NM→αM′′f↓k′′↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ f' \downarrow & & f \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ f \downarrow & & k'' \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

tel que f∘α′=β∘f′,α∘α′=0,Ker β=Im β′,et f=k′′∘α+β∘k et ouˋ M′ est projectif. Il existe un A-homomorphisme k′:M′→N′ tel que f′=k∘α′+β′∘k′.f \circ \alpha' = \beta \circ f', \alpha \circ \alpha' = 0, \mathrm{Ker}\ \beta = \mathrm{Im}\ \beta', \text{et } f = k'' \circ \alpha + \beta \circ k \text{ et où } M' \text{ est projectif. Il existe un A-homomorphisme } k': M' \to N' \text{ tel que } f' = k \circ \alpha' + \beta' \circ k'.

En effet, posons g=f′−k∘α′g = f' - k \circ \alpha'; on a

β∘g=β∘f′−β∘k∘α′=f∘α′−β∘k∘α′=k′′∘α∘α′=0. \beta \circ g = \beta \circ f' - \beta \circ k \circ \alpha' = f \circ \alpha' - \beta \circ k \circ \alpha' = k'' \circ \alpha \circ \alpha' = 0.
Cela implique Im (g)⊂Ker (β)=Im (β′)\mathrm{Im}\ (g) \subset \mathrm{Ker}\ (\beta) = \mathrm{Im}\ (\beta'). Comme M′M' est projectif, il existe donc un A-homomorphisme k′:M′→N′k': M' \to N' tel que β′∘k′=g\beta' \circ k' = g, d’où le lemme.

Lemme 2

Si dans le diagramme commutatif de A-modules et d’homomorphismes

M′→α′M↓u↓u′′N′→β′NM→αM′′↓↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ & \downarrow u & \downarrow u'' \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ & \downarrow & \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

on a α∘α′=0,Ker β=Im β′\alpha \circ \alpha' = 0, \mathrm{Ker}\ \beta = \mathrm{Im}\ \beta' et si M′M' est projectif, il existe un A-homomorphisme u′:M′→N′u': M' \to N' tel que β′∘u′=u∘α′\beta' \circ u' = u \circ \alpha'.

Il suffit de poser k′′=u′′,k=−u,f=0,f′=0k'' = u'', k = -u, f = 0, f' = 0 et u′=k′u' = k' dans le lemme 1.

Lemme 1 bis. — Considérons un diagramme de A-modules et d’homomorphismes

M′→α′Mk′↓k↓N′→β′NM→αM′′f′↓f↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ k' \downarrow & & k \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ f' \downarrow & & f \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

tel que f∘α′=β∘f′f \circ \alpha' = \beta \circ f', Ker α=Im α′\mathrm{Ker}\, \alpha = \mathrm{Im}\, \alpha', β∘β′=0\beta \circ \beta' = 0, et f′=k∘α′+β′∘k′f' = k \circ \alpha' + \beta' \circ k' et où N′′N'' est injectif. Il existe un AA-homomorphisme k′′:M′′→N′′k'' : M'' \to N'' tel que f=k′′∘α+β∘kf = k'' \circ \alpha + \beta \circ k.

En effet, posons g=f−β∘kg = f - \beta \circ k, on a

g∘α′=f∘α′−β∘k∘α′=β∘f′−β∘k∘α′=β∘β′∘k′=0. g \circ \alpha' = f \circ \alpha' - \beta \circ k \circ \alpha' = \beta \circ f' - \beta \circ k \circ \alpha' = \beta \circ \beta' \circ k' = 0 .
Cela implique Ker g⊃Im α′=Ker α\mathrm{Ker}\, g \supset \mathrm{Im}\, \alpha' = \mathrm{Ker}\, \alpha. Comme N′′N'' est injectif, il existe donc (X, p. 16, remarque) un AA-homomorphisme k′:M′′→N′′k' : M'' \to N'' tel que g=k′′∘αg = k'' \circ \alpha, d’où le lemme.

Lemme 2 bis. — Si, dans le diagramme commutatif de AA-modules et d’homomorphismes

M′→α′M→αM′′u′↓u↓N′→β′N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \xrightarrow{\alpha} M'' \\ u' \downarrow & & u \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \xrightarrow{\beta} N'' \end{array}

on a Ker α=Im α′,β∘β′=0\mathrm{Ker}\, \alpha = \mathrm{Im}\, \alpha', \beta \circ \beta' = 0 et si N′′N'' est injectif, il existe un AA-homomorphisme u′′:M′′→N′′u'' : M'' \to N'' tel que u′′∘α=β∘uu'' \circ \alpha = \beta \circ u. Il suffit de poser u′=k′,u=−k,f=0,f′=0u' = k', u = -k, f = 0, f' = 0 et k′′=u′′k'' = u'' dans le lemme 1 bis.

Proposition 1

Soient (P,dP)(P, d_P) et (E,dE)(E, d_E) deux complexes de AA-modules et rr un entier.

a) Soit (ui:Pi→Ei)i≤r(u_i : P_i \to E_i)_{i \leq r} une famille d’homomorphismes telle que dE∘ui=ui−1∘dPd_E \circ u_i = u_{i-1} \circ d_P pour i≤ri \leq r. Supposons que PiP_i soit projectif pour i>ri > r et que Hi(E)=0H_i(E) = 0 pour i≥ri \geq r. Alors la famille des uiu_i se prolonge en un morphisme de complexes de PP dans EE; deux tels prolongements sont homotopes.

b) Soit (ui:Pi→Ei)i≤r(u^i : P^i \to E^i)_{i \leq r} une famille d’homomorphismes telle que ui∘dP=dE∘ui−1u^i \circ d_P = d_E \circ u^{i-1} pour i≤ri \leq r. Supposons que EiE^i soit injectif pour i>ri > r et que Hi(P)=0H^i(P) = 0 pour i≥ri \geq r. Alors la famille des uiu^i se prolonge en un morphisme de complexes de PP dans EE; deux tels prolongements sont homotopes.

Démontrons a). L’existence d’un prolongement vv de la famille (ui)i≤r(u_i)_{i \leq r} résulte aussitôt du lemme 2 par récurrence. Soit v′v' un autre prolongement ; posons f=v′−vf = v' - v, et construisons par récurrence sur l’entier nn un homomorphisme kn:Pn→En+1k_n : P_n \to E_{n+1} tel que fn=dE∘kn+kn−1∘dPf_n = d_E \circ k_n + k_{n-1} \circ d_P. Pour i≤ri \leq r, on prend ki=0k_i = 0. Soit n≥rn \geq r et supposons les kik_i construits pour i≤ni \leq n. Considérons alors le diagramme

Pn+1→dPPn→dPPn−1fn+1↓kn−1↓En+2→dEEn+1→dEEn. \begin{array}{cccccc} P_{n+1} & \xrightarrow{d_P} & P_n & \xrightarrow{d_P} & P_{n-1} \\ f_{n+1} \downarrow & & & & k_{n-1} \downarrow \\ E_{n+2} & \xrightarrow{d_E} & E_{n+1} & \xrightarrow{d_E} & E_n . \end{array}

Les hypothèses du lemme 1 sont satisfaites ; il existe donc un AA-homomorphisme kn+1:Pn+1→En+2k_{n+1} : P_{n+1} \to E_{n+2} tel que fn+1=dE∘kn+1+kn∘dPf_{n+1} = d_E \circ k_{n+1} + k_n \circ d_P, d’où a).

La démonstration de b) est analogue, via les lemmes 1 bis et 2 bis.

2. Résolutions

Dans la suite, on identifie toujours un module au complexe dont il est la composante de degré zéro et dont toutes les autres composantes sont nulles.

Définition 1

Soit MM un AA-module. Une résolution gauche de MM est un couple (P,p)(P,p) où PP est un complexe nul à droite et p:P→Mp:P\to M est un homomorphisme. Une résolution droite de MM est un couple (e,E)(e,E) où EE est un complexe nul à gauche et e:M→Ee:M\to E un homomorphisme.

On appelle longueur de la résolution (P,p)(P,p) (resp. (e,E)(e,E)) la longueur du complexe PP (resp. EE). Si (P,p)(P,p) et (P′,p′)(P',p') (resp. (e,E)(e,E) et (e′,E′)(e',E')) sont deux résolutions gauches (resp. droites) de MM, un morphisme de complexes f:P→P′f:P\to P' tel que p′∘f=pp'\circ f=p (resp. g:E→E′g:E\to E' tel que g∘e=e′g\circ e=e') est appelé un morphisme de résolutions.

Proposition 2

Soient PP un complexe nul à droite et p:P→Mp:P\to M un morphisme. Pour que (P,p)(P,p) soit une résolution gauche de MM, il faut et il suffit que la suite

(1)

⋯⟶Pn→dPPn−1⟶⋯⟶P1→dPP0→pM⟶0 \cdots\longrightarrow P_n\xrightarrow{d_P}P_{n-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\xrightarrow{d_P}P_0\xrightarrow{p}M\longrightarrow0

soit exacte.

En effet, dire que p:P→Mp:P\to M est un homomorphisme signifie que Hi(P)=0H_i(P)=0 pour i>0i>0 et que p0p_0 induit un isomorphisme de Coker⁡(dP:P1→P0)\operatorname{Coker}(d_P:P_1\to P_0) sur MM.

De même :

Proposition 2bis. — Soient EE un complexe nul à gauche et e:M→Ee:M\to E un morphisme. Pour que (e,E)(e,E) soit une résolution droite de MM, il faut et il suffit que la suite

(1 bis)

0⟶M→e0E0→dEE1⟶⋯⟶En→dEEn+1⟶⋯ 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_0}E^0\xrightarrow{d_E}E^1\longrightarrow\cdots\longrightarrow E^n\xrightarrow{d_E}E^{n+1}\longrightarrow\cdots

soit exacte.

Par abus de langage, on dit souvent que la suite (1) (resp. (1 bis)) est une résolution gauche (resp. droite) de MM.

Définition 2

Une résolution projective (resp. libre, resp. plate) du AA-module MM est une résolution gauche (P,p)(P,p) de MM telle que le complexe PP soit projectif (resp. libre, resp. plat) (X, p. 25). Une résolution injective de MM est une résolution droite (e,E)(e,E) de MM telle que le complexe EE soit injectif (loc. cit.).

Exemple 1

Supposons que l’anneau AA soit principal ; soient MM un AA-module et (xi)i∈I(x_i)_{i\in I} une famille génératrice de MM. Notons L0L_0 le module libre A(I)A^{(I)}, (ei)(e_i) sa base canonique et définissons p:L0→Mp:L_0\to M par p(ei)=xip(e_i)=x_i. Le morphisme pp est surjectif et son noyau L1L_1 est un AA-module libre d’après VII, § 3, cor. 2 au th. 1, donc la suite exacte

0⟶L1⟶L0→pM⟶0 0\longrightarrow L_1\longrightarrow L_0\xrightarrow{p}M\longrightarrow0

est une résolution libre de MM de longueur 1. Si II est fini, L0L_0 et L1L_1 sont de type fini.

Exemple 2

Supposons A commutatif ; soient E un A-module et u un endomorphisme de E. Notons EuE_u le A[X]A[X]-module obtenu en munissant E de la structure définie par

(p,x)↦p(u)(x)pourp∈A[X]etx∈E. (p, x) \mapsto p(u)(x) \quad \text{pour} \quad p \in A[X] \quad \text{et} \quad x \in E.

D’après III, p. 106, on a une suite exacte :

0→A[X]⊗AE→ψA[X]⊗AE→φEu→0 0 \to A[X] \otimes_A E \xrightarrow{\psi} A[X] \otimes_A E \xrightarrow{\varphi} E_u \to 0

où φ(p⊗x)=p.x\varphi(p \otimes x) = p.x et ψ(p⊗x)=Xp⊗x−p⊗u(x)\psi(p \otimes x) = Xp \otimes x - p \otimes u(x) pour p∈A[X]p \in A[X] et x∈Ex \in E. Cette suite exacte est une résolution de longueur 1 de EuE_u, libre (resp. projective, resp. de type fini) si E est un A-module libre (resp. projectif, resp. de type fini).

Exemple 3

Si A est principal, la suite exacte

0→A→K→K/A→0 0 \to A \to K \to K/A \to 0

est une résolution injective de longueur 1 du A-module AsA_s (X, p. 18, exemple 1).

Proposition 3

Soient f:M′→Mf : M' \to M un homomorphisme de A-modules, p′:P′→M′p' : P' \to M' un morphisme dans M′M' d’un complexe nul à droite et projectif P′P', et p:P→Mp : P \to M une résolution gauche de M. Il existe un morphisme de complexes f~:P′→P\tilde{f} : P' \to P, et un seul à homotopie près, tel que p∘f~=f∘p′p \circ \tilde{f} = f \circ p'.

Considérons le complexe P‾\overline{P} défini comme suit : P‾n=Pn\overline{P}_n = P_n pour n≠−1n \neq -1, P‾−1=M\overline{P}_{-1} = M, dP‾,n=dP,nd_{\overline{P},n} = d_{P,n} pour n≠0,−1n \neq 0, -1, dP‾,0=p0d_{\overline{P},0} = p_0, dP‾,−1=0d_{\overline{P},-1} = 0, et le complexe P‾′\overline{P}' défini de façon analogue. Appliquant aux complexes P‾\overline{P} et P‾′\overline{P}' la prop. 1 a) avec r=0r = 0, ui=0u_i = 0 pour i<−1i < -1 et u−1=fu_{-1} = f, on obtient la prop. 3.

Corollaire

Soient (P,p)(P, p) et (P′,p′)(P', p') deux résolutions projectives de M. Il existe un homotopisme et un seul à homotopie près α:P′→P\alpha : P' \to P tel que p∘α=p′p \circ \alpha = p'.

En effet, il existe un morphisme α:P′→P\alpha : P' \to P (resp. β:P→P′\beta : P \to P') tel que p∘α=p′p \circ \alpha = p' (resp. p′∘β=pp' \circ \beta = p). Comme p∘α∘β=pp \circ \alpha \circ \beta = p (resp. p′∘β∘α=p′p' \circ \beta \circ \alpha = p'), α∘β\alpha \circ \beta est homotope à 1P1_P (resp. β∘α\beta \circ \alpha est homotope à 1P′1_{P'}).

PROPOSITION 3 bis. — Soient g:N→N′g : N \to N' un homomorphisme de A-modules, e′:N′→E′e' : N' \to E' un morphisme de N′N' dans un complexe nul à gauche et injectif E′E', et e:N→Ee : N \to E une résolution droite de N. Il existe un morphisme de complexes g~:E→E′\tilde{g} : E \to E', et un seul à homotopie près, tel que g~∘e=e′∘g\tilde{g} \circ e = e' \circ g.

Cela se démontre comme la prop. 3 à l’aide de la prop. 1 b).

Corollaire

Soient (e,E)(e, E) et (e′,E′)(e', E') deux résolutions injectives de N ; il existe un homotopisme α:E→E′\alpha : E \to E' et un seul à homotopie près tel que α∘e=e′\alpha \circ e = e'.

3. La résolution libre canonique

Pour tout A-module M, notons L_0(M) le A-module libre A^{(M)} de base M, (e_m)_{m \in M} sa base canonique et pM:L0(M)→Mp_M : L_0(M) \to M l’homomorphisme tel que

pM(em)=m,m∈M. p_M(e_m) = m , \quad m \in M .
Posons Z0(M)=Ker pMZ_0(M) = \mathrm{Ker}\, p_M et soit iM:Z0(M)→L0(M)i_M : Z_0(M) \to L_0(M) l’injection canonique. On a une suite exacte
(1)0⟶Z0(M)→iML0(M)→pMM⟶0. (1) \qquad 0 \longrightarrow Z_0(M) \xrightarrow{i_M} L_0(M) \xrightarrow{p_M} M \longrightarrow 0 .
On définit un module gradué L(M) en posant Ln(M)=0L_n(M) = 0 pour n<0n < 0 et, par récurrence sur l’entier n>0n > 0
(2)Ln(M)=L0(Zn−1(M));Zn(M)=Z0(Zn−1(M)). (2) \qquad L_n(M) = L_0(Z_{n-1}(M)) ; \qquad Z_n(M) = Z_0(Z_{n-1}(M)) .
On définit des A-homomorphismes dnM:Ln(M)→Ln−1(M)d_n^M : L_n(M) \to L_{n-1}(M) par
(3){dnM=0,n⩽0,d1M=iM∘pZ0(M),dnM=iZn−2(M)∘pZn−1(M),n>1. (3) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} d_n^M = 0 , & n \leqslant 0 , \\ d_1^M = i_M \circ p_{Z_0(M)} , \\ d_n^M = i_{Z_{n-2}(M)} \circ p_{Z_{n-1}(M)} , & n > 1 . \end{array} \right.
On a par construction une suite exacte
⟶Ln(M)→dnMLn−1(M)⟶⋯⟶L0(M)→pMM⟶0, \longrightarrow L_n(M) \xrightarrow{d_n^M} L_{n-1}(M) \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0(M) \xrightarrow{p_M} M \longrightarrow 0 ,
de sorte que, si l’on étend pMp_M en un morphisme de complexes
pM:(L(M),dM)→M, p_M : (L(M), d^M) \to M ,
on obtient une résolution libre de M, dite résolution libre canonique de M.

Soit f:M→Nf : M \to N un homomorphisme de A-modules. Notons

L0(f):L0(M)→L0(N) L_0(f) : L_0(M) \to L_0(N)
l’unique A-homomorphisme tel que L0(f)(em)=ef(m)L_0(f)(e_m) = e_{f(m)} pour tout m∈Mm \in M. On a
(4)pN∘L0(f)=f∘pM. (4) \qquad p_N \circ L_0(f) = f \circ p_M .
Par suite, L0(f)L_0(f) induit un A-homomorphisme Z0(f):Z0(M)→Z0(N)Z_0(f) : Z_0(M) \to Z_0(N) et on a
(5)iN∘Z0(f)=L0(f)∘iM. (5) \qquad i_N \circ Z_0(f) = L_0(f) \circ i_M .
Posons Ln(f)=0L_n(f) = 0, pour n<0n < 0 et définissons par récurrence sur l’entier n>0n > 0, des homomorphismes Ln(f):Ln(M)→Ln(N)L_n(f) : L_n(M) \to L_n(N) et Zn(f):Zn(M)→Zn(N)Z_n(f) : Z_n(M) \to Z_n(N) par
(6){Ln(f)=L0(Zn−1(f))Zn(f)=Z0(Zn−1(f)). (6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} L_n(f) = L_0(Z_{n-1}(f)) \\ Z_n(f) = Z_0(Z_{n-1}(f)) . \end{array} \right.

Proposition 4

L(f):L(M)→L(N)L(f) : L(M) \to L(N) est un morphisme de complexes de A-modules ; on a pM∘L(f)=f∘pNp_M \circ L(f) = f \circ p_N.

Il s’agit de prouver, pour tout entier n>0n > 0, la formule

dnN∘Ln(f)=Ln−1(f)∘dnM. d_n^N \circ L_n(f) = L_{n-1}(f) \circ d_n^M .

On a d’abord

d1N∘L1(f)=iN∘pZ0(N)∘L0(Z0(f))(d’apreˋs (3) et (6))=iN∘Z0(f)∘pZ0(M)(d’apreˋs (4))=L0(f)∘iM∘pZ0(M)(d’apreˋs (5))=L0(f)∘d1M(d’apreˋs (3)). \begin{align*} d_1^N \circ L_1(f) &= i_N \circ p_{Z_0(N)} \circ L_0(Z_0(f)) & \text{(d’après (3) et (6))} \\ &= i_N \circ Z_0(f) \circ p_{Z_0(M)} & \text{(d’après (4))} \\ &= L_0(f) \circ i_M \circ p_{Z_0(M)} & \text{(d’après (5))} \\ &= L_0(f) \circ d_1^M & \text{(d’après (3))} . \end{align*}

Lorsque n>1n > 1, on a successivement

dnN∘Ln(f)=iZn−2(N)∘pZn−1(N)∘L0(Zn−1(f))(d’apreˋs (3) et (6))=iZn−2(N)∘Zn−1(f)∘pZn−1(M)(d’apreˋs (4))=iZn−2(N)∘Z0(Zn−2(f))∘pZn−1(M)(d’apreˋs (6))=L0(Zn−2(f))∘iZn−2(M)∘pZn−1(M)(d’apreˋs (5))=Ln−1(f)∘dnM(d’apreˋs (3) et (6)). \begin{align*} d_n^N \circ L_n(f) &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ p_{Z_{n-1}(N)} \circ L_0(Z_{n-1}(f)) & \text{(d’après (3) et (6))} \\ &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ Z_{n-1}(f) \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(d’après (4))} \\ &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ Z_0(Z_{n-2}(f)) \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(d’après (6))} \\ &= L_0(Z_{n-2}(f)) \circ i_{Z_{n-2}(M)} \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(d’après (5))} \\ &= L_{n-1}(f) \circ d_n^M & \text{(d’après (3) et (6))} . \end{align*}

On a aussitôt

(7)

L(1M)=1L(M). L(1_M) = 1_{L(M)} .

D’autre part, si g:N→Pg : N \to P est un homomorphisme de A-modules, on a

(8)

L(g∘f)=L(g)∘L(f). L(g \circ f) = L(g) \circ L(f) .

En effet, on a pour m∈Mm \in M,

L0(g∘f)(em)=eg∘f(m)=L0(g)(ef(m))=L0(g)∘L0(f)(em), L_0(g \circ f)(e_m) = e_{g \circ f(m)} = L_0(g)(e_{f(m)}) = L_0(g) \circ L_0(f)(e_m) ,
donc L0(g∘f)=L(g)∘L(f)L_0(g \circ f) = L(g) \circ L(f); par conséquent Z0(g∘f)=Z0(g)∘Z0(f)Z_0(g \circ f) = Z_0(g) \circ Z_0(f); d’où aussitôt Ln(g∘f)=Ln(g)∘Ln(f)L_n(g \circ f) = L_n(g) \circ L_n(f), pour n⩾0n \geqslant 0, par récurrence sur nn, d’où (8).

Remarque

Si f,g∈HomA(M,N)f, g \in \mathrm{Hom}_A(M, N), on n’a pas L(f+g)=L(f)+L(g)L(f + g) = L(f) + L(g). Cependant ces deux morphismes sont homotopes d’après X, p. 49, prop. 3.

Soit MM un A-module à droite ; notons A∘A^\circ l’anneau opposé à AA, M∘M^\circ le A∘A^\circ-module sous-jacent à MM, L(M∘)L(M^\circ) sa résolution libre canonique. On note L(M)L(M) et on appelle résolution libre canonique de MM le A-complexe L(M∘)∘L(M^\circ)^\circ sous-jacent à L(M∘)L(M^\circ). On a donc

L(M∘)=L(M)∘. L(M^\circ) = L(M)^\circ .

4. La résolution injective canonique

Soit FF le AA-module Hom⁡Z(A,Q/Z)\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(A,\mathbf Q/\mathbf Z) ; pour tout AA-module MM, on pose I0(M)=FHom⁡A(M,F)I^0(M)=F^{\operatorname{Hom}_A(M,F)} et on note eM:M⟶I0(M)e_M:M\longrightarrow I^0(M) l’homomorphisme qui à m∈Mm\in M associe la famille (φ(m))φ∈Hom⁡A(M,F)(\varphi(m))_{\varphi\in\operatorname{Hom}_A(M,F)}. D’après X, p. 19, cor. 2, I0(M)I^0(M) est un AA-module injectif et eMe_M est injectif. Posons K0(M)=Coker⁡eMK^0(M)=\operatorname{Coker}e_M et notons qM:I0(M)⟶K0(M)q_M:I^0(M)\longrightarrow K^0(M) la projection canonique. On a donc une suite exacte

0⟶M→eMI0(M)→qMK0(M)⟶0. 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_M} I^0(M)\xrightarrow{q_M} K^0(M)\longrightarrow 0.

On définit un AA-module gradué I(M)I(M) en posant In(M)=0I^n(M)=0 pour n<0n<0 et, par récurrence sur l’entier n>0n>0,

(9)

In(M)=I0(Kn−1(M)),Kn(M)=K0(Kn+1(M)). I^n(M)=I^0(K^{n-1}(M)),\qquad K^n(M)=K^0(K^{n+1}(M)).

On définit des AA-homomorphismes δMn:In(M)⟶In+1(M)\delta_M^n:I^n(M)\longrightarrow I^{n+1}(M) par

(10)

{δMn=0,n<0,δM0=ϵK0(M)∘qM,δMn=ϵKn(M)∘qKn−1(M),n>0. \left\{ \begin{aligned} \delta_M^n&=0, && n<0,\\ \delta_M^0&=\epsilon_{K^0(M)}\circ q_M,\\ \delta_M^n&=\epsilon_{K^n(M)}\circ q_{K^{n-1}(M)}, && n>0. \end{aligned} \right.

On a par construction une suite exacte

0⟶M→eMI0(M)→δM0⋯⟶In(M)→δMnIn+1(M)⟶⋯ , 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_M} I^0(M)\xrightarrow{\delta_M^0}\cdots\longrightarrow I^n(M)\xrightarrow{\delta_M^n}I^{n+1}(M)\longrightarrow\cdots,

de sorte que, si l’on étend eMe_M en un morphisme de complexes

eM:M⟶(I(M),δM), e_M:M\longrightarrow (I(M),\delta_M),

on obtient une résolution injective de MM, dite résolution injective canonique de MM.

Soit f:M⟶Nf:M\longrightarrow N un homomorphisme de AA-modules. Notons I0(f)I^0(f) l’homomorphisme de I0(M)=FHom⁡A(M,F)I^0(M)=F^{\operatorname{Hom}_A(M,F)} dans I0(N)=FHom⁡A(N,F)I^0(N)=F^{\operatorname{Hom}_A(N,F)} qui applique la famille (xφ)φ∈Hom⁡A(M,F)(x_\varphi)_{\varphi\in\operatorname{Hom}_A(M,F)} sur la famille (xψ∘f)ψ∈Hom⁡A(N,F)(x_{\psi\circ f})_{\psi\in\operatorname{Hom}_A(N,F)}. On a :

(11)

I0(f)∘eM=eN∘f. I^0(f)\circ e_M=e_N\circ f.

Par suite, I0(f)I^0(f) induit un homomorphisme K0(f):K0(M)⟶K0(N)K^0(f):K^0(M)\longrightarrow K^0(N) et on a

(12)

K0(f)∘qM=qN∘K0(f). K^0(f)\circ q_M=q_N\circ K^0(f).

Posons In(f)=0I^n(f)=0 pour n<0n<0 et définissons, par récurrence sur l’entier n>0n>0, des homomorphismes In(f):In(M)⟶In(N)I^n(f):I^n(M)\longrightarrow I^n(N) et Kn(f):Kn(M)⟶Kn(N)K^n(f):K^n(M)\longrightarrow K^n(N) par :

(13)

{In(f)=I0(Kn−1(f)),Kn(f)=K0(Kn−1(f)). \left\{ \begin{aligned} I^n(f)&=I^0(K^{n-1}(f)),\\ K^n(f)&=K^0(K^{n-1}(f)). \end{aligned} \right.

Proposition 5

I(f) : I(M) → I(N) est un morphisme de complexes de A-modules ; on a I(f) ◦ e_M = e_N ◦ f. Cela se démontre de manière analogue à la prop. 4.

On a (14)

I(1M)=1I(M) I(1_M) = 1_{I(M)}
et pour tout homomorphisme g:N→Pg : N \to P de A-modules (15)
I(g∘f)=I(g)∘I(f). I(g \circ f) = I(g) \circ I(f) .

Remarque

Si f,g∈HomA(M,N)f, g \in \mathrm{Hom}_A(M, N), on n’a pas I(f+g)=I(f)+I(g)I(f + g) = I(f) + I(g). Cependant, ces deux morphismes sont homotopes d’après X, p. 49, prop. 3 bis.

Si M est un A-module à droite, on pose I(M)=I(M∘)∘I(M) = I(M^\circ)^\circ; on l’appelle la résolution injective canonique de M et on a

I(M∘)=I(M)∘. I(M^\circ) = I(M)^\circ .

5. Résolutions de type fini

Il résulte notamment des deux numéros précédents que tout A-module possède des résolutions injectives, des résolutions libres (donc aussi des résolutions projectives ou plates). Dans certains cas, on peut préciser davantage :

Supposons A noethérien à gauche et soit M un A-module. Construisons par récurrence des suites (Ln)n≥0(L_n)_{n \geq 0}, (Zn)n≥0(Z_n)_{n \geq 0}, (dn)n≥1(d_n)_{n \geq 1} où, pour tout n≥0n \geq 0, LnL_n est un A-module libre de type fini, ZnZ_n un sous-module de LnL_n et dn+1:Ln+1→Lnd_{n+1} : L_{n+1} \to L_n un homomorphisme. Pour cela, choisissons une famille génératrice finie (mi)i∈I0(m_i)_{i \in I_0} de M, posons L0=A(I0)L_0 = A^{(I_0)}, définissons p:L0→Mp : L_0 \to M par p(ei)=mip(e_i) = m_i et posons Z0=Ker (p)Z_0 = \mathrm{Ker}\,(p). Pour n≥0n \geq 0, les modules LnL_n et ZnZ_n étant construits, ZnZ_n est de type fini puisque contenu dans LnL_n; choisissons une famille génératrice finie (xn,i)i∈In+1(x_{n,i})_{i \in I_{n+1}} de ZnZ_n; posons Ln+1=A(In+1)L_{n+1} = A^{(I_{n+1})}, définissons dn+1d_{n+1} par dn+1(ei)=xn,id_{n+1}(e_i) = x_{n,i} et posons Zn+1=Ker (dn+1)Z_{n+1} = \mathrm{Ker}\,(d_{n+1}).

On a par construction une suite exacte

⋯⟶Ln+1→dn+1Ln⟶⋯⟶L0→pM⟶0, \cdots \longrightarrow L_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} L_n \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{p} M \longrightarrow 0 ,
d’où :

Proposition 6

Lorsque A est noethérien à gauche, tout A-module de type fini M possède une résolution libre p:L→Mp : L \to M telle que LnL_n soit de type fini pour tout entier n. Plus généralement :

Proposition 7

Soit C un A-complexe et soit a∈Za \in \mathbf{Z} tel que Hn(C)=0H_n(C) = 0 pour n<an < a. a) Il existe un A-complexe libre L tel que Ln=0L_n = 0 pour n<an < a et un homologisme f:L→Cf : L \to C.

b) Supposons AA noethérien à gauche et les AA-modules Hn(C)H_n(C), n∈Zn\in \mathbf{Z}, de type fini. Il existe un AA-complexe libre LL tel que Ln=0L_n=0 pour n<an<a et que LnL_n soit un AA-module de type fini pour tout nn, et un homomorphisme f:L→Cf:L\to C.

Soit C′C' le sous-complexe de CC tel que Cn′=CnC'_n=C_n pour n>an>a, Ca′=Za(C)C'_a=Z_a(C), Cn′=0C'_n=0 pour n<an<a ; alors l’injection canonique de C′C' dans CC est un homomorphisme. Remplaçant CC par C′C', on peut donc supposer que Cn=0C_n=0 pour n<an<a. L’énoncé résulte alors de l’application itérée du lemme suivant, pour r=a,a+1,…r=a,a+1,\ldots :

Lemme 3

Soient CC un complexe et r∈Zr\in \mathbf{Z}. Il existe un complexe C′C' et un homomorphisme f:C′→Cf:C'\to C tels que fn:Cn′→Cnf_n:C'_n\to C_n soit un isomorphisme pour n<rn<r et que Cr′C'_r soit un AA-module libre. Si AA est noethérien et les AA-modules Hr(C)H_r(C) et Cr−1C_{r-1} de type fini, on peut imposer que Cr′C'_r soit de type fini.

a) Soit d’abord h:M→Crh:M\to C_r un homomorphisme de AA-modules ; notons d=(dn)d=(d_n) la différentielle de CC. Soit NN le sous-module de M×Cr+1M\times C_{r+1} formé des couples (m,x)(m,x) tels que h(m)=dr+1(x)h(m)=d_{r+1}(x) ; définissons un complexe (C′,d′)(C',d') par Cn′=CnC'_n=C_n pour n≠r,r+1n\ne r,r+1, Cr′=MC'_r=M, Cr+1′=NC'_{r+1}=N, dn′=dnd'_n=d_n pour n≠r,r+1n\ne r,r+1, dr′=hd'_r=h, dr+1′(m,x)=md'_{r+1}(m,x)=m pour (m,x)∈N(m,x)\in N et dr+2′(y)=(0,dr+2(y))d'_{r+2}(y)=(0,d_{r+2}(y)) pour y∈Cr+2y\in C_{r+2}. Considérons aussi le morphisme de complexes f:C′→Cf:C'\to C tel que fn=1Cnf_n=1_{C_n} pour n≠r,r+1n\ne r,r+1, fr=hf_r=h, fr+1(m,x)=xf_{r+1}(m,x)=x.

b) Le complexe Ker⁡f\operatorname{Ker}f est nul en degré ≠r,r+1\ne r,r+1 et la différentielle dr+1′d'_{r+1} induit un isomorphisme de Ker⁡fr+1\operatorname{Ker}f_{r+1} sur Ker⁡fr\operatorname{Ker}f_r, donc H(Ker⁡f)=0H(\operatorname{Ker}f)=0.

c) Lorsque l’application composée M→hCr→Cr/Br(C)M\xrightarrow{h}C_r\to C_r/B_r(C) est surjective, on voit de même que H(Coker⁡f)=0H(\operatorname{Coker}f)=0, et ff est alors un homomorphisme (X, p. 31, cor. 2).

d) Lorsque AA est supposé noethérien et les AA-modules Hr(C)H_r(C) et Cr−1C_{r-1} de type fini, alors Cr/Br(C)C_r/B_r(C) est de type fini, en vertu de la suite exacte (X, p. 25)

0→Hr(C)→Cr/Br(C)→Cr−1 ; 0\to H_r(C)\to C_r/B_r(C)\to C_{r-1}\ ;

il existe alors un AA-module libre de type fini MM et un homomorphisme h:M→Crh:M\to C_r tel que la condition de c) soit satisfaite ; dans le cas général, il existe un module libre MM et un homomorphisme surjectif h:M→Crh:M\to C_r. Cela achève la démonstration.

6. Résolutions projectives minimales

Soit MM un AA-module et soit

(P)⋯⟶Fn→dnFn−1⟶⋯⟶F0→d0M⟶0 (P)\qquad \cdots \longrightarrow F_n \xrightarrow{d_n} F_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_0\xrightarrow{d_0} M\longrightarrow 0

une résolution de MM. On dit que (P)(P) est une résolution projective minimale si, pour tout n≥0n\geq 0, l’homomorphisme δn:Pn→Im⁡(dn)\delta_n:P_n\to \operatorname{Im}(d_n) induit par dnd_n est une couverture projective (VIII, § 8, no 5).

Proposition 8

Soient MM un AA-module, PP et P′P' deux résolutions projectives minimales de MM et f:P→P′f:P\to P' un morphisme de résolutions. Alors ff est un isomorphisme. En particulier, deux résolutions projectives minimales de MM sont isomorphes.

Posons P~n=Pn\widetilde P_n=P_n pour n≠−1n\ne-1 et P~−1=M\widetilde P_{-1}=M ; définissons de même P~n′\widetilde P'_n et posons f−1=1Mf_{-1}=1_M. Montrons par récurrence à partir de −1-1 que fn:P~n→P~n′f_n:\widetilde P_n\to\widetilde P'_n est un isomorphisme pour tout nn. C’est évident pour n=−1n=-1 ; supposons que fnf_n et fn−1f_{n-1} soient des isomorphismes. Il résulte de la commutativité du diagramme :

Pn→ dn Pn−1fn↓↓fn−1Pn′→ dn′ Pn−1′ \begin{array}{ccc} P_n & \xrightarrow{\ d_n\ } & P_{n-1}\\ {\scriptstyle f_n}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle f_{n-1}}\\ P'_n & \xrightarrow{\ d'_n\ } & P'_{n-1} \end{array}

que fnf_n induit un isomorphisme gng_n de Ker⁡dn\operatorname{Ker}d_n sur Ker⁡dn′\operatorname{Ker}d'_n. Il résulte alors de la commutativité du diagramme :

Pn+1→ δn+1 Ker⁡dnfn+1↓↓gnPn+1′→ δn+1′ Ker⁡dn′ \begin{array}{ccc} P_{n+1} & \xrightarrow{\ \delta_{n+1}\ } & \operatorname{Ker}d_n\\ {\scriptstyle f_{n+1}}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle g_n}\\ P'_{n+1} & \xrightarrow{\ \delta'_{n+1}\ } & \operatorname{Ker}d'_n \end{array}

et de VIII, loc. cit., que fn+1f_{n+1} est un isomorphisme.

Corollaire

Soient MM un AA-module, PP et P′P' deux résolutions projectives de MM ; on suppose que PP est minimale. Soient f:P→P′f:P\to P' et g:P′→Pg:P'\to P deux morphismes de résolutions. Alors ff est injectif, gg est surjectif, et P′P' est somme directe des sous-complexes Im⁡f\operatorname{Im}f et Ker⁡g\operatorname{Ker}g. De plus Ker⁡g\operatorname{Ker}g est d’homologie nulle.

En effet, α=g∘f\alpha=g\circ f est un automorphisme de PP (prop. 8). Posons f~=f∘α−1\widetilde f=f\circ\alpha^{-1}.

On a

Im⁡f~=Im⁡fetg∘f~=1P, \operatorname{Im}\widetilde f=\operatorname{Im}f \quad\text{et}\quad g\circ\widetilde f=1_P,

ce qui montre que P′=Im⁡f~⊕Ker⁡gP'=\operatorname{Im}\widetilde f\oplus\operatorname{Ker}g. Comme la suite

0⟶Ker⁡g⟶P′→ g P⟶0 0\longrightarrow\operatorname{Ker}g\longrightarrow P' \xrightarrow{\ g\ }P\longrightarrow0

est exacte et que gg est un homomorphisme, Ker⁡g\operatorname{Ker}g est d’homologie nulle.

Proposition 9

Soient MM un AA-module et (P,p)(P,p) une résolution projective de MM. Notons rr le radical de AA. On suppose, ou bien que PnP_n est un AA-module de type fini pour tout nn, ou bien que rr est nilpotent. Alors pour que (P,p)(P,p) soit minimale, il faut et il suffit que le complexe (A/r)⊗AP(A/r)\otimes_A P soit à différentielle nulle, autrement dit que

dn+1(Pn+1)⊂rPnpour tout n≥0. d_{n+1}(P_{n+1})\subset rP_n\quad\text{pour tout }n\geq0.

Supposons que (P,p)(P,p) soit minimale. D’après VIII, loc. cit., l’homomorphisme

1⊗δn:(A/r)⊗APn⟶(A/r)⊗AIm⁡dn 1\otimes\delta_n:(A/r)\otimes_A P_n\longrightarrow(A/r)\otimes_A\operatorname{Im}d_n

est un isomorphisme. Il résulte alors de la suite exacte

0⟶Im⁡dn+1→ jn Pn→ δn Im⁡dn⟶0 0\longrightarrow\operatorname{Im}d_{n+1} \xrightarrow{\ j_n\ }P_n \xrightarrow{\ \delta_n\ }\operatorname{Im}d_n \longrightarrow0

que l’homomorphisme 1⊗jn:(A/r)⊗AIm⁡dn+1→(A/r)⊗APn1 \otimes j_n : (A/r) \otimes_A \operatorname{Im} d_{n+1} \to (A/r) \otimes_A P_n est nul ; comme dn+1=jn∘δn+1d_{n+1} = j_n \circ \delta_{n+1}, on en déduit que 1A/r⊗dn+1=01_{A/r} \otimes d_{n+1} = 0 pour n⩾0n \geqslant 0.

Inversement, supposons que pour tout n⩾1n \geqslant 1, 1⊗dn1 \otimes d_n soit nul, autrement dit que Im⁡dn=Ker⁡dn−1\operatorname{Im} d_n = \operatorname{Ker} d_{n-1} soit contenu dans rPn−1rP_{n-1}. Puisque δn−1\delta_{n-1} est surjectif, il résulte de VIII, loc. cit. que δn−1\delta_{n-1} est une couverture projective pour n⩾1n \geqslant 1, donc que (P,p)(P, p) est minimale.

Proposition 10

Supposons que A soit un anneau local nœthérien à gauche, et soit M un A-module de type fini. Alors M possède une résolution minimale (P, p) ; pour tout n⩾0n \geqslant 0, PnP_n est un module libre de type fini.

En effet, dans la construction faite au n° 5 (p. 53), on peut en vertu de VIII, loc. cit. prendre pour (L0,p)(L_0, p) une couverture projective de M, et pour Ln+1L_{n+1} une couverture projective de Ker⁡dn\operatorname{Ker} d_n. La résolution obtenue est alors minimale.

*Remarques. — 1) Notons m l’idéal maximal de A et posons k=A/mk = A/m. Soit P une résolution projective minimale de M, et posons bn=dim⁡k(k⊗APn)b_n = \dim_k (k \otimes_A P_n). Alors PnP_n est un A-module libre de rang bnb_n. Il résulte du corollaire de la prop. 8 que pour toute autre résolution projective P′P' de M, on a dim⁡k(k⊗APn′)⩾bn\dim_k (k \otimes_A P'_n) \geqslant b_n, et que l’égalité a lieu si et seulement si P′P' est minimale.

2) D’après la prop. 9, bnb_n est la dimension sur kk de Hn(k⊗AP)H_n(k \otimes_A P), autrement dit de Tor⁡nA(k,M)\operatorname{Tor}_n^A(k, M). C’est aussi la dimension sur kk de Ext⁡An(M,k)\operatorname{Ext}_A^n(M, k) (cf. X, p. 103, remarque 3).

7. Résolutions graduées

Dans ce numéro, on suppose que l’anneau A est muni d’une graduation (An)n∈Z(A_n)_{n \in \mathbf{Z}}, telle que An=0A_n = 0 pour n<0n < 0. On dit qu’un A-module gradué M est borné inférieurement si Mn=0M_n = 0 pour nn assez petit ; tout A-module gradué de type fini est borné inférieurement.

Proposition 11

Si M est un A-module gradué borné inférieurement (resp. si M est un A-module gradué de type fini et si A est nœthérien à gauche), il existe une suite exacte illimitée à gauche de A-modules gradués

⋯⟶Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L1→d1L0→d0M⟶0 \cdots \longrightarrow L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_1 \xrightarrow{d_1} L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0

où les LiL_i sont gradués libres et bornés inférieurement (resp. gradués libres et de type fini), et où les did_i sont des homomorphismes gradués de degré 0.

Si N est un A-module gradué et borné inférieurement (resp. et de type fini sur A nœthérien) il existe un A-module gradué libre et borné inférieurement (resp. et de type fini) L et un homomorphisme gradué surjectif L→NL \to N (II, p. 167, remarque 3).

Cela étant, supposons donnée une suite exacte de A-modules gradués et d’homomorphismes gradués de degré 0

Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L0→d0M⟶0, L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0,

où les Li,i=0,…,nL_i, i = 0, \ldots, n, sont gradués libres et bornés inférieurement (resp. gradués libres et de type fini). Alors N=Ker dnN = \mathrm{Ker}\, d_n est borné inférieurement (resp. de type fini) ; il existe donc un A-module gradué libre et borné inférieurement (resp. gradué libre et de type fini) Ln+1L_{n+1} et un homomorphisme gradué dn+1:Ln+1→Lnd_{n+1} : L_{n+1} \to L_n de degré 0, tel que Im dn+1=N\mathrm{Im}\, d_{n+1} = N; la suite

Ln+1→dn+1Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L0→d0M⟶0 L_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0

est alors exacte. La proposition résulte alors de ce qui précède par récurrence sur nn.

8. La résolution standard

Dans ce numéro, on suppose que l’anneau AA est une algèbre (associative et unifière) sur un anneau commutatif kk. Pour n⩾0n \geqslant 0, on note BnB_n le produit tensoriel sur kk de (n+2)(n + 2) modules égaux à AA. On le considère comme un (A,A)(A, A)-bimodule en le munissant de la structure de A-module à gauche (resp. à droite) déduite de la structure de A-module à gauche (resp. à droite) du premier (resp. du dernier) facteur du produit tensoriel.

Pour n⩾1n \geqslant 1, on définit des homomorphismes de bimodules dnid_n^i (pour 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n) et dnd_n de BnB_n dans Bn−1B_{n-1}, par les formules :

dni(x0⊗…⊗xn+1)=x0⊗…⊗xi xi+1⊗…⊗xn+1,0⩽i⩽n, d_n^i(x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1}) = x_0 \otimes \ldots \otimes x_i\, x_{i+1} \otimes \ldots \otimes x_{n+1}, \quad 0 \leqslant i \leqslant n,
dn=∑i=0n(−1)idni. d_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i d_n^i.

Il est clair que

dn−1i∘dnj=dn−1j−1∘dnipouri<j d_{n-1}^i \circ d_n^j = d_{n-1}^{j-1} \circ d_n^i \quad \text{pour} \quad i < j
et par suite
dn−1∘dn=∑0⩽i<j⩽n(−1)i+jdn−1i∘dnj+∑0⩽j⩽i⩽n−1(−1)i+jdn−1i∘dnj=0. d_{n-1} \circ d_n = \sum_{0 \leqslant i < j \leqslant n} (-1)^{i+j} d_{n-1}^i \circ d_n^j + \sum_{0 \leqslant j \leqslant i \leqslant n-1} (-1)^{i+j} d_{n-1}^i \circ d_n^j = 0.

Par conséquent, si l’on pose Bn=0B_n = 0 pour n<0n < 0 et dn=0d_n = 0 pour n⩽0n \leqslant 0, la suite (Bn,dn)(B_n, d_n) définit un complexe de (A,A)(A, A)-bimodules (X, p. 43), qui sera noté B(A)B(A). Pour tout A-module à gauche MM, on note B(A,M)B(A, M) le complexe formé des Bn⊗AMB_n \otimes_A M et des dn⊗1Md_n \otimes 1_M, \* autrement dit le complexe produit tensoriel B(A)⊗AM∗B(A) \otimes_A M *; c’est un complexe de A-modules à gauche.

On définit une application A-linéaire εM\varepsilon_M de B0(A,M)=(A⊗kA)⊗AMB_0(A, M) = (A \otimes_k A) \otimes_A M dans MM par la formule εM(a⊗b⊗m)=abm\varepsilon_M(a \otimes b \otimes m) = abm pour a,b∈A,m∈Ma, b \in A, m \in M. On a εM∘d1=0\varepsilon_M \circ d_1 = 0, de sorte que l’homomorphisme gradué ε‾M:B(A,M)→M\overline{\varepsilon}_M : B(A, M) \to M, qui coïncide avec εM\varepsilon_M en degré 0, est un morphisme de complexes de A-modules.

Proposition 12

L’application ε‾M:B(A,M)→M\overline{\varepsilon}_M : B(A, M) \to M est un homotopisme de complexes de kk-modules. En particulier, le complexe B(A,M)B(A, M) est scindé sur kk, et (B(A,M),ε‾M)(B(A, M), \overline{\varepsilon}_M) est une résolution gauche du AA-module MM.

Pour n⩾0n \geqslant 0, définissons une application kk-linéaire sn:Bn→Bn+1s_n : B_n \to B_{n+1} par la formule :

sn(x0⊗…⊗xn+1)=1⊗x0⊗…⊗xn+1pour x0,…,xn+1∈A. s_n(x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1}) = 1 \otimes x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1} \quad \text{pour } x_0, \ldots, x_{n+1} \in A .

C’est un homomorphisme de AA-modules à droite, qui vérifie les identités :

dn+1i∘sn=sn−1∘dni−1pour n⩾1,1⩽i⩽n+1, d_{n+1}^i \circ s_n = s_{n-1} \circ d_n^{i-1} \quad \text{pour } n \geqslant 1 , \quad 1 \leqslant i \leqslant n + 1 ,
dn+10∘sn=1Bnpour n⩾1, d_{n+1}^0 \circ s_n = 1_{B_n} \qquad \text{pour } n \geqslant 1 ,

et on a par suite

(16)

dn+1∘sn+sn−1∘dn=1Bnpour n⩾1. d_{n+1} \circ s_n + s_{n-1} \circ d_n = 1_{B_n} \quad \text{pour } n \geqslant 1 .

De plus, on a

(17)

d1∘s0(x0⊗x1)=x0⊗x1−1⊗x0x1pour x0,x1∈A. d_1 \circ s_0(x_0 \otimes x_1) = x_0 \otimes x_1 - 1 \otimes x_0 x_1 \quad \text{pour } x_0, x_1 \in A .

Notons η:A→A⊗kA\eta : A \to A \otimes_k A l’application définie par η(a)=1⊗a\eta(a) = 1 \otimes a, et η‾:A→B(A)\overline{\eta} : A \to B(A) le morphisme de complexes qui coïncide avec η\eta en degré 0. Il est clair que ε‾A∘η‾=1A\overline{\varepsilon}_A \circ \overline{\eta} = 1_A; les formules (16) et (17) montrent que d∘s+s∘d=1B(A)−η‾∘ε‾Ad \circ s + s \circ d = 1_{B(A)} - \overline{\eta} \circ \overline{\varepsilon}_A. Posant η‾M=η‾⊗1M\overline{\eta}_M = \overline{\eta} \otimes 1_M, dM=d⊗1Md_M = d \otimes 1_M et sM=s⊗1Ms_M = s \otimes 1_M, on en déduit que ε‾M∘η‾M=1M\overline{\varepsilon}_M \circ \overline{\eta}_M = 1_M et dM∘sM+sM∘dM=1B(A,M)−η‾M∘ε‾Md_M \circ s_M + s_M \circ d_M = 1_{B(A,M)} - \overline{\eta}_M \circ \overline{\varepsilon}_M. Autrement dit, (X, p. 33, déf. 5), ε‾M\overline{\varepsilon}_M est un homotopisme de complexes de kk-modules. Les autres assertions de la proposition s’en déduisent aussitôt.

Définition 3

La résolution gauche (B(A,M),ε‾M)(B(A, M), \overline{\varepsilon}_M) de MM s’appelle la résolution standard du AA-module MM.

Si AA et MM sont des kk-modules projectifs (resp. libres, resp. plats), la résolution standard B(A,M)B(A, M) est une résolution projective (resp. libre, resp. plate) de MM.

9. Résolutions et groupes de Grothendieck

Si C\mathscr{C} est un ensemble de classes de AA-modules, on dira qu’une résolution gauche (P,p)(P, p) est bornée de type C\mathscr{C} si le complexe PP est borné de type C\mathscr{C} (X, p. 41).

Théorème 1

Soient C0\mathscr{C}_0 et C\mathscr{C} deux ensembles additifs et exacts à gauche de classe de AA-modules tels que C0⊂C\mathscr{C}_0 \subset \mathscr{C} et que tout AA-module de type C\mathscr{C} possède une résolution gauche bornée de type C0\mathscr{C}_0. Alors l’homomorphisme α:K(C0)→K(C)\alpha : K(\mathscr{C}_0) \to K(\mathscr{C}) déduit de l’inclusion de C0\mathscr{C}_0 dans C\mathscr{C} est bijectif ; si MM est un AA-module de type C\mathscr{C} et PP une résolution gauche de MM bornée de type C0\mathscr{C}_0, on a α−1([M]C)=χC0(P)\alpha^{-1}([M]_{\mathscr{C}}) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) (X, p. 41, exemple 6).

Lemme 4

Soient f:M′→Mf : M' \to M un homomorphisme de AA-modules de type C\mathscr{C}, et p:P→Mp : P \to M une résolution gauche de PP bornée de type C0\mathscr{C}_0. Il existe une résolution gauche p′:P′→M′p' : P' \to M' bornée de type C0\mathscr{C}_0 et un morphisme de complexes u:P′→Pu : P' \to P tel que p∘u=f∘p′p \circ u = f \circ p'.

Raisonnons par récurrence sur la longueur nn de PP, l’assertion étant triviale lorsque celle-ci est <0< 0. Considérons l’application g:M′×P0→Mg : M' \times P_0 \to M telle que

g(x,r′)=f(x)−p0(r′) g(x, r') = f(x) - p_0(r')
pour x∈M′,r′∈P0x \in M', r' \in P_0,

et son noyau KK; le AA-module KK est de type C\mathscr{C} puisque gg est surjective et que M′×P0M' \times P_0 et MM sont de type C\mathscr{C}. Soit h:P0′→Kh : P'_0 \to K un homomorphisme surjectif où P0′P'_0 est de type C0\mathscr{C}_0; notons p0′:P0′→M′p'_0 : P'_0 \to M' (resp. u0:P0′→P0u_0 : P'_0 \to P_0) l’homomorphisme composé de hh et de la projection K→MK \to M (resp. K→P0K \to P_0); l’homomorphisme p0′p'_0 est surjectif et on a un diagramme commutatif

P0′→u0P0p0′↓↓p0M′→fM. \begin{array}{ccc} P'_0 & \xrightarrow{u_0} & P_0 \\ p'_0 \downarrow & & \downarrow p_0 \\ M' & \xrightarrow{f} & M . \end{array}

Il suffit alors d’appliquer l’hypothèse de récurrence à l’homomorphisme

Ker⁡p0′→Ker⁡p0 \operatorname{Ker} p'_0 \to \operatorname{Ker} p_0

déduit de u0u_0.

Lemme 5

Considérons un diagramme commutatif

P′→uPp′↓↓p0→fM→M′′→0 \begin{array}{ccc} P' & \xrightarrow{u} & P \\ p' \downarrow & & \downarrow p \\ 0 & \xrightarrow{f} & M \to M'' \to 0 \end{array}

où (P,p)(P, p) (resp. (P′,p′)(P', p')) est une résolution gauche de MM (resp. M′M'), et où la ligne horizontale du bas est une suite exacte. Il existe un homologisme p′′:Con⁡(u)→M′′p'' : \operatorname{Con}(u) \to M''.

En effet, la suite exacte (X, p. 37, prop. 7)

0→P→πCon⁡(u)→δP′(−1)→0 0 \to P \xrightarrow{\pi} \operatorname{Con}(u) \xrightarrow{\delta} P'(-1) \to 0

donne une suite exacte d’homologie

→Hn(P)→Hn(Con⁡(u))→Hn−1(P′)→⋯ \to H_n(P) \to H_n(\operatorname{Con}(u)) \to H_{n-1}(P') \to \cdots
⋯→H1(Con⁡(u))→H0(P′)→∂^H0(P)→H0(Con⁡(u))→0. \cdots \to H_1(\operatorname{Con}(u)) \to H_0(P') \xrightarrow{\hat{\partial}} H_0(P) \to H_0(\operatorname{Con}(u)) \to 0 .

D’après X, p. 38, lemme 3 a), on a ∂=−H0(u)\partial = - H_0(u). Comme Hn(P)=0=Hn(P′)H_n(P) = 0 = H_n(P') pour n>0n > 0 et que H0(u):H0(P′)→H0(P)H_0(u) : H_0(P') \to H_0(P) s’identifie à f:M′→Mf : M' \to M, on en conclut que Hn(Con⁡(u))=0H_n(\operatorname{Con}(u)) = 0 pour n>0n > 0 et que H0(Con⁡(u))H_0(\operatorname{Con}(u)) est isomorphe à M′′M'', d’où le lemme.

Démontrons maintenant le théorème.

a) Soit M un A-module de type C\mathscr{C}. Pour toute résolution gauche (P,p)(P, p) de M bornée de type C0\mathscr{C}_0, l’élément χC0(P)\chi_{\mathscr{C}_0}(P) de K(C0)K(\mathscr{C}_0) ne dépend que de M. En effet, soient (P1,p1)(P_1, p_1) et (P2,p2)(P_2, p_2) deux résolutions de ce type. Considérons la résolution

(P1×P2,p1×p2) (P_1 \times P_2, p_1 \times p_2)
du A-module M×MM \times M et l’homomorphisme Δ:x↦(x,x)\Delta : x \mapsto (x, x) de M dans M×MM \times M. D’après le lemme 4, il existe une résolution (Q,q)(Q, q) de M bornée de type C0\mathscr{C}_0 et un diagramme commutatif
Q→uP1×P2q↓↓p1×p2M→ΔM×M; \begin{array}{ccc} Q & \xrightarrow{u} & P_1 \times P_2 \\ q \downarrow & & \downarrow p_1 \times p_2 \\ M & \xrightarrow{\Delta} & M \times M ; \end{array}
on en déduit un diagramme commutatif
Q→u∘priPiq↓↓piM→1MM,i=1,2. \begin{array}{ccc} Q & \xrightarrow{u \circ pr_i} & P_i \\ q \downarrow & & \downarrow p_i \\ M & \xrightarrow{1_M} & M , \quad i = 1, 2 . \end{array}
D’après le lemme 5, Con (u∘pri)(u \circ pr_i) est d’homologie nulle, donc u∘priu \circ pr_i est un homologisme et χC0(Q)=χC0(Pi)\chi_{\mathscr{C}_0}(Q) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P_i) (X, p. 41, prop. 10); il s’ensuit que χC0(P1)=χC0(P2)\chi_{\mathscr{C}_0}(P_1) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P_2) comme annoncé.

b) Pour tout A-module M de type C\mathscr{C}, soit φ(M)∈K(C0)\varphi(M) \in K(\mathscr{C}_0) la valeur commune des χC0(P)\chi_{\mathscr{C}_0}(P) pour toutes les résolutions gauches P de M bornées de type C0\mathscr{C}_0. Montrons que la fonction φ:C→K(C0)\varphi : \mathscr{C} \to K(\mathscr{C}_0) est additive. Soit donc

0→M′→fM→M′′→0 0 \to M' \xrightarrow{f} M \to M'' \to 0
une suite exacte de A-modules de type C\mathscr{C}. D’après le lemme 4, il existe un diagramme commutatif
P′→uPp′↓↓p0→fM→gM′′→0 \begin{array}{ccc} P' & \xrightarrow{u} & P \\ p' \downarrow & & \downarrow p \\ 0 & \xrightarrow{f} & M \xrightarrow{g} M'' \to 0 \end{array}
où (P,p)(P, p) et (P′,p′)(P', p') sont des résolutions gauches bornées de type C0\mathscr{C}_0. Alors on a
φ(M)=χC0(P),φ(M′)=χC0(P′) \varphi(M) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) , \qquad \varphi(M') = \chi_{\mathscr{C}_0}(P')
et d’après le lemme 5
φ(M′′)=χC0(Con (u))=χC0(P)−χC0(P′)=φ(M)−φ(M′); \varphi(M'') = \chi_{\mathscr{C}_0}(\mathrm{Con}\,(u)) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) - \chi_{\mathscr{C}_0}(P') = \varphi(M) - \varphi(M') ;
ce qu’on voulait démontrer.

c) Soit alors β:K(C)→K(C0)\beta : K(\mathscr{C}) \to K(\mathscr{C}_0) l’homomorphisme tel que, avec les notations précédentes, on ait β([M]C)=χC0(P)\beta([M]_{\mathscr{C}})=\chi_{\mathscr{C}_0}(P). Comme pp est un homomolisme, on a χC(P)=[M]C\chi_{\mathscr{C}}(P)=[M]_{\mathscr{C}}, donc α∘β([M]C)=α(χC0(P))=χC(P)=[M]C\alpha\circ\beta([M]_{\mathscr{C}})=\alpha(\chi_{\mathscr{C}_0}(P))=\chi_{\mathscr{C}}(P)=[M]_{\mathscr{C}} et α∘β=1K(C)\alpha\circ\beta=1_{K(\mathscr{C})}. Si MM est de type C0\mathscr{C}_0, alors (M,1M)(M,1_M) est une résolution de MM, donc φ(M)=[M]C0\varphi(M)=[M]_{\mathscr{C}_0} et β∘α=1K(C0)\beta\circ\alpha=1_{K(\mathscr{C}_0)}, ce qui achève la démonstration.

Nous appliquerons ce théorème aux modules de « dimension projective finie » au § 8 (X, p. 137).

Exercices

See the exercises for § 3.

Transcribed from the printed volume. Not translated.