Bourbaki

§ 3. Phân giải

Chúng tôi giữ lại các quy ước của đoạn trước.

1. Mở rộng các cấu xạ của các phức

Bổ đề 1

Xét một biểu đồ các A-môđun và các đồng cấu

M′→α′Mf′↓f↓N′→β′NM→αM′′f↓k′′↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ f' \downarrow & & f \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ f \downarrow & & k'' \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

sao cho f∘α′=β∘f′,α∘α′=0,Ker β=Im β′,vaˋ f=k′′∘α+β∘k vaˋ trong đoˊ M′ laˋ xạ ảnh. Toˆˋn tại một A-đoˆˋng caˆˊu k′:M′→N′ sao cho f′=k∘α′+β′∘k′.f \circ \alpha' = \beta \circ f', \alpha \circ \alpha' = 0, \mathrm{Ker}\ \beta = \mathrm{Im}\ \beta', \text{và } f = k'' \circ \alpha + \beta \circ k \text{ và trong đó } M' \text{ là xạ ảnh. Tồn tại một A-đồng cấu } k': M' \to N' \text{ sao cho } f' = k \circ \alpha' + \beta' \circ k'.

Thật vậy, đặt g=f′−k∘α′g = f' - k \circ \alpha'; ta có

β∘g=β∘f′−β∘k∘α′=f∘α′−β∘k∘α′=k′′∘α∘α′=0. \beta \circ g = \beta \circ f' - \beta \circ k \circ \alpha' = f \circ \alpha' - \beta \circ k \circ \alpha' = k'' \circ \alpha \circ \alpha' = 0.
Điều này suy ra Im (g)⊂Ker (β)=Im (β′)\mathrm{Im}\ (g) \subset \mathrm{Ker}\ (\beta) = \mathrm{Im}\ (\beta'). Vì M′M' là xạ ảnh, do đó tồn tại một A-đồng cấu k′:M′→N′k': M' \to N' sao cho β′∘k′=g\beta' \circ k' = g, do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2

Nếu trong biểu đồ giao hoán các A-môđun và các đồng cấu

M′→α′M↓u↓u′′N′→β′NM→αM′′↓↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ & \downarrow u & \downarrow u'' \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ & \downarrow & \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

ta có α∘α′=0,Ker β=Im β′\alpha \circ \alpha' = 0, \mathrm{Ker}\ \beta = \mathrm{Im}\ \beta' và nếu M′M' là xạ ảnh, thì tồn tại một A-đồng cấu u′:M′→N′u': M' \to N' sao cho β′∘u′=u∘α′\beta' \circ u' = u \circ \alpha'.

Chỉ cần đặt k′′=u′′,k=−u,f=0,f′=0k'' = u'', k = -u, f = 0, f' = 0 và u′=k′u' = k' trong Bổ đề 1.

Bổ đề 1 bis. — Xét một biểu đồ các A-môđun và các đồng cấu

M′→α′Mk′↓k↓N′→β′NM→αM′′f′↓f↓N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \\ k' \downarrow & & k \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \end{array} \quad \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\alpha} & M'' \\ f' \downarrow & & f \downarrow \\ N & \xrightarrow{\beta} & N'' \end{array}

sao cho f∘α′=β∘f′f \circ \alpha' = \beta \circ f', Ker α=Im α′\mathrm{Ker}\, \alpha = \mathrm{Im}\, \alpha', β∘β′=0\beta \circ \beta' = 0, và f′=k∘α′+β′∘k′f' = k \circ \alpha' + \beta' \circ k' và trong đó N′′N'' là nội xạ. Tồn tại một AA-đồng cấu k′′:M′′→N′′k'' : M'' \to N'' sao cho f=k′′∘α+β∘kf = k'' \circ \alpha + \beta \circ k.

Thật vậy, đặt g=f−β∘kg = f - \beta \circ k, ta có

g∘α′=f∘α′−β∘k∘α′=β∘f′−β∘k∘α′=β∘β′∘k′=0. g \circ \alpha' = f \circ \alpha' - \beta \circ k \circ \alpha' = \beta \circ f' - \beta \circ k \circ \alpha' = \beta \circ \beta' \circ k' = 0 .
Điều này suy ra Ker g⊃Im α′=Ker α\mathrm{Ker}\, g \supset \mathrm{Im}\, \alpha' = \mathrm{Ker}\, \alpha. Vì N′′N'' là đơn ánh, do đó tồn tại (X, p. 16, nhận xét) một AA-đồng cấu k′:M′′→N′′k' : M'' \to N'' sao cho g=k′′∘αg = k'' \circ \alpha, do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 2 bis. — Nếu, trong biểu đồ giao hoán các AA-môđun và các đồng cấu

M′→α′M→αM′′u′↓u↓N′→β′N→βN′′ \begin{array}{ccc} M' & \xrightarrow{\alpha'} & M \xrightarrow{\alpha} M'' \\ u' \downarrow & & u \downarrow \\ N' & \xrightarrow{\beta'} & N \xrightarrow{\beta} N'' \end{array}

ta có Ker α=Im α′,β∘β′=0\mathrm{Ker}\, \alpha = \mathrm{Im}\, \alpha', \beta \circ \beta' = 0 và nếu N′′N'' là đơn ánh, thì tồn tại một AA-đồng cấu u′′:M′′→N′′u'' : M'' \to N'' sao cho u′′∘α=β∘uu'' \circ \alpha = \beta \circ u. Chỉ cần đặt u′=k′,u=−k,f=0,f′=0u' = k', u = -k, f = 0, f' = 0 và k′′=u′′k'' = u'' trong Bổ đề 1 bis.

Mệnh đề 1

Cho (P,dP)(P, d_P) và (E,dE)(E, d_E) là hai phức các AA-môđun và rr là một số nguyên.

a) Cho (ui:Pi→Ei)i≤r(u_i : P_i \to E_i)_{i \leq r} là một họ các đồng cấu sao cho dE∘ui=ui−1∘dPd_E \circ u_i = u_{i-1} \circ d_P với i≤ri \leq r. Giả sử rằng PiP_i là xạ ảnh với i>ri > r và Hi(E)=0H_i(E) = 0 với i≥ri \geq r. Khi đó họ các uiu_i được mở rộng thành một cấu xạ của các phức từ PP vào EE; hai mở rộng như vậy là đồng luân.

b) Cho (ui:Pi→Ei)i≤r(u^i : P^i \to E^i)_{i \leq r} là một họ các đồng cấu sao cho ui∘dP=dE∘ui−1u^i \circ d_P = d_E \circ u^{i-1} với i≤ri \leq r. Giả sử rằng EiE^i là đơn ánh với i>ri > r và Hi(P)=0H^i(P) = 0 với i≥ri \geq r. Khi đó họ các uiu^i mở rộng thành một cấu xạ của các phức từ PP vào EE; hai mở rộng như vậy là đồng luân.

Ta chứng minh a). Sự tồn tại của một mở rộng vv của họ (ui)i≤r(u_i)_{i \leq r} suy ra ngay từ Bổ đề 2 bằng quy nạp. Cho v′v' là một mở rộng khác; đặt f=v′−vf = v' - v, và xây dựng bằng quy nạp theo số nguyên nn một đồng cấu kn:Pn→En+1k_n : P_n \to E_{n+1} sao cho fn=dE∘kn+kn−1∘dPf_n = d_E \circ k_n + k_{n-1} \circ d_P. Với i≤ri \leq r, lấy ki=0k_i = 0. Cho n≥rn \geq r và giả sử rằng các kik_i đã được xây dựng với i≤ni \leq n. Khi đó xét biểu đồ

Pn+1→dPPn→dPPn−1fn+1↓kn−1↓En+2→dEEn+1→dEEn. \begin{array}{cccccc} P_{n+1} & \xrightarrow{d_P} & P_n & \xrightarrow{d_P} & P_{n-1} \\ f_{n+1} \downarrow & & & & k_{n-1} \downarrow \\ E_{n+2} & \xrightarrow{d_E} & E_{n+1} & \xrightarrow{d_E} & E_n . \end{array}

Các giả thiết của Bổ đề 1 được thỏa mãn; do đó tồn tại một AA-đồng cấu kn+1:Pn+1→En+2k_{n+1} : P_{n+1} \to E_{n+2} sao cho fn+1=dE∘kn+1+kn∘dPf_{n+1} = d_E \circ k_{n+1} + k_n \circ d_P, do đó suy ra a).

Chứng minh của b) là tương tự, thông qua các Bổ đề 1 bis và 2 bis.

2. Phân giải

Trong phần sau, một môđun sẽ luôn luôn được đồng nhất với phức mà trong đó nó là thành phần bậc không và mọi thành phần khác của nó đều bằng không.

Định nghĩa 1

Cho MM là một AA-môđun. Một phân giải trái của MM là một cặp (P,p)(P,p) trong đó PP là một phức bằng không ở bên phải và p:P→Mp:P\to M là một đồng cấu. Một phân giải phải của MM là một cặp (e,E)(e,E) trong đó EE là một phức bằng không ở bên trái và e:M→Ee:M\to E là một đồng cấu.

Độ dài của phân giải (P,p)(P,p) (ứng với (e,E)(e,E)) được gọi là độ dài của phức PP (ứng với EE). Nếu (P,p)(P,p) và (P′,p′)(P',p') (ứng với (e,E)(e,E) và (e′,E′)(e',E')) là hai phân giải trái (ứng với phải) của MM, thì một cấu xạ của các phức f:P→P′f:P\to P' sao cho p′∘f=pp'\circ f=p (ứng với g:E→E′g:E\to E' sao cho g∘e=e′g\circ e=e') được gọi là một cấu xạ của các phân giải.

Mệnh đề 2

Cho PP là một phức bằng không ở bên phải và p:P→Mp:P\to M là một cấu xạ. Để (P,p)(P,p) là một phân giải trái của MM, điều kiện cần và đủ là dãy

(1)

⋯⟶Pn→dPPn−1⟶⋯⟶P1→dPP0→pM⟶0 \cdots\longrightarrow P_n\xrightarrow{d_P}P_{n-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\xrightarrow{d_P}P_0\xrightarrow{p}M\longrightarrow0

là khớp.

Thật vậy, nói rằng p:P→Mp:P\to M là một đồng cấu có nghĩa là Hi(P)=0H_i(P)=0 với i>0i>0 và p0p_0 cảm sinh một đẳng cấu từ Coker⁡(dP:P1→P0)\operatorname{Coker}(d_P:P_1\to P_0) lên MM.

Tương tự:

Mệnh đề 2bis. — Cho EE là một phức triệt tiêu ở bên trái và e:M→Ee:M\to E là một cấu xạ. Để (e,E)(e,E) là một phân giải phải của MM, điều kiện cần và đủ là dãy

(1 bis)

0⟶M→e0E0→dEE1⟶⋯⟶En→dEEn+1⟶⋯ 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_0}E^0\xrightarrow{d_E}E^1\longrightarrow\cdots\longrightarrow E^n\xrightarrow{d_E}E^{n+1}\longrightarrow\cdots

là khớp.

Do lạm dụng ngôn ngữ, người ta thường nói rằng dãy (1) (tương ứng, (1 bis)) là một phân giải trái (tương ứng, phải) của MM.

Định nghĩa 2

Một phân giải xạ ảnh (tương ứng, tự do, tương ứng, phẳng) của AA-môđun MM là một phân giải trái (P,p)(P,p) của MM sao cho phức PP là xạ ảnh (tương ứng, tự do, tương ứng, phẳng) (X, p. 25). Một phân giải nội xạ của MM là một phân giải phải (e,E)(e,E) của MM sao cho phức EE là nội xạ (loc. cit.).

Ví dụ 1

Giả sử rằng vành AA là chính; cho MM là một AA-môđun và (xi)i∈I(x_i)_{i\in I} là một họ sinh của MM. Ký hiệu L0L_0 là môđun tự do A(I)A^{(I)}, (ei)(e_i) là cơ sở chính tắc của nó, và định nghĩa p:L0→Mp:L_0\to M bởi p(ei)=xip(e_i)=x_i. Cấu xạ pp là toàn ánh và hạt nhân của nó L1L_1 là một AA-môđun tự do theo VII, § 3, Hệ quả 2 của Định lý 1; do đó dãy khớp

0⟶L1⟶L0→pM⟶0 0\longrightarrow L_1\longrightarrow L_0\xrightarrow{p}M\longrightarrow0

là một phân giải tự do của MM có độ dài 1. Nếu II là hữu hạn, thì L0L_0 và L1L_1 là hữu hạn kiểu.

Ví dụ 2

Giả sử A giao hoán; cho E là một A-môđun và u là một tự đồng cấu của E. Ký hiệu bởi EuE_u môđun A[X]A[X] thu được bằng cách trang bị cho E cấu trúc được định nghĩa bởi

(p,x)↦p(u)(x)vớip∈A[X]vaˋx∈E. (p, x) \mapsto p(u)(x) \quad \text{với} \quad p \in A[X] \quad \text{và} \quad x \in E.

Theo III, p. 106, ta có một dãy khớp:

0→A[X]⊗AE→ψA[X]⊗AE→φEu→0 0 \to A[X] \otimes_A E \xrightarrow{\psi} A[X] \otimes_A E \xrightarrow{\varphi} E_u \to 0

trong đó φ(p⊗x)=p.x\varphi(p \otimes x) = p.x và ψ(p⊗x)=Xp⊗x−p⊗u(x)\psi(p \otimes x) = Xp \otimes x - p \otimes u(x) với p∈A[X]p \in A[X] và x∈Ex \in E. Dãy khớp này là một phân giải có độ dài 1 của EuE_u, tự do (tương ứng, xạ ảnh, tương ứng, hữu hạn kiểu) nếu E là một A-môđun tự do (tương ứng, xạ ảnh, tương ứng, hữu hạn kiểu).

Ví dụ 3

Nếu A là chính, dãy khớp

0→A→K→K/A→0 0 \to A \to K \to K/A \to 0

là một phân giải nội xạ có độ dài 1 của A-môđun AsA_s (X, p. 18, Ví dụ 1).

Mệnh đề 3

Cho f:M′→Mf : M' \to M là một đồng cấu của các A-môđun, p′:P′→M′p' : P' \to M' là một cấu xạ vào M′M' của một phức triệt tiêu ở bên phải và xạ ảnh P′P', và p:P→Mp : P \to M là một phân giải trái của M. Tồn tại một cấu xạ các phức f~:P′→P\tilde{f} : P' \to P, và chỉ có một, sai khác bởi đồng luân, sao cho p∘f~=f∘p′p \circ \tilde{f} = f \circ p'.

Xét phức P‾\overline{P} được xác định như sau: P‾n=Pn\overline{P}_n = P_n với n≠−1n \neq -1, P‾−1=M\overline{P}_{-1} = M, dP‾,n=dP,nd_{\overline{P},n} = d_{P,n} với n≠0,−1n \neq 0, -1, dP‾,0=p0d_{\overline{P},0} = p_0, dP‾,−1=0d_{\overline{P},-1} = 0, và phức P‾′\overline{P}' được xác định tương tự. Áp dụng cho các phức P‾\overline{P} và P‾′\overline{P}' Mệnh đề 1 a) với r=0r = 0, ui=0u_i = 0 với i<−1i < -1 và u−1=fu_{-1} = f, ta thu được Mệnh đề 3.

Hệ quả

Cho (P,p)(P, p) và (P′,p′)(P', p') là hai phân giải xạ ảnh của M. Tồn tại một cấu xạ, và chỉ một đến đồng luân, α:P′→P\alpha : P' \to P sao cho p∘α=p′p \circ \alpha = p'.

Thật vậy, tồn tại một cấu xạ α:P′→P\alpha : P' \to P (tương ứng, β:P→P′\beta : P \to P') sao cho p∘α=p′p \circ \alpha = p' (tương ứng, p′∘β=pp' \circ \beta = p). Vì p∘α∘β=pp \circ \alpha \circ \beta = p (tương ứng, p′∘β∘α=p′p' \circ \beta \circ \alpha = p'), nên α∘β\alpha \circ \beta đồng luân với 1P1_P (tương ứng, β∘α\beta \circ \alpha đồng luân với 1P′1_{P'}).

MỆNH ĐỀ 3 bis. — Cho g:N→N′g : N \to N' là một đồng cấu các A-môđun, e′:N′→E′e' : N' \to E' một cấu xạ từ N′N' vào một phức trái không và đơn ánh E′E', và e:N→Ee : N \to E một phân giải phải của N. Tồn tại một cấu xạ các phức g~:E→E′\tilde{g} : E \to E', và chỉ một đến đồng luân, sao cho g~∘e=e′∘g\tilde{g} \circ e = e' \circ g.

Điều này được chứng minh như Mệnh đề 3 với sự trợ giúp của Mệnh đề 1 b).

Hệ quả

Cho (e,E)(e, E) và (e′,E′)(e', E') là hai phân giải đơn ánh của N; tồn tại một cấu xạ α:E→E′\alpha : E \to E' và chỉ một đến đồng luân sao cho α∘e=e′\alpha \circ e = e'.

3. Phân giải tự do chính tắc

Với mọi A-môđun M, ký hiệu L_0(M) là A-môđun tự do A^{(M)} có cơ sở là M, ký hiệu (e_m)_{m \in M} là cơ sở chính tắc của nó, và ký hiệu pM:L0(M)→Mp_M : L_0(M) \to M là đồng cấu sao cho

pM(em)=m,m∈M. p_M(e_m) = m , \quad m \in M .
Đặt Z0(M)=Ker pMZ_0(M) = \mathrm{Ker}\, p_M và gọi iM:Z0(M)→L0(M)i_M : Z_0(M) \to L_0(M) là đơn ánh chính tắc. Ta có một dãy khớp
(1)0⟶Z0(M)→iML0(M)→pMM⟶0. (1) \qquad 0 \longrightarrow Z_0(M) \xrightarrow{i_M} L_0(M) \xrightarrow{p_M} M \longrightarrow 0 .
Một môđun phân bậc L(M) được xác định bằng cách đặt Ln(M)=0L_n(M) = 0 với n<0n < 0 và, bằng quy nạp theo số nguyên n>0n > 0
(2)Ln(M)=L0(Zn−1(M));Zn(M)=Z0(Zn−1(M)). (2) \qquad L_n(M) = L_0(Z_{n-1}(M)) ; \qquad Z_n(M) = Z_0(Z_{n-1}(M)) .
Các A-đồng cấu dnM:Ln(M)→Ln−1(M)d_n^M : L_n(M) \to L_{n-1}(M) được xác định bởi
(3){dnM=0,n⩽0,d1M=iM∘pZ0(M),dnM=iZn−2(M)∘pZn−1(M),n>1. (3) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} d_n^M = 0 , & n \leqslant 0 , \\ d_1^M = i_M \circ p_{Z_0(M)} , \\ d_n^M = i_{Z_{n-2}(M)} \circ p_{Z_{n-1}(M)} , & n > 1 . \end{array} \right.
Theo phép dựng ta có một dãy khớp
⟶Ln(M)→dnMLn−1(M)⟶⋯⟶L0(M)→pMM⟶0, \longrightarrow L_n(M) \xrightarrow{d_n^M} L_{n-1}(M) \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0(M) \xrightarrow{p_M} M \longrightarrow 0 ,
nên, nếu mở rộng pMp_M thành một cấu xạ các phức
pM:(L(M),dM)→M, p_M : (L(M), d^M) \to M ,
ta thu được một phân giải tự do của M, gọi là phân giải tự do chính tắc của M.

Cho f:M→Nf : M \to N là một A-đồng cấu của các A-môđun. Ký hiệu

L0(f):L0(M)→L0(N) L_0(f) : L_0(M) \to L_0(N)
là A-đồng cấu duy nhất sao cho L0(f)(em)=ef(m)L_0(f)(e_m) = e_{f(m)} với mọi m∈Mm \in M. Ta có
(4)pN∘L0(f)=f∘pM. (4) \qquad p_N \circ L_0(f) = f \circ p_M .
Do đó L0(f)L_0(f) cảm sinh một A-đồng cấu Z0(f):Z0(M)→Z0(N)Z_0(f) : Z_0(M) \to Z_0(N) và ta có
(5)iN∘Z0(f)=L0(f)∘iM. (5) \qquad i_N \circ Z_0(f) = L_0(f) \circ i_M .
Đặt Ln(f)=0L_n(f) = 0, với n<0n < 0 và định nghĩa bằng quy nạp theo số nguyên n>0n > 0, các đồng cấu Ln(f):Ln(M)→Ln(N)L_n(f) : L_n(M) \to L_n(N) và Zn(f):Zn(M)→Zn(N)Z_n(f) : Z_n(M) \to Z_n(N) bởi
(6){Ln(f)=L0(Zn−1(f))Zn(f)=Z0(Zn−1(f)). (6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} L_n(f) = L_0(Z_{n-1}(f)) \\ Z_n(f) = Z_0(Z_{n-1}(f)) . \end{array} \right.

Mệnh đề 4

L(f):L(M)→L(N)L(f) : L(M) \to L(N) là một cấu xạ của các phức A-môđun; ta có pM∘L(f)=f∘pNp_M \circ L(f) = f \circ p_N.

Cần chứng minh, với mọi số nguyên n>0n > 0, công thức

dnN∘Ln(f)=Ln−1(f)∘dnM. d_n^N \circ L_n(f) = L_{n-1}(f) \circ d_n^M .

Trước hết ta có

d1N∘L1(f)=iN∘pZ0(N)∘L0(Z0(f))(theo (3) vaˋ (6))=iN∘Z0(f)∘pZ0(M)(theo (4))=L0(f)∘iM∘pZ0(M)(theo (5))=L0(f)∘d1M(theo (3)). \begin{align*} d_1^N \circ L_1(f) &= i_N \circ p_{Z_0(N)} \circ L_0(Z_0(f)) & \text{(theo (3) và (6))} \\ &= i_N \circ Z_0(f) \circ p_{Z_0(M)} & \text{(theo (4))} \\ &= L_0(f) \circ i_M \circ p_{Z_0(M)} & \text{(theo (5))} \\ &= L_0(f) \circ d_1^M & \text{(theo (3))} . \end{align*}

Khi n>1n > 1, ta lần lượt có

dnN∘Ln(f)=iZn−2(N)∘pZn−1(N)∘L0(Zn−1(f))(theo (3) vaˋ (6))=iZn−2(N)∘Zn−1(f)∘pZn−1(M)(theo (4))=iZn−2(N)∘Z0(Zn−2(f))∘pZn−1(M)(theo (6))=L0(Zn−2(f))∘iZn−2(M)∘pZn−1(M)(theo (5))=Ln−1(f)∘dnM(theo (3) vaˋ (6)). \begin{align*} d_n^N \circ L_n(f) &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ p_{Z_{n-1}(N)} \circ L_0(Z_{n-1}(f)) & \text{(theo (3) và (6))} \\ &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ Z_{n-1}(f) \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(theo (4))} \\ &= i_{Z_{n-2}(N)} \circ Z_0(Z_{n-2}(f)) \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(theo (6))} \\ &= L_0(Z_{n-2}(f)) \circ i_{Z_{n-2}(M)} \circ p_{Z_{n-1}(M)} & \text{(theo (5))} \\ &= L_{n-1}(f) \circ d_n^M & \text{(theo (3) và (6))} . \end{align*}

Ta có ngay

(7)

L(1M)=1L(M). L(1_M) = 1_{L(M)} .

Mặt khác, nếu g:N→Pg : N \to P là một A-đồng cấu của các A-môđun, ta có

(8)

L(g∘f)=L(g)∘L(f). L(g \circ f) = L(g) \circ L(f) .

Thật vậy, với m∈Mm \in M, ta có

L0(g∘f)(em)=eg∘f(m)=L0(g)(ef(m))=L0(g)∘L0(f)(em), L_0(g \circ f)(e_m) = e_{g \circ f(m)} = L_0(g)(e_{f(m)}) = L_0(g) \circ L_0(f)(e_m) ,
do đó L0(g∘f)=L(g)∘L(f)L_0(g \circ f) = L(g) \circ L(f); do đó Z0(g∘f)=Z0(g)∘Z0(f)Z_0(g \circ f) = Z_0(g) \circ Z_0(f); do đó ngay lập tức Ln(g∘f)=Ln(g)∘Ln(f)L_n(g \circ f) = L_n(g) \circ L_n(f), với n⩾0n \geqslant 0, bằng quy nạp theo nn, do đó có (8).

Nhận xét

Nếu f,g∈HomA(M,N)f, g \in \mathrm{Hom}_A(M, N), ta không có L(f+g)=L(f)+L(g)L(f + g) = L(f) + L(g). Tuy nhiên hai cấu xạ này là đồng luân theo X, p. 49, mệnh đề 3.

Cho MM là một A-môđun phải; ký hiệu A∘A^\circ là vành đối của AA, M∘M^\circ là A∘A^\circ-môđun nền của MM, L(M∘)L(M^\circ) là phân giải tự do chính tắc của nó. Phân giải này được ký hiệu là L(M)L(M), và A-phức nền L(M∘)∘L(M^\circ)^\circ của L(M∘)L(M^\circ) được gọi là phân giải tự do chính tắc của MM. Do đó ta có

L(M∘)=L(M)∘. L(M^\circ) = L(M)^\circ .

4. Phân giải nội xạ chính tắc

Cho FF là A-môđun Hom⁡Z(A,Q/Z)\operatorname{Hom}_{\mathbf Z}(A,\mathbf Q/\mathbf Z); với mọi A-môđun MM, đặt I0(M)=FHom⁡A(M,F)I^0(M)=F^{\operatorname{Hom}_A(M,F)} và ký hiệu bởi eM:M⟶I0(M)e_M:M\longrightarrow I^0(M) đồng cấu gán cho m∈Mm\in M họ (φ(m))φ∈Hom⁡A(M,F)(\varphi(m))_{\varphi\in\operatorname{Hom}_A(M,F)}. Theo X, p. 19, hệ quả 2, I0(M)I^0(M) là một A-môđun nội xạ và eMe_M là đơn ánh. Đặt K0(M)=Coker⁡eMK^0(M)=\operatorname{Coker}e_M và ký hiệu bởi qM:I0(M)⟶K0(M)q_M:I^0(M)\longrightarrow K^0(M) phép chiếu chính tắc. Do đó ta có một dãy khớp

0⟶M→eMI0(M)→qMK0(M)⟶0. 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_M} I^0(M)\xrightarrow{q_M} K^0(M)\longrightarrow 0.

Một AA-môđun phân bậc I(M)I(M) được định nghĩa bằng cách đặt In(M)=0I^n(M)=0 với n<0n<0 và, theo phép truy hồi trên số nguyên n>0n>0,

(9)

In(M)=I0(Kn−1(M)),Kn(M)=K0(Kn+1(M)). I^n(M)=I^0(K^{n-1}(M)),\qquad K^n(M)=K^0(K^{n+1}(M)).

Các AA-đồng cấu δMn:In(M)⟶In+1(M)\delta_M^n:I^n(M)\longrightarrow I^{n+1}(M) được định nghĩa bởi

(10)

{δMn=0,n<0,δM0=ϵK0(M)∘qM,δMn=ϵKn(M)∘qKn−1(M),n>0. \left\{ \begin{aligned} \delta_M^n&=0, && n<0,\\ \delta_M^0&=\epsilon_{K^0(M)}\circ q_M,\\ \delta_M^n&=\epsilon_{K^n(M)}\circ q_{K^{n-1}(M)}, && n>0. \end{aligned} \right.

Theo phép dựng, ta có một dãy khớp

0⟶M→eMI0(M)→δM0⋯⟶In(M)→δMnIn+1(M)⟶⋯ , 0\longrightarrow M\xrightarrow{e_M} I^0(M)\xrightarrow{\delta_M^0}\cdots\longrightarrow I^n(M)\xrightarrow{\delta_M^n}I^{n+1}(M)\longrightarrow\cdots,

sao cho, nếu mở rộng eMe_M thành một cấu xạ của các phức

eM:M⟶(I(M),δM), e_M:M\longrightarrow (I(M),\delta_M),

thì ta thu được một giải đơn ánh của MM, gọi là giải đơn ánh chính tắc của MM.

Cho f:M⟶Nf:M\longrightarrow N là một đồng cấu của các AA-môđun. Gọi I0(f)I^0(f) là đồng cấu từ I0(M)=FHom⁡A(M,F)I^0(M)=F^{\operatorname{Hom}_A(M,F)} vào I0(N)=FHom⁡A(N,F)I^0(N)=F^{\operatorname{Hom}_A(N,F)} biến họ (xφ)φ∈Hom⁡A(M,F)(x_\varphi)_{\varphi\in\operatorname{Hom}_A(M,F)} thành họ (xψ∘f)ψ∈Hom⁡A(N,F)(x_{\psi\circ f})_{\psi\in\operatorname{Hom}_A(N,F)}. Ta có:

(11)

I0(f)∘eM=eN∘f. I^0(f)\circ e_M=e_N\circ f.

Suy ra I0(f)I^0(f) cảm sinh một đồng cấu K0(f):K0(M)⟶K0(N)K^0(f):K^0(M)\longrightarrow K^0(N) và ta có

(12)

K0(f)∘qM=qN∘K0(f). K^0(f)\circ q_M=q_N\circ K^0(f).

Đặt In(f)=0I^n(f)=0 với n<0n<0 và định nghĩa, theo phép truy hồi trên số nguyên n>0n>0, các đồng cấu In(f):In(M)⟶In(N)I^n(f):I^n(M)\longrightarrow I^n(N) và Kn(f):Kn(M)⟶Kn(N)K^n(f):K^n(M)\longrightarrow K^n(N) bởi:

(13)

{In(f)=I0(Kn−1(f)),Kn(f)=K0(Kn−1(f)). \left\{ \begin{aligned} I^n(f)&=I^0(K^{n-1}(f)),\\ K^n(f)&=K^0(K^{n-1}(f)). \end{aligned} \right.

Mệnh đề 5

I(f) : I(M) → I(N) là một cấu xạ của các phức các A-môđun; ta có I(f) ◦ e_M = e_N ◦ f. Điều này được chứng minh theo một cách tương tự như Mệnh đề 4.

Ta có (14)

I(1M)=1I(M) I(1_M) = 1_{I(M)}
và với mọi đồng cấu g:N→Pg : N \to P của các A-môđun (15)
I(g∘f)=I(g)∘I(f). I(g \circ f) = I(g) \circ I(f) .

Nhận xét

Nếu f,g∈HomA(M,N)f, g \in \mathrm{Hom}_A(M, N), thì không có I(f+g)=I(f)+I(g)I(f + g) = I(f) + I(g). Tuy nhiên, hai cấu xạ này là đồng luân theo X, p. 49, mệnh đề 3 bis.

Nếu M là một A-môđun phải, thì đặt I(M)=I(M∘)∘I(M) = I(M^\circ)^\circ; điều này được gọi là giải đơn ánh chính tắc của M, và ta có

I(M∘)=I(M)∘. I(M^\circ) = I(M)^\circ .

5. Các giải kiểu hữu hạn

Đặc biệt, từ hai số trước suy ra rằng mọi A-môđun đều có các giải đơn ánh, các giải tự do (do đó cũng có các giải xạ ảnh hoặc phẳng). Trong một số trường hợp, người ta có thể nói chính xác hơn:

Giả sử AA là Noether trái và MM là một AA-môđun. Ta hãy xây dựng bằng quy nạp các dãy (Ln)n≥0(L_n)_{n \geq 0}, (Zn)n≥0(Z_n)_{n \geq 0}, (dn)n≥1(d_n)_{n \geq 1} mà, với mọi n≥0n \geq 0, LnL_n là một AA-môđun tự do sinh hữu hạn, ZnZ_n là một môđun con của LnL_n và dn+1:Ln+1→Lnd_{n+1} : L_{n+1} \to L_n là một đồng cấu. Để làm việc đó, chọn một họ sinh hữu hạn (mi)i∈I0(m_i)_{i \in I_0} của MM, đặt L0=A(I0)L_0 = A^{(I_0)}, định nghĩa p:L0→Mp : L_0 \to M bởi p(ei)=mip(e_i) = m_i và đặt Z0=Ker (p)Z_0 = \mathrm{Ker}\,(p). Với n≥0n \geq 0, giả sử đã xây dựng LnL_n và ZnZ_n, thì ZnZ_n sinh hữu hạn vì được chứa trong LnL_n; chọn một họ sinh hữu hạn (xn,i)i∈In+1(x_{n,i})_{i \in I_{n+1}} của ZnZ_n; đặt Ln+1=A(In+1)L_{n+1} = A^{(I_{n+1})}, định nghĩa dn+1d_{n+1} bởi dn+1(ei)=xn,id_{n+1}(e_i) = x_{n,i} và đặt Zn+1=Ker (dn+1)Z_{n+1} = \mathrm{Ker}\,(d_{n+1}).

Theo phép dựng ta có một dãy khớp

⋯⟶Ln+1→dn+1Ln⟶⋯⟶L0→pM⟶0, \cdots \longrightarrow L_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} L_n \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{p} M \longrightarrow 0 ,
do đó:

Mệnh đề 6

Khi AA là Noether trái, mọi AA-môđun MM sinh hữu hạn đều có một phân giải tự do p:L→Mp : L \to M sao cho LnL_n sinh hữu hạn với mọi số nguyên n. Nói chung hơn:

Mệnh đề 7

Cho CC là một AA-phức và a∈Za \in \mathbf{Z} sao cho Hn(C)=0H_n(C) = 0 với n<an < a. a) Tồn tại một AA-phức tự do LL sao cho Ln=0L_n = 0 với n<an < a và một đồng cấu đồng điều f:L→Cf : L \to C.

b) Giả sử AA là Noether trái và các AA-môđun Hn(C)H_n(C), n∈Zn\in \mathbf{Z}, sinh hữu hạn. Tồn tại một AA-phức tự do LL sao cho Ln=0L_n=0 với n<an<a và LnL_n là một AA-môđun sinh hữu hạn với mọi nn, và một đồng cấu f:L→Cf:L\to C.

Cho C′C' là phức con của CC sao cho Cn′=CnC'_n=C_n với n>an>a, Ca′=Za(C)C'_a=Z_a(C), Cn′=0C'_n=0 với n<an<a; khi đó đơn ánh chính tắc từ C′C' vào CC là một đồng cấu. Do đó, bằng cách thay thế CC bởi C′C', ta có thể giả sử rằng Cn=0C_n=0 với n<an<a. Mệnh đề khi đó suy ra từ việc áp dụng lặp lại bổ đề sau, với r=a,a+1,…r=a,a+1,\ldots :

Bổ đề 3

Cho CC là một phức và cho r∈Zr\in \mathbf{Z}. Tồn tại một phức C′C' và một đồng cấu f:C′→Cf:C'\to C sao cho fn:Cn′→Cnf_n:C'_n\to C_n là một đẳng cấu với n<rn<r và sao cho Cr′C'_r là một AA-môđun tự do. Nếu AA là Noether và các AA-môđun Hr(C)H_r(C) và Cr−1C_{r-1} là kiểu hữu hạn, thì có thể đòi hỏi rằng Cr′C'_r là kiểu hữu hạn.

a) Trước hết, cho h:M→Crh:M\to C_r là một đồng cấu của các AA-môđun; ký hiệu d=(dn)d=(d_n) là vi phân của CC. Cho NN là môđun con của M×Cr+1M\times C_{r+1} gồm các cặp (m,x)(m,x) sao cho h(m)=dr+1(x)h(m)=d_{r+1}(x); định nghĩa một phức (C′,d′)(C',d') bởi Cn′=CnC'_n=C_n với n≠r,r+1n\ne r,r+1, Cr′=MC'_r=M, Cr+1′=NC'_{r+1}=N, dn′=dnd'_n=d_n với n≠r,r+1n\ne r,r+1, dr′=hd'_r=h, dr+1′(m,x)=md'_{r+1}(m,x)=m với (m,x)∈N(m,x)\in N và dr+2′(y)=(0,dr+2(y))d'_{r+2}(y)=(0,d_{r+2}(y)) với y∈Cr+2y\in C_{r+2}. Cũng xét cấu xạ của các phức f:C′→Cf:C'\to C sao cho fn=1Cnf_n=1_{C_n} với n≠r,r+1n\ne r,r+1, fr=hf_r=h, fr+1(m,x)=xf_{r+1}(m,x)=x.

b) Phức Ker⁡f\operatorname{Ker}f bằng không ở bậc ≠r,r+1\ne r,r+1 và vi phân dr+1′d'_{r+1} cảm sinh một đẳng cấu từ Ker⁡fr+1\operatorname{Ker}f_{r+1} lên Ker⁡fr\operatorname{Ker}f_r, do đó H(Ker⁡f)=0H(\operatorname{Ker}f)=0.

c) Khi ánh xạ hợp thành M→hCr→Cr/Br(C)M\xrightarrow{h}C_r\to C_r/B_r(C) là toàn ánh, người ta cũng thấy tương tự rằng H(Coker⁡f)=0H(\operatorname{Coker}f)=0, và khi đó ff là một đồng cấu (X, p. 31, hệ quả 2).

d) Khi giả thiết rằng AA là Noether và các A-môđun Hr(C)H_r(C) và Cr−1C_{r-1} thuộc kiểu hữu hạn, thì Cr/Br(C)C_r/B_r(C) thuộc kiểu hữu hạn, do dãy khớp (X, p. 25)

0→Hr(C)→Cr/Br(C)→Cr−1 ; 0\to H_r(C)\to C_r/B_r(C)\to C_{r-1}\ ;

khi đó tồn tại một A-môđun tự do kiểu hữu hạn MM và một đồng cấu h:M→Crh:M\to C_r sao cho điều kiện của c) được thỏa mãn; trong trường hợp tổng quát, tồn tại một môđun tự do MM và một đồng cấu toàn ánh h:M→Crh:M\to C_r. Điều này hoàn tất chứng minh.

6. Phân giải xạ ảnh cực tiểu

Cho MM là một A-môđun và

(P)⋯⟶Fn→dnFn−1⟶⋯⟶F0→d0M⟶0 (P)\qquad \cdots \longrightarrow F_n \xrightarrow{d_n} F_{n-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_0\xrightarrow{d_0} M\longrightarrow 0

một phân giải của MM. Người ta nói rằng (P)(P) là một phân giải xạ ảnh cực tiểu nếu, với mọi n≥0n\geq 0, đồng cấu δn:Pn→Im⁡(dn)\delta_n:P_n\to \operatorname{Im}(d_n) cảm sinh bởi dnd_n là một phủ xạ ảnh (VIII, § 8, No. 5).

Proposition 8

Cho MM là một A-môđun, PP và P′P' là hai phân giải xạ ảnh cực tiểu của MM, và f:P→P′f:P\to P' là một cấu xạ của các phân giải. Khi đó ff là một đẳng cấu. Đặc biệt, hai phân giải xạ ảnh cực tiểu của MM là đẳng cấu.

Đặt P~n=Pn\widetilde P_n=P_n với n≠−1n\ne-1 và P~−1=M\widetilde P_{-1}=M; định nghĩa P~n′\widetilde P'_n tương tự và đặt f−1=1Mf_{-1}=1_M. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bắt đầu từ −1-1 rằng fn:P~n→P~n′f_n:\widetilde P_n\to\widetilde P'_n là một đẳng cấu với mọi nn. Điều này hiển nhiên với n=−1n=-1; giả sử rằng fnf_n và fn−1f_{n-1} là các đẳng cấu. Từ tính giao hoán của biểu đồ

Pn→ dn Pn−1fn↓↓fn−1Pn′→ dn′ Pn−1′ \begin{array}{ccc} P_n & \xrightarrow{\ d_n\ } & P_{n-1}\\ {\scriptstyle f_n}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle f_{n-1}}\\ P'_n & \xrightarrow{\ d'_n\ } & P'_{n-1} \end{array}

suy ra rằng fnf_n cảm sinh một đẳng cấu gng_n từ Ker⁡dn\operatorname{Ker}d_n lên Ker⁡dn′\operatorname{Ker}d'_n. Khi đó từ tính giao hoán của biểu đồ

Pn+1→ δn+1 Ker⁡dnfn+1↓↓gnPn+1′→ δn+1′ Ker⁡dn′ \begin{array}{ccc} P_{n+1} & \xrightarrow{\ \delta_{n+1}\ } & \operatorname{Ker}d_n\\ {\scriptstyle f_{n+1}}\downarrow && \downarrow{\scriptstyle g_n}\\ P'_{n+1} & \xrightarrow{\ \delta'_{n+1}\ } & \operatorname{Ker}d'_n \end{array}

và từ VIII, loc. cit., suy ra rằng fn+1f_{n+1} là một đẳng cấu.

Hệ quả

Cho MM là một AA-môđun, PP và P′P' là hai phân giải xạ ảnh của MM; giả sử rằng PP là cực tiểu. Cho f:P→P′f:P\to P' và g:P′→Pg:P'\to P là hai cấu xạ của các phân giải. Khi đó ff là đơn ánh, gg là toàn ánh, và P′P' là tổng trực tiếp của các phức con Im⁡f\operatorname{Im}f và Ker⁡g\operatorname{Ker}g. Hơn nữa Ker⁡g\operatorname{Ker}g có đồng điều bằng không.

Thật vậy, α=g∘f\alpha=g\circ f là một tự đẳng cấu của PP (Mệnh đề 8). Đặt f~=f∘α−1\widetilde f=f\circ\alpha^{-1}.

Ta có

Im⁡f~=Im⁡fvaˋg∘f~=1P, \operatorname{Im}\widetilde f=\operatorname{Im}f \quad\text{và}\quad g\circ\widetilde f=1_P,

điều đó cho thấy rằng P′=Im⁡f~⊕Ker⁡gP'=\operatorname{Im}\widetilde f\oplus\operatorname{Ker}g. Vì dãy

0⟶Ker⁡g⟶P′→ g P⟶0 0\longrightarrow\operatorname{Ker}g\longrightarrow P' \xrightarrow{\ g\ }P\longrightarrow0

là khớp và gg là một đồng cấu, Ker⁡g\operatorname{Ker}g có đồng điều bằng không.

Mệnh đề 9

Cho MM là một AA-môđun và (P,p)(P,p) là một phân giải xạ ảnh của MM. Ký hiệu rr là căn của AA. Giả sử hoặc PnP_n là một AA-môđun hữu hạn sinh với mọi nn, hoặc rr là lũy linh. Khi đó điều kiện cần và đủ để (P,p)(P,p) là cực tiểu là phức (A/r)⊗AP(A/r)\otimes_A P có vi phân bằng không, nói cách khác là

dn+1(Pn+1)⊂rPnvới mọi n≥0. d_{n+1}(P_{n+1})\subset rP_n\quad\text{với mọi }n\geq0.

Giả sử rằng (P,p)(P,p) là cực tiểu. Theo VIII, loc. cit., đồng cấu

1⊗δn:(A/r)⊗APn⟶(A/r)⊗AIm⁡dn 1\otimes\delta_n:(A/r)\otimes_A P_n\longrightarrow(A/r)\otimes_A\operatorname{Im}d_n

là một đẳng cấu. Khi đó từ dãy khớp

0⟶Im⁡dn+1→ jn Pn→ δn Im⁡dn⟶0 0\longrightarrow\operatorname{Im}d_{n+1} \xrightarrow{\ j_n\ }P_n \xrightarrow{\ \delta_n\ }\operatorname{Im}d_n \longrightarrow0

suy ra rằng đồng cấu 1⊗jn:(A/r)⊗AIm⁡dn+1→(A/r)⊗APn1 \otimes j_n : (A/r) \otimes_A \operatorname{Im} d_{n+1} \to (A/r) \otimes_A P_n bằng không; vì dn+1=jn∘δn+1d_{n+1} = j_n \circ \delta_{n+1}, ta suy ra rằng 1A/r⊗dn+1=01_{A/r} \otimes d_{n+1} = 0 với n⩾0n \geqslant 0.

Ngược lại, giả sử rằng với mọi n⩾1n \geqslant 1, 1⊗dn1 \otimes d_n bằng không, nói cách khác là Im⁡dn=Ker⁡dn−1\operatorname{Im} d_n = \operatorname{Ker} d_{n-1} được chứa trong rPn−1rP_{n-1}. Vì δn−1\delta_{n-1} là toàn ánh, theo VIII, loc. cit. suy ra rằng δn−1\delta_{n-1} là một bao xạ ảnh với n⩾1n \geqslant 1, do đó (P,p)(P, p) là cực tiểu.

Mệnh đề 10

Giả sử rằng A là một vành địa phương Noether trái, và cho M là một A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó M có một phân giải cực tiểu (P,p)(P, p); với mọi n⩾0n \geqslant 0, PnP_n là một môđun tự do sinh hữu hạn.

Thật vậy, trong phép dựng đã thực hiện ở No. 5 (p. 53), nhờ VIII, loc. cit., có thể lấy (L0,p)(L_0, p) là một bao xạ ảnh của M, và lấy Ln+1L_{n+1} là một bao xạ ảnh của Ker⁡dn\operatorname{Ker} d_n. Phân giải thu được như vậy khi đó là cực tiểu.

*Nhận xét. -- 1) Gọi m là iđêan cực đại của A và đặt k=A/mk = A/m. Gọi P là một phân giải xạ ảnh cực tiểu của M, và đặt bn=dim⁡k(k⊗APn)b_n = \dim_k (k \otimes_A P_n). Khi đó PnP_n là một A-môđun tự do hạng bnb_n. Từ hệ quả của Mệnh đề 8 suy ra rằng đối với mọi phân giải xạ ảnh khác P′P' của M, ta có dim⁡k(k⊗APn′)⩾bn\dim_k (k \otimes_A P'_n) \geqslant b_n, và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P′P' là cực tiểu.

2) Theo Mệnh đề 9, bnb_n là chiều trên kk của Hn(k⊗AP)H_n(k \otimes_A P), nói cách khác là của Tor⁡nA(k,M)\operatorname{Tor}_n^A(k, M). Nó cũng là chiều trên kk của Ext⁡An(M,k)\operatorname{Ext}_A^n(M, k) (x. X, p. 103, Nhận xét 3).

7. Các phân giải phân bậc

Trong số này, giả thiết rằng vành A được trang bị một phân bậc (An)n∈Z(A_n)_{n \in \mathbf{Z}}, sao cho An=0A_n = 0 với n<0n < 0. Một A-môđun phân bậc M được gọi là bị chặn dưới nếu Mn=0M_n = 0 với nn đủ nhỏ; mọi A-môđun phân bậc kiểu hữu hạn đều bị chặn dưới.

Proposition 11

Nếu M là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới (tương ứng nếu M là một A-môđun phân bậc kiểu hữu hạn và nếu A là Noether trái), thì tồn tại một dãy khớp các A-môđun phân bậc không bị chặn về bên trái

⋯⟶Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L1→d1L0→d0M⟶0 \cdots \longrightarrow L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_1 \xrightarrow{d_1} L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0

trong đó các LiL_i là phân bậc tự do và bị chặn dưới (tương ứng phân bậc tự do và kiểu hữu hạn), và trong đó các did_i là các đồng cấu phân bậc bậc 0.

Nếu N là một A-môđun phân bậc bị chặn dưới (tương ứng và kiểu hữu hạn trên A noether), thì tồn tại một A-môđun tự do phân bậc bị chặn dưới (tương ứng và kiểu hữu hạn) L và một đồng cấu phân bậc toàn ánh L→NL \to N (II, p. 167, Nhận xét 3).

Giả sử như vậy đã cho một dãy khớp các A-môđun phân bậc và các đồng cấu phân bậc bậc 0

Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L0→d0M⟶0, L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0,

trong đó các Li,i=0,…,nL_i, i = 0, \ldots, n, là phân bậc tự do và bị chặn dưới (tương ứng phân bậc tự do và kiểu hữu hạn). Khi đó N=Ker dnN = \mathrm{Ker}\, d_n bị chặn dưới (tương ứng kiểu hữu hạn); vì thế tồn tại một A-môđun tự do phân bậc bị chặn dưới (tương ứng một A-môđun tự do phân bậc kiểu hữu hạn) Ln+1L_{n+1} và một đồng cấu phân bậc dn+1:Ln+1→Lnd_{n+1} : L_{n+1} \to L_n bậc 0, sao cho Im dn+1=N\mathrm{Im}\, d_{n+1} = N; dãy

Ln+1→dn+1Ln→dnLn−1⟶⋯⟶L0→d0M⟶0 L_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow L_0 \xrightarrow{d_0} M \longrightarrow 0

khi đó là khớp. Mệnh đề do đó suy ra từ điều trước bởi quy nạp theo nn.

8. Phân giải tiêu chuẩn

Trong số này, giả sử rằng vành AA là một đại số (kết hợp và có đơn vị) trên một vành giao hoán kk. Với n⩾0n \geqslant 0, gọi BnB_n là tích tenxơ trên kk của (n+2)(n + 2) môđun đều bằng AA. Nó được xét như một (A,A)(A, A)-song môđun bằng cách trang bị cho nó cấu trúc A-môđun trái (tương ứng phải) suy ra từ cấu trúc A-môđun trái (tương ứng phải) của nhân tử thứ nhất (tương ứng của nhân tử cuối cùng) của tích tenxơ.

Với n⩾1n \geqslant 1, định nghĩa các đồng cấu song môđun dnid_n^i (với 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n) và dnd_n từ BnB_n vào Bn−1B_{n-1} bởi các công thức:

dni(x0⊗…⊗xn+1)=x0⊗…⊗xi xi+1⊗…⊗xn+1,0⩽i⩽n, d_n^i(x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1}) = x_0 \otimes \ldots \otimes x_i\, x_{i+1} \otimes \ldots \otimes x_{n+1}, \quad 0 \leqslant i \leqslant n,
dn=∑i=0n(−1)idni. d_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i d_n^i.

Hiển nhiên là

dn−1i∘dnj=dn−1j−1∘dnivớii<j d_{n-1}^i \circ d_n^j = d_{n-1}^{j-1} \circ d_n^i \quad \text{với} \quad i < j
và do đó
dn−1∘dn=∑0⩽i<j⩽n(−1)i+jdn−1i∘dnj+∑0⩽j⩽i⩽n−1(−1)i+jdn−1i∘dnj=0. d_{n-1} \circ d_n = \sum_{0 \leqslant i < j \leqslant n} (-1)^{i+j} d_{n-1}^i \circ d_n^j + \sum_{0 \leqslant j \leqslant i \leqslant n-1} (-1)^{i+j} d_{n-1}^i \circ d_n^j = 0.

Do đó, nếu đặt Bn=0B_n = 0 với n<0n < 0 và dn=0d_n = 0 với n⩽0n \leqslant 0, thì dãy (Bn,dn)(B_n, d_n) xác định một phức các (A,A)(A, A)-song môđun (X, p. 43), sẽ được ký hiệu là B(A)B(A). Với mọi A-môđun trái MM, gọi B(A,M)B(A, M) là phức tạo bởi các Bn⊗AMB_n \otimes_A M và các dn⊗1Md_n \otimes 1_M, \* nói cách khác là phức tích tenxơ B(A)⊗AM∗B(A) \otimes_A M *; nó là một phức các A-môđun trái.

Định nghĩa một ánh xạ A-tuyến tính εM\varepsilon_M từ B0(A,M)=(A⊗kA)⊗AMB_0(A, M) = (A \otimes_k A) \otimes_A M vào MM bởi công thức εM(a⊗b⊗m)=abm\varepsilon_M(a \otimes b \otimes m) = abm với a,b∈A,m∈Ma, b \in A, m \in M. Ta có εM∘d1=0\varepsilon_M \circ d_1 = 0, do đó đồng cấu phân bậc ε‾M:B(A,M)→M\overline{\varepsilon}_M : B(A, M) \to M, trùng với εM\varepsilon_M ở bậc 0, là một cấu xạ của các phức các A-môđun.

Mệnh đề 12

Ánh xạ ε‾M:B(A,M)→M\overline{\varepsilon}_M : B(A, M) \to M là một đồng luân cấu của các phức kk-môđun. Đặc biệt, phức B(A,M)B(A, M) tách trên kk, và (B(A,M),ε‾M)(B(A, M), \overline{\varepsilon}_M) là một phân giải trái của A-môđun MM.

Với n⩾0n \geqslant 0, ta định nghĩa một ánh xạ kk-tuyến tính sn:Bn→Bn+1s_n : B_n \to B_{n+1} bởi công thức:

sn(x0⊗…⊗xn+1)=1⊗x0⊗…⊗xn+1với x0,…,xn+1∈A. s_n(x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1}) = 1 \otimes x_0 \otimes \ldots \otimes x_{n+1} \quad \text{với } x_0, \ldots, x_{n+1} \in A .

Đây là một đồng cấu của các A-môđun phải, thỏa mãn các đẳng thức:

dn+1i∘sn=sn−1∘dni−1với n⩾1,1⩽i⩽n+1, d_{n+1}^i \circ s_n = s_{n-1} \circ d_n^{i-1} \quad \text{với } n \geqslant 1 , \quad 1 \leqslant i \leqslant n + 1 ,
dn+10∘sn=1Bnvới n⩾1, d_{n+1}^0 \circ s_n = 1_{B_n} \qquad \text{với } n \geqslant 1 ,

và do đó ta có

(16)

dn+1∘sn+sn−1∘dn=1Bnvới n⩾1. d_{n+1} \circ s_n + s_{n-1} \circ d_n = 1_{B_n} \quad \text{với } n \geqslant 1 .

Hơn nữa, ta có

(17)

d1∘s0(x0⊗x1)=x0⊗x1−1⊗x0x1với x0,x1∈A. d_1 \circ s_0(x_0 \otimes x_1) = x_0 \otimes x_1 - 1 \otimes x_0 x_1 \quad \text{với } x_0, x_1 \in A .

Ký hiệu η:A→A⊗kA\eta : A \to A \otimes_k A là ánh xạ được định nghĩa bởi η(a)=1⊗a\eta(a) = 1 \otimes a, và η‾:A→B(A)\overline{\eta} : A \to B(A) là cấu xạ của các phức trùng với η\eta ở bậc 0. Rõ ràng ε‾A∘η‾=1A\overline{\varepsilon}_A \circ \overline{\eta} = 1_A; các công thức (16) và (17) cho thấy rằng d∘s+s∘d=1B(A)−η‾∘ε‾Ad \circ s + s \circ d = 1_{B(A)} - \overline{\eta} \circ \overline{\varepsilon}_A. Đặt η‾M=η‾⊗1M\overline{\eta}_M = \overline{\eta} \otimes 1_M, dM=d⊗1Md_M = d \otimes 1_M và sM=s⊗1Ms_M = s \otimes 1_M, ta suy ra rằng ε‾M∘η‾M=1M\overline{\varepsilon}_M \circ \overline{\eta}_M = 1_M và dM∘sM+sM∘dM=1B(A,M)−η‾M∘ε‾Md_M \circ s_M + s_M \circ d_M = 1_{B(A,M)} - \overline{\eta}_M \circ \overline{\varepsilon}_M. Nói cách khác, (X, p. 33, Định nghĩa 5), ε‾M\overline{\varepsilon}_M là một đồng luân cấu của các phức kk-môđun. Các khẳng định khác của mệnh đề suy ra ngay từ điều này.

Định nghĩa 3

Phân giải trái (B(A,M),ε‾M)(B(A, M), \overline{\varepsilon}_M) của MM được gọi là phân giải tiêu chuẩn của A-môđun MM.

Nếu AA và MM là các kk-môđun xạ ảnh (resp. tự do, resp. phẳng), thì phân giải tiêu chuẩn B(A,M)B(A, M) là một phân giải xạ ảnh (resp. tự do, resp. phẳng) của MM.

9. Phân giải và các nhóm Grothendieck

Nếu C\mathscr{C} là một tập hợp các lớp các A-môđun, ta sẽ nói rằng một phân giải trái (P,p)(P, p) bị chặn kiểu C\mathscr{C} nếu phức PP bị chặn kiểu C\mathscr{C} (X, p. 41).

Định lý 1

Cho C0\mathscr{C}_0 và C\mathscr{C} là hai lớp các tập hợp môđun AA cộng tính và khớp trái sao cho C0⊂C\mathscr{C}_0 \subset \mathscr{C} và mọi AA-môđun thuộc kiểu C\mathscr{C} đều có một phân giải trái hữu hạn thuộc kiểu C0\mathscr{C}_0. Khi đó đồng cấu α:K(C0)→K(C)\alpha : K(\mathscr{C}_0) \to K(\mathscr{C}) suy ra từ bao hàm của C0\mathscr{C}_0 trong C\mathscr{C} là song ánh; nếu MM là một AA-môđun thuộc kiểu C\mathscr{C} và PP là một phân giải trái hữu hạn của MM thuộc kiểu C0\mathscr{C}_0, thì ta có α−1([M]C)=χC0(P)\alpha^{-1}([M]_{\mathscr{C}}) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) (X, p. 41, ví dụ 6).

Bổ đề 4

Cho f:M′→Mf : M' \to M là một đồng cấu của các AA-môđun thuộc kiểu C\mathscr{C}, và p:P→Mp : P \to M là một phân giải trái hữu hạn của PP thuộc kiểu C0\mathscr{C}_0. Tồn tại một phân giải trái hữu hạn p′:P′→M′p' : P' \to M' thuộc kiểu C0\mathscr{C}_0 và một cấu xạ phức u:P′→Pu : P' \to P sao cho p∘u=f∘p′p \circ u = f \circ p'.

Ta lập luận bằng quy nạp theo độ dài nn của PP, mệnh đề là tầm thường khi độ dài này <0< 0. Xét ánh xạ g:M′×P0→Mg : M' \times P_0 \to M sao cho

g(x,r′)=f(x)−p0(r′) g(x, r') = f(x) - p_0(r')
với x∈M′,r′∈P0x \in M', r' \in P_0,

và hạt nhân của nó là KK; AA-môđun KK thuộc kiểu C\mathscr{C} vì gg là toàn ánh và M′×P0M' \times P_0 và MM thuộc kiểu C\mathscr{C}. Cho h:P0′→Kh : P'_0 \to K là một đồng cấu toàn ánh, trong đó P0′P'_0 thuộc kiểu C0\mathscr{C}_0; ký hiệu p0′:P0′→M′p'_0 : P'_0 \to M' (tương ứng u0:P0′→P0u_0 : P'_0 \to P_0) là đồng cấu hợp thành của hh với phép chiếu K→MK \to M (tương ứng K→P0K \to P_0); đồng cấu p0′p'_0 là toàn ánh và ta có biểu đồ giao hoán

P0′→u0P0p0′↓↓p0M′→fM. \begin{array}{ccc} P'_0 & \xrightarrow{u_0} & P_0 \\ p'_0 \downarrow & & \downarrow p_0 \\ M' & \xrightarrow{f} & M . \end{array}

Khi đó chỉ cần áp dụng giả thiết quy nạp cho đồng cấu

Ker⁡p0′→Ker⁡p0 \operatorname{Ker} p'_0 \to \operatorname{Ker} p_0

suy ra từ u0u_0.

Bổ đề 5

Xét một biểu đồ giao hoán

P′→uPp′↓↓p0→fM→M′′→0 \begin{array}{ccc} P' & \xrightarrow{u} & P \\ p' \downarrow & & \downarrow p \\ 0 & \xrightarrow{f} & M \to M'' \to 0 \end{array}

trong đó (P,p)(P, p) (tương ứng (P′,p′)(P', p')) là một phân giải trái của MM (tương ứng M′M'), và trong đó hàng ngang dưới là một dãy khớp. Tồn tại một đồng cấu p′′:Con⁡(u)→M′′p'' : \operatorname{Con}(u) \to M''.

Thật vậy, dãy khớp (X, p. 37, mệnh đề 7)

0→P→πCon⁡(u)→δP′(−1)→0 0 \to P \xrightarrow{\pi} \operatorname{Con}(u) \xrightarrow{\delta} P'(-1) \to 0

cho một dãy đồng điều khớp

→Hn(P)→Hn(Con⁡(u))→Hn−1(P′)→⋯ \to H_n(P) \to H_n(\operatorname{Con}(u)) \to H_{n-1}(P') \to \cdots
⋯→H1(Con⁡(u))→H0(P′)→∂^H0(P)→H0(Con⁡(u))→0. \cdots \to H_1(\operatorname{Con}(u)) \to H_0(P') \xrightarrow{\hat{\partial}} H_0(P) \to H_0(\operatorname{Con}(u)) \to 0 .

Theo X, p. 38, bổ đề 3 a), ta có ∂=−H0(u)\partial = - H_0(u). Vì Hn(P)=0=Hn(P′)H_n(P) = 0 = H_n(P') với n>0n > 0 và H0(u):H0(P′)→H0(P)H_0(u) : H_0(P') \to H_0(P) được đồng nhất với f:M′→Mf : M' \to M, ta kết luận rằng Hn(Con⁡(u))=0H_n(\operatorname{Con}(u)) = 0 với n>0n > 0 và H0(Con⁡(u))H_0(\operatorname{Con}(u)) đẳng cấu với M′′M'', do đó bổ đề được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh định lý.

a) Cho M là một A-môđun kiểu C\mathscr{C}. Với mọi phân giải trái bị chặn (P,p)(P, p) của M kiểu C0\mathscr{C}_0, phần tử χC0(P)\chi_{\mathscr{C}_0}(P) của K(C0)K(\mathscr{C}_0) chỉ phụ thuộc vào M. Thật vậy, cho (P1,p1)(P_1, p_1) và (P2,p2)(P_2, p_2) là hai phân giải thuộc kiểu này. Xét phân giải

(P1×P2,p1×p2) (P_1 \times P_2, p_1 \times p_2)
của A-môđun M×MM \times M và đồng cấu Δ:x↦(x,x)\Delta : x \mapsto (x, x) từ M vào M×MM \times M. Theo bổ đề 4, tồn tại một phân giải trái bị chặn (Q,q)(Q, q) của M kiểu C0\mathscr{C}_0 và một biểu đồ giao hoán
Q→uP1×P2q↓↓p1×p2M→ΔM×M; \begin{array}{ccc} Q & \xrightarrow{u} & P_1 \times P_2 \\ q \downarrow & & \downarrow p_1 \times p_2 \\ M & \xrightarrow{\Delta} & M \times M ; \end{array}
từ đó ta suy ra một biểu đồ giao hoán
Q→u∘priPiq↓↓piM→1MM,i=1,2. \begin{array}{ccc} Q & \xrightarrow{u \circ pr_i} & P_i \\ q \downarrow & & \downarrow p_i \\ M & \xrightarrow{1_M} & M , \quad i = 1, 2 . \end{array}
Theo bổ đề 5, Con (u∘pri)(u \circ pr_i) có đồng điều không, do đó u∘priu \circ pr_i là một đồng cấu đồng điều và χC0(Q)=χC0(Pi)\chi_{\mathscr{C}_0}(Q) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P_i) (X, p. 41, mệnh đề 10); suy ra χC0(P1)=χC0(P2)\chi_{\mathscr{C}_0}(P_1) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P_2) như đã thông báo.

b) Với mọi A-môđun M kiểu C\mathscr{C}, đặt φ(M)∈K(C0)\varphi(M) \in K(\mathscr{C}_0) là giá trị chung của các χC0(P)\chi_{\mathscr{C}_0}(P) đối với mọi phân giải trái bị chặn P của M kiểu C0\mathscr{C}_0. Ta sẽ chỉ ra rằng hàm φ:C→K(C0)\varphi : \mathscr{C} \to K(\mathscr{C}_0) là cộng tính. Vậy cho

0→M′→fM→M′′→0 0 \to M' \xrightarrow{f} M \to M'' \to 0
là một dãy khớp các A-môđun kiểu C\mathscr{C}. Theo Bổ đề 4, tồn tại một biểu đồ giao hoán
P′→uPp′↓↓p0→fM→gM′′→0 \begin{array}{ccc} P' & \xrightarrow{u} & P \\ p' \downarrow & & \downarrow p \\ 0 & \xrightarrow{f} & M \xrightarrow{g} M'' \to 0 \end{array}
trong đó (P,p)(P, p) và (P′,p′)(P', p') là các phân giải trái bị chặn kiểu C0\mathscr{C}_0. Khi đó ta có
φ(M)=χC0(P),φ(M′)=χC0(P′) \varphi(M) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) , \qquad \varphi(M') = \chi_{\mathscr{C}_0}(P')
và theo Bổ đề 5
φ(M′′)=χC0(Con (u))=χC0(P)−χC0(P′)=φ(M)−φ(M′); \varphi(M'') = \chi_{\mathscr{C}_0}(\mathrm{Con}\,(u)) = \chi_{\mathscr{C}_0}(P) - \chi_{\mathscr{C}_0}(P') = \varphi(M) - \varphi(M') ;
điều phải chứng minh.

c) Khi đó, cho β:K(C)→K(C0)\beta : K(\mathscr{C}) \to K(\mathscr{C}_0) là đồng cấu sao cho, với các ký hiệu đứng trước, ta có β([M]C)=χC0(P)\beta([M]_{\mathscr{C}})=\chi_{\mathscr{C}_0}(P). Vì pp là một đồng cấu, ta có χC(P)=[M]C\chi_{\mathscr{C}}(P)=[M]_{\mathscr{C}}, do đó α∘β([M]C)=α(χC0(P))=χC(P)=[M]C\alpha\circ\beta([M]_{\mathscr{C}})=\alpha(\chi_{\mathscr{C}_0}(P))=\chi_{\mathscr{C}}(P)=[M]_{\mathscr{C}} và α∘β=1K(C)\alpha\circ\beta=1_{K(\mathscr{C})}. Nếu MM là kiểu C0\mathscr{C}_0, thì (M,1M)(M,1_M) là một phân giải của MM, do đó φ(M)=[M]C0\varphi(M)=[M]_{\mathscr{C}_0} và β∘α=1K(C0)\beta\circ\alpha=1_{K(\mathscr{C}_0)}, điều này hoàn tất chứng minh.

Ta sẽ áp dụng định lý này cho các môđun có "chiều xạ ảnh hữu hạn" trong § 8 (X, p. 137).

Bài tập

Xem bài tập của § 3.

Machine translation of the English, by gpt-5.4, against glossary version 34. Not checked by a person.