Cho $u : (C, d) \to (C_1, d_1)$ là một cấu xạ của các phức của các $A$-môđun phải và $u' : (C', d') \to (C'_1, d'_1)$ là một cấu xạ của các phức của các $A$-môđun trái; khi đó $u \otimes u' : C \otimes_A C' \to C_1 \otimes_A C'_1$ là một cấu xạ của các phức của các $k$-môđun; thật vậy, nó là phân bậc bậc 0, và nếu ký hiệu $D$ và $D_1$ là các vi phân của $C \otimes C'$ và $C_1 \otimes C'_1$, ta có với $p, q \in \mathbf{Z}, x \in C_p, x' \in C'_q$,

Ngoài ra biểu đồ sau là giao hoán :

Gọi $A^\circ$ là $k$-đại số đối của $A$, $C^\circ$ (tương ứng ${C'}^\circ$) là phức $C$ (tương ứng $C'$) được xem như một phức của các $A^\circ$-môđun trái (tương ứng phải). Ký hiệu bởi

ánh xạ tuyến tính trên $k$ phân bậc duy nhất bậc 0 sao cho, với $x \in C_p, x' \in C'_q, p, q \in \mathbf{Z}$, ta có

Vì các ánh xạ $\sigma(C, C')$ và $\sigma({C'}^\circ, C^\circ)$ ngược nhau, chỉ cần chứng minh rằng $\sigma(C, C')$ là một cấu xạ của các phức. Bây giờ, với

ta có, ký hiệu $D'$ là vi phân của $C' \otimes_{A^\circ} C$, điều này cho $\sigma(C, C') \circ D = D^\circ \circ \sigma(C, C')$, do đó thu được mệnh đề cần tìm.

Đẳng cấu $\sigma(C, C') : C \otimes_A C' \to {C'}^\circ \otimes_A C^\circ$ được gọi là đẳng cấu giao hoán của tích tenxơ của các phức $C$ và $C'$.

Nếu $u : C \to C_1$ và $v : C' \to C'_1$ là hai cấu xạ của các phức như trên, ta có một biểu đồ giao hoán :

Giả sử ở cuối số này rằng vành $A$ là giao hoán (xem No. 9 cho trường hợp tổng quát).

Cho $C, C', C''$ là ba phức của các $A$-môđun; đồng cấu chính tắc của các $A$-môđun (III, p. 64)

là một đẳng cấu của các phức, như được kiểm chứng ngay lập tức bằng cách sử dụng các định nghĩa.

Nói chung hơn, cho $(C^{(i)}, d^{(i)})_{i \in I}$ là một họ các phức của các $A$-môđun, trong đó tập hợp $I$ là hữu hạn và được sắp thứ tự toàn phần; ta sẽ đồng nhất $I$ với khoảng $[1, r]$ của $\mathbf{N}$ để đơn giản hóa ký hiệu. Ta trang bị cho $A$-môđun $C = \bigotimes_{i=1}^r C^{(i)}$ cấu trúc phân bậc sao cho

và định nghĩa một tự đồng cấu $A$ phân bậc bậc $(-1)$ của $C$ bởi trong đó $x_i \in (C^{(i)})_{p_i}$ với $i = 1, \ldots, n$. Khi đó $(C, D)$ là một phức của các $A$-môđun được gọi là phức tích tenxơ của họ $(C_i, d_i)$. Với mọi dãy tăng ngặt $r_0, ..., r_k$ của $[0, r]$ sao cho $r_0 = 0,\ r_k = r$, đẳng cấu chính tắc của tính kết hợp

là một đẳng cấu của các phức.

Ta định nghĩa như trên một đồng cấu $A$ phân bậc bậc 0

a) Nếu $u$ và $u'$ lần lượt đồng luân với $v$ và $v'$, thì hai xạ $u \otimes u'$ và $v \otimes v'$ từ $C \otimes_A C'$ đến $C_1 \otimes_A C'_1$ là đồng luân.

b) Nếu $u$ và $u'$ là các tương đương đồng luân, thì $u \otimes u'$ là một tương đương đồng luân.

c) Nếu $C$ hoặc $C'$ đồng luân với không, thì $C \otimes_A C'$ đồng luân với không.

Gọi bằng cùng một chữ cái $d$ các vi phân của các phức $C,\ C_1,\ C',\ C'_1$ và bằng $D$ các vi phân của các phức $C \otimes_A C'$ và $C_1 \otimes_A C'_1$.

Nếu $u$ (tương ứng $u'$) đồng luân với $v$ (tương ứng $v'$), thì tồn tại một đồng cấu phân bậc bậc 1 $s:C\to C_1$ (tương ứng $s':C'\to C'_1$) sao cho

Gọi $S:C\otimes_A C'\to C_1\otimes_A C'_1$ là đồng cấu phân bậc duy nhất bậc 1 sao cho, với $x\in C_p,\ y\in C'_q,\ p,q\in\mathbf Z$, ta có

Khi đó, với các ký hiệu trước đó:

Điều này cho $DS+SD=u\otimes u'-v\otimes v'$, do đó a).

Ta chứng minh b). Nếu $u$ và $u'$ là các tương đương đồng luân, thì tồn tại các đồng cấu của các phức $\alpha:C_1\to C$ và $\alpha':C'_1\to C'$ sao cho $u\circ\alpha,\ \alpha\circ u',\ \alpha'\circ u'$ lần lượt đồng luân với $\mathrm{Id}_{C_1},\ \mathrm{Id}_C,\ \mathrm{Id}_{C'_1},\ \mathrm{Id}_{C'}$. Khi đó $(u\otimes u')\circ(\alpha\otimes\alpha')$, bằng $(u\circ\alpha)\otimes(u'\circ\alpha')$, là đồng luân theo a) với $\mathrm{Id}_{C_1}\otimes\mathrm{Id}_{C'_1}=\mathrm{Id}_{C_1\otimes C'_1}$, trong khi $(\alpha\otimes\alpha')\circ(u\otimes u')$ đồng luân với $\mathrm{Id}_{C\otimes C'}$, do đó b). Cuối cùng, c) suy ra từ b) áp dụng vào trường hợp $C_1$ hoặc $C'_1$ là không.

Theo X, p. 35, def. 6, tồn tại một tương đương đồng luân $u':C'\to H(C')$. Theo mệnh đề 3, $1_C\otimes u':C\otimes_A C'\to C\otimes_AH(C')$ là một tương đương đồng luân; vì

và $H(1_C\otimes u')$ và $H(u')$ là song ánh, chỉ cần chứng minh rằng $\gamma(C,H(C'))$ là song ánh, và ta quy về trường hợp $C'$ phẳng và có vi phân không. Trong trường hợp này, các dãy khớp chính tắc

cho các dãy khớp:

Vì $d=i\circ j\circ\delta$, ta có $D=d\otimes 1_{C'}=(i\otimes 1)\circ(j\otimes 1)\circ(\delta\otimes 1)$, điều này chỉ ra rằng các ánh xạ chính tắc $Z(C)\otimes_A C'\to Z(C\otimes_A C')$ và $B(C)\otimes_A C'\to B(C\otimes_A C')$ là song ánh, do đó $\gamma(C,C')$ cũng vậy bằng cách chuyển qua thương.

Thật vậy, $C'$ là tách (X, p. 35, ví dụ 4) và $H(C')$ là xạ ảnh; do đó ta có thể áp dụng hệ quả 1.

Với $k\in\mathbf Z$, gọi $T^{(k)}$ là phức con của $C\otimes_A E$ sao cho

khi đó $T^{(k-1)}\subset T^{(k)}$ và ta có một dãy khớp các phức

trong đó $i_k$ là đơn ánh chính tắc và $\pi$ chiếu tổng trực tiếp trước đó lên nhân tử của nó $C_{n-k}\otimes_A E_k=(C\otimes_A E_k(-k))_n$. Theo Hệ quả 2 ở trên, ta có $H(C\otimes_A E_k(-k))=0$, do đó $i_k$ là một đồng cấu. Ta có $T^{(k)}=0$ với $k$ đủ nhỏ, vì E bị chặn về phía phải, do đó $H(T^{(k)})=0$ với mọi $k$ theo quy nạp trên $k$. Cuối cùng, cấu xạ chính tắc $\underset{\longrightarrow}{\lim}\,T^{(k)}\to C\otimes_A E$ hiển nhiên là một đẳng cấu, do đó $H(C\otimes_A E)=0$ (X, p. 28, Mệnh đề 1).

Theo định nghĩa, $\operatorname{Con}(u)\otimes_A E$ là môđun phân bậc $(C'(-1)\oplus C)\otimes_A E$ được trang bị vi phân $D$ sao cho, với $x\in C_p$, $y'\in C'(-1)_p=C'_{p-1}$, $z\in E_q$, ta có

(4)

trong khi $\operatorname{Con}(u\otimes 1_E)$ là môđun phân bậc $(C'\otimes_A E)(-1)\oplus(C\otimes_A E)$ được trang bị vi phân $D_1$ sao cho, với $x\in C_p$, $y'\in C'_{p-1}$, $z\in E_q$, ta có

do đó có mệnh đề.

Thật vậy, theo X, p. 38, Hệ quả, $u$ (tương ứng $u\otimes 1_E$) là một đẳng cấu đồng điều khi và chỉ khi $H(\operatorname{Con}(u))=0$ (tương ứng $H(\operatorname{Con}(u\otimes 1_E))=0$). Kết luận suy ra từ các Bổ đề 1 và 2.