§ 4. Produits de torsion

§ 4. Produit de torsion

Dans les paragraphes 4 à 8, on dénote par $k$ un anneau commutatif, et par $A$ une $k$ -algèbre associative et unifère. Le rôle de $k$ est de nature auxiliaire ; on a en vue principalement les trois cas particuliers suivants :

a) on considère un anneau quelconque $A$ , on pose $k=\mathbf{Z}$ et on munit $A$ de sa structure naturelle de $\mathbf{Z}$ -algèbre,

b) on considère un anneau quelconque $A$ , on prend pour $k$ le centre de $A$ ,

c) on considère un anneau commutatif $A$ et on prend $k=A$ .

1. Produit tensoriel de deux complexes

Soient $(C,d)$ un complexe de $A$ -modules à droite et $(C',d')$ un complexe de $A$ -modules à gauche.

Munissons le $k$ -module $C\otimes_A C'$ de la graduation telle que

(C\otimes_A C')_n=\sum_{p+q=n}(C_p\otimes C'_q)

et notons $D$ l’unique endomorphisme $k$ -linéaire de degré $(-1)$ de $C\otimes_A C'$ tel que

\tag{1} D(x\otimes x')=dx\otimes x'+(-1)^p x\otimes d'x', \qquad x\in C_p,\ y\in C'_q,\ p,\ q\in\mathbf{Z}.

On a $D\circ D=0$ puisque, avec les notations de (1)

D^2(x\otimes x')=ddx\otimes x'+(-1)^{p-1}dx\otimes d'x'+(-1)^pdx\otimes d'x'-x\otimes d'd'x'.

Le complexe de $k$ -modules $(C\otimes_A C',D)$ est appelé le complexe produit tensoriel des complexes $(C,d)$ et $(C',d')$ .

Remarque 1

Lorsque $C'$ est réduit à $C'_0=M$ , alors $(C\otimes_A C')_n=C_n\otimes_A M$ et $D=d\otimes 1_M$ ; par exemple $C\otimes_A A_s$ s’identifie naturellement à $C$ . De même, lorsque $C$ est réduit à $C_0=P$ , alors $(C\otimes_A C')_n=P\otimes_A C'_n$ et $D=1_P\otimes d$ .

Remarque 2

Pour tout entier $r$ , on a $(C\otimes_A C')(r)=C(r)\otimes_A C'$ , mais $(C\otimes_A C')(r)$ et $C\otimes_A C'(r)$ n’ont pas en général la même différentielle.

Soient $p, q$ deux entiers, $x \in Z_p(C), x' \in Z_q(C')$ ; alors l’élément $x \otimes x'$ de $C_p \otimes C'_q$ appartient à $Z_{p+q}(C \otimes C')$ d’après (1); de plus, si $y \in C_{p+1}, y' \in C'_{q+1}$ , on a

(x + dy) \otimes (x' + d'y') = x \otimes x' + D(y \otimes x' + (-1)^p (x + dy) \otimes y');

par passage aux quotients, on en déduit une application

k

-linéaire, dite canonique

\gamma_{p,q}(C, C') : H_p(C) \otimes_A H_q(C') \to H_{p+q}(C \otimes_A C');

si on munit

H(C) \otimes_A H(C')

de la graduation telle que

(H(C) \otimes H(C'))_n = \sum_{p+q=n} H_p(C) \otimes_A H_q(C'),

les

\gamma_{p,q}

définissent une application

k

-linéaire graduée de degré 0

\gamma(C, C') : H(C) \otimes_A H(C') \to H(C \otimes_A C').

La prop. 6 de II, p. 59, se reformule ainsi :

Proposition 1

Si les complexes $C$ et $C'$ sont nuls à droite, $C \otimes_A C'$ est nul à droite et l’application $k$ -linéaire canonique*

\gamma_{0,0}(C, C') : H_0(C) \otimes_A H_0(C') \to H_0(C \otimes_A C')

est bijective.

Soient $u : (C, d) \to (C_1, d_1)$ un morphisme de complexes de $A$ -modules à droite et $u' : (C', d') \to (C'_1, d'_1)$ un morphisme de complexes de $A$ -modules à gauche; alors $u \otimes u' : C \otimes_A C' \to C_1 \otimes_A C'_1$ est un morphisme de complexes de $k$ -modules; en effet, il est gradué de degré 0, et si l’on note $D$ et $D_1$ les différentielles de $C \otimes C'$ et $C_1 \otimes C'_1$ , on a pour $p, q \in \mathbf{Z}, x \in C_p, x' \in C'_q$ ,

(u \otimes u') (D(x \otimes x')) = u(dx) \otimes u'(x') + (-1)^p u(x) \otimes u'(d'x') = = d_1 u(x) \otimes u'(x') + (-1)^p u(x) \otimes d'_1 u'(x') = D_1(u(x) \otimes u'(x')) .

De plus le diagramme suivant est commutatif :

\begin{array}{ccc} H(C) \otimes_A H(C') & \xrightarrow{\gamma(C, C')} & H(C \otimes_A C') \\ H(u) \otimes H(u') \downarrow & & \downarrow H(u \otimes u') \\ H(C_1) \otimes_A H(C'_1) & \xrightarrow{\gamma(C_1, C'_1)} & H(C_1 \otimes_A C'_1) \end{array}

Soient $A^\circ$ la $k$ -algèbre opposée à $A$ , $C^\circ$ (resp. ${C'}^\circ$ ) le complexe $C$ (resp. $C'$ ) considéré comme complexe de $A^\circ$ -modules à gauche (resp. droite). Notons

\sigma(C, C') : C \otimes_A C' \to {C'}^\circ \otimes_{A^\circ} C^\circ

l’unique application

k

-linéaire graduée de degré 0 telle que, pour

x \in C_p, x' \in C'_q, p, q \in \mathbf{Z}

, on ait

\sigma(C, C') (x \otimes x') = (-1)^{pq} x' \otimes x .

Proposition 2

L’application $\sigma(C, C') : C \otimes_A C' \to {C'}^\circ \otimes_A C^\circ$ est un isomorphisme de complexes de $k$ -modules, dont l’isomorphisme réciproque est $\sigma({C'}^\circ, C^\circ)$ .

Comme les applications $\sigma(C, C')$ et $\sigma({C'}^\circ, C^\circ)$ sont réciproques l’une de l’autre, il suffit de prouver que $\sigma(C, C')$ est un morphisme de complexes. Or, pour

x \in C_p = C_p^\circ, \quad x' \in C'_q = C_{q'}^\circ, \quad p, q \in \mathbf{Z},

on a, notant

D'

la différentielle de

C' \otimes_{A^\circ} C

\begin{align*} \sigma(C, C') \circ D(x \otimes x') &= \sigma(C, C') (dx \otimes x' + (-1)^p x \otimes d'x') = \\ &= (-1)^{(p+1)q} x' \otimes dx + (-1)^{p+p(q+1)} d'x' \otimes x = (-1)^{pq} d'x' \otimes x + (-1)^{pq+q} x' \otimes dx \\ &= (-1)^{pq} D'(x' \otimes x) = D^\circ \circ \sigma(C, C') (x \otimes x'); \end{align*}

cela donne

\sigma(C, C') \circ D = D^\circ \circ \sigma(C, C')

, d’où l’assertion cherchée.

L’isomorphisme $\sigma(C, C') : C \otimes_A C' \to {C'}^\circ \otimes_A C^\circ$ est appelé isomorphisme de commutation du produit tensoriel des complexes $C$ et $C'$ .

Si $u : C \to C_1$ et $v : C' \to C'_1$ sont deux morphismes de complexes comme ci-dessus, on a un diagramme commutatif :

\begin{array}{ccc} C \otimes_A C' & \xrightarrow{\sigma(C, C')} & {C'}^\circ \otimes_A C^\circ \\ u \otimes u' \downarrow & & \downarrow u' \otimes u \\ C_1 \otimes_A C'_1 & \xrightarrow{\sigma(C_1, C'_1)} & C'_1{}^\circ \otimes_A C_1^\circ. \end{array}

Supposons pour la fin de ce numéro que l’anneau $A$ soit commutatif (cf. n° 9 pour le cas général).

Soient $C, C', C''$ trois complexes de $A$ -modules ; l’homomorphisme canonique de $A$ -modules (III, p. 64)

\varphi : (C \otimes_A C') \otimes_A C'' \to C \otimes_A (C' \otimes_A C'')

est un isomorphisme de complexes, comme on le vérifie aussitôt à l’aide des définitions.

Plus généralement, soit $(C^{(i)}, d^{(i)})_{i \in I}$ une famille de complexes de $A$ -modules, où l’ensemble $I$ est fini et totalement ordonné ; nous identifierons pour simplifier les notations $I$ à l’intervalle $[1, r]$ de $\mathbf{N}$ . Munissons le $A$ -module $C = \bigotimes_{i=1}^r C^{(i)}$ de la graduation telle que

C_n = \sum_{p_1 + p_2 + \cdots + p_r = n} (C^{(1)})_{p_1} \otimes (C^{(2)})_{p_2} \otimes \cdots \otimes (C^{(r)})_{p_r},

et définissons un

A

-endomorphisme gradué de degré

(-1)

C

par

D(x_1 \otimes \ldots \otimes x_r) = \sum_{j=1}^r (-1)^{p_1 + \cdots + p_{j-1}} x_1 \otimes \ldots \otimes x_{j-1} \otimes d_j x_j \otimes x_{j+1} \otimes \ldots \otimes x_r

où

x_i \in (C^{(i)})_{p_i}

pour

i = 1, \ldots, n

. Alors

(C, D)

est un complexe de

A

-modules appelé complexe produit tensoriel de la famille

(C_i, d_i)

. Pour toute suite strictement croissante

r_0, ..., r_k

[0, r]

telle que

r_0 = 0,\ r_k = r

, l’isomorphisme canonique d’associativité

\bigotimes_{j=0}^{k-1} \left( \bigotimes_{i=r_j+1}^{r_{j+1}} C^{(i)} \right) \to \bigotimes_{i=1}^r C^{(i)}

est un isomorphisme de complexes.

On définit comme ci-dessus un homomorphisme gradué de degré 0

\gamma((C^{(i)})) : \bigotimes_{i \in I} H(C^{(i)}) \to H \left( \bigotimes_{i \in I} C^{(i)} \right)

Remarque 3

On peut définir le produit tensoriel d’une famille finie de complexes sans munir l’ensemble d’indices d’un ordre total (X, p. 185, exercice 3).

Remarque 4

Supposons que chaque $C^{(i)}$ soit muni d’une structure d’algèbre graduée compatible avec sa graduation et telle que les $d^{(i)}$ soient des antidérivations (III, p. 117). Munissons alors $\bigotimes_{i \in I} C^{(i)}$ de la structure d’algèbre produit tensoriel gradué gauche des structures données (III, p. 49). Alors D est une antidérivation. En effet, utilisant l’associativité du produit tensoriel, on peut supposer que $I = \{1, 2\}$ ; soit alors $p_1,\ q_1,\ p_2,\ q_2 \in \mathbf{Z},\ x_1 \in (C^{(1)})_{p_1},\ y_1 \in (C^{(1)})_{q_1},\ x_2 \in (C^{(2)})_{p_2},\ y_2 \in (C^{(2)})_{q_2}$ ; on a

(D(x_1 \otimes x_2))(y_1 \otimes y_2) + (-1)^{p_1+p_2} (x_1 \otimes x_2)(D(y_1 \otimes y_2)) =

= (dx_1 \otimes x_2 + (-1)^{p_1} x_1 \otimes dx_2)(y_1 \otimes y_2) +

+ (-1)^{p_1+p_2} (x_1 \otimes x_2)(dy_1 \otimes y_2 + (-1)^{q_1} y_1 \otimes dy_2) =

= (-1)^{p_2 q_1} (dx_1) y_1 \otimes x_2 y_2 + (-1)^{p_1+(p_2-1)q_1} x_1 y_1 \otimes (dx_2) y_2 +

+ (-1)^{p_1+p_2+p_2(q_1-1)} x_1 dy_1 \otimes x_2 y_2 + (-1)^{p_1+p_2+q_1+p_2 q_1} x_1 y_1 \otimes x_2 dy_2

= (-1)^{p_2 q_1} [(dx_1) y_1 + (-1)^{p_1} x_1 dy_1] \otimes x_2 y_2 +

+ (-1)^{p_1+q_1+p_2 q_1} x_1 y_1 \otimes ((dx_2) y_2 + (-1)^{p_2} x_2 dy_2)

= (-1)^{p_2 q_1} [d(x_1 y_1) \otimes x_2 y_2 + (-1)^{p_1+q_1} x_1 y_1 \otimes d(x_2 y_2)]

= (-1)^{p_2 q_1} D(x_1 y_1 \otimes x_2 y_2) = D((x_1 \otimes x_2)(y_1 \otimes y_2)).

2. Produits tensoriels et homotopie

Proposition 3

Soient $C,\ C_1$ deux complexes de $A$ -modules à droite, $C',\ C'_1$ deux complexes de $A$ -modules à gauche, et $u : C \to C_1,\ v : C \to C_1,\ u' : C' \to C'_1,\ v' : C' \to C'_1$ des morphismes de complexes.

a) Si $u$ et $u'$ sont homotopes à $v$ et $v'$ respectivement, alors les deux morphismes $u \otimes u'$ et $v \otimes v'$ de $C \otimes_A C'$ dans $C_1 \otimes_A C'_1$ sont homotopes.

b) Si $u$ et $u'$ sont des homotopismes, $u \otimes u'$ est un homotopisme.

c) Si $C$ ou $C'$ est homotope à zéro, $C \otimes_A C'$ est homotope à zéro.

Notons par la même lettre $d$ les différentielles des complexes $C,\ C_1,\ C',\ C'_1$ et par $D$ les différentielles des complexes $C \otimes_A C'$ et $C_1 \otimes_A C'_1$ .

Si $u$ (resp. $u'$ ) est homotope à $v$ (resp. $v'$ ), il existe un homomorphisme gradué de degré 1 $s:C\to C_1$ (resp. $s':C'\to C'_1$ ) tel que

(2)\qquad u-v=ds+sd\qquad\text{(resp. }u'-v'=ds'+s'd\text{)}.

Soit $S:C\otimes_A C'\to C_1\otimes_A C'_1$ l’unique homomorphisme gradué de degré 1 tel que, pour $x\in C_p,\ y\in C'_q,\ p,q\in\mathbf Z$ , on ait

(3)\qquad S(x\otimes y)=s(x)\otimes u'(y)+(-1)^p v(x)\otimes s'(y).

On a alors, avec les notations précédentes :

\begin{aligned} (DS+SD)(x\otimes y)&=D(sx\otimes u'y)+(-1)^pD(vx\otimes s'y)+S(dx\otimes y)\\ &\quad+(-1)^pS(x\otimes dy)=\\ &=dsx\otimes u'y+(-1)^{p+1}sx\otimes du'y+(-1)^pdvx\otimes s'y+vx\otimes ds'y\\ &\quad+sdx\otimes u'y+(-1)^{p-1}vdx\otimes s'y+(-1)^psx\otimes u'dy+vx\otimes s'dy\\ &=(ds+sd)(x)\otimes u'y+vx\otimes(ds'+s'd)(y)\\ &=(ux-vx)\otimes u'y+vx\otimes(u'y-v'y)=ux\otimes u'y-vx\otimes v'y. \end{aligned}

Cela donne $DS+SD=u\otimes u'-v\otimes v'$ , d’où a).

Démontrons b). Si $u$ et $u'$ sont des homotopismes, il existe des homomorphismes de complexes $\alpha:C_1\to C$ et $\alpha':C'_1\to C'$ tels que $u\circ\alpha,\ \alpha\circ u',\ \alpha'\circ u'$ soient homotopes respectivement à $\mathrm{Id}_{C_1},\ \mathrm{Id}_C,\ \mathrm{Id}_{C'_1},\ \mathrm{Id}_{C'}$ . Alors $(u\otimes u')\circ(\alpha\otimes\alpha')$ , qui est égal à $(u\circ\alpha)\otimes(u'\circ\alpha')$ , est homotope d’après a) à $\mathrm{Id}_{C_1}\otimes\mathrm{Id}_{C'_1}=\mathrm{Id}_{C_1\otimes C'_1}$ , tandis que $(\alpha\otimes\alpha')\circ(u\otimes u')$ est homotope à $\mathrm{Id}_{C\otimes C'}$ , d’où b). Enfin, c) résulte de b) appliqué au cas où $C_1$ ou $C'_1$ est nul.

Corollaire 1

Soit $C'$ un complexe scindé de $A$ -modules à gauche tel que $H(C')$ soit plat. Pour tout complexe $C$ de $A$ -modules à droite, l’application canonique

\gamma(C,C'):H(C)\otimes_AH(C')\longrightarrow H(C\otimes_A C')

est bijective.

D’après X, p. 35, déf. 6, il existe un homotopisme $u':C'\to H(C')$ . D’après la prop. 3, $1_C\otimes u':C\otimes_A C'\to C\otimes_AH(C')$ est un homotopisme ; comme

H(1_C\otimes u')\circ\gamma(C,C')=\gamma(C,H(C'))\circ(1_C\otimes H(u')),

et que $H(1_C\otimes u')$ et $H(u')$ sont bijectifs, il suffit de prouver que $\gamma(C,H(C'))$ est bijective, et on est ramené au cas où $C'$ est plat et à différentielle nulle. Dans ce cas les suites exactes canoniques

\mathrm{(I)}\qquad 0\longrightarrow Z(C)\xrightarrow{i}C\xrightarrow{\partial}B(C)\longrightarrow0

\mathrm{(II)}\qquad 0\longrightarrow B(C)\xrightarrow{j}Z(C)\xrightarrow{\pi}H(C)\longrightarrow0

donnent des suites exactes :

0 \longrightarrow Z(C) \otimes_A C' \xrightarrow{i\otimes 1} C \otimes_A C' \xrightarrow{\delta\otimes 1} B(C) \otimes_A C' \longrightarrow 0

0 \longrightarrow B(C) \otimes_A C' \xrightarrow{j\otimes 1} Z(C) \otimes_A C' \xrightarrow{\pi\otimes 1} H(C) \otimes_A C' \longrightarrow 0.

Comme $d=i\circ j\circ\delta$ , on a $D=d\otimes 1_{C'}=(i\otimes 1)\circ(j\otimes 1)\circ(\delta\otimes 1)$ , ce qui montre que les applications canoniques $Z(C)\otimes_A C'\to Z(C\otimes_A C')$ et $B(C)\otimes_A C'\to B(C\otimes_A C')$ sont bijectives, donc aussi $\gamma(C,C')$ par passage aux quotients.

Corollaire 2

Soit $\mathbf N$ un A-module à gauche plat. Pour tout complexe C de A-modules à droite, les homomorphismes canoniques

\gamma_n(C,\mathbf N): H_n(C)\otimes_A \mathbf N \longrightarrow H_n(C\otimes_A \mathbf N)

sont bijectifs.

Corollaire 3

Soit $C'$ un complexe de A-modules à gauche tel que $B(C')$ et $H(C')$ soient projectifs. Pour tout complexe C de A-modules à droite, l’application $\gamma(C,C')$ est bijective.

En effet, $C'$ est scindé (X, p. 35, exemple 4) et $H(C')$ est projectif ; on peut donc appliquer le corollaire 1.

Remarque 1

En utilisant les isomorphismes de commutation, on déduit des corollaires 1, 2 et 3 les énoncés analogues obtenus en échangeant les rôles des deux arguments des produits tensoriels.

Remarque 2

Nous verrons ci-dessous (X, p. 79, cor. 4) que la conclusion du cor. 1 est également vraie lorsqu’on suppose $C'$ et $H(C')$ plats et $C'$ borné à droite.

3. Produit tensoriel par un complexe plat borné à droite

Lemme 1

Soient C un complexe de A-modules à droite et E un complexe de A-modules à gauche. On suppose que $H(C)=0$ et que E est plat et borné à droite. Alors $H(C\otimes_A E)=0$ .

Pour $k\in\mathbf Z$ , soit $T^{(k)}$ le sous-complexe de $C\otimes_A E$ tel que

T_n^{(k)}=\sum_{\substack{p+q=n\\q\leq k}} C_p\otimes_A E_q\ ;

alors $T^{(k-1)}\subset T^{(k)}$ et on a une suite exacte de complexes

0\longrightarrow T^{(k-1)}\xrightarrow{i_k}T^{(k)}\xrightarrow{\pi}C\otimes_A E_k(-k)\longrightarrow 0

où $i_k$ est l’injection canonique et où $\pi$ projette la somme directe précédente sur son facteur $C_{n-k}\otimes_A E_k=(C\otimes_A E_k(-k))_n$ . D’après le cor. 2 ci-dessus, on a $H(C\otimes_A E_k(-k))=0$ , donc $i_k$ est un homomorphisme. On a $T^{(k)}=0$ pour $k$ assez petit, puisque $E$ est borné à droite, donc $H(T^{(k)})=0$ pour tout $k$ par récurrence sur $k$ . Enfin, le morphisme canonique $\underset{\longrightarrow}{\lim}\,T^{(k)}\to C\otimes_A E$ est évidemment un isomorphisme, donc $H(C\otimes_A E)=0$ (X, p. 28, prop. 1).

Lemme 2

Si $u:C\to C'$ est un morphisme de complexes de A-modules à droite et $E$ un complexe de A-modules à gauche, alors les complexes $\operatorname{Con}(u)\otimes_A E$ et $\operatorname{Con}(u\otimes 1_E)$ sont isomorphes.

Par définition, $\operatorname{Con}(u)\otimes_A E$ est le module gradué $(C'(-1)\oplus C)\otimes_A E$ muni de la différentielle $D$ telle que, pour $x\in C_p$ , $y'\in C'(-1)_p=C'_{p-1}$ , $z\in E_q$ , on ait

(4)

D(y',x)\otimes z=(-dy',dx-u(y'))\otimes z+(-1)^p(y',x)\otimes dz,

tandis que $\operatorname{Con}(u\otimes 1_E)$ est le module gradué $(C'\otimes_A E)(-1)\oplus(C\otimes_A E)$ muni de la différentielle $D_1$ telle que, pour $x\in C_p$ , $y'\in C'_{p-1}$ , $z\in E_q$ , on ait

D_1(y'\otimes z,x\otimes z)=(-dy'\otimes z-(-1)^{p-1}y'\otimes dz,dx\otimes z+(-1)^p x\otimes dz-u(y')\otimes z)

=(-dy'\otimes z,(dx-u(y'))\otimes z)+(-1)^p(y'\otimes dz,x\otimes dz),

d’où l’assertion.

Proposition 4

Soient $u:C\to C'$ un homologisme de complexes de A-modules à droite et $E$ un complexe de A-modules à gauche, plat et borné à droite. Alors

u\otimes 1_E:C\otimes_A E\to C'\otimes_A E

est un homologisme de complexes de $k$ -modules.

En effet, d’après X, p. 38, cor., $u$ (resp. $u\otimes 1_E$ ) est un homologisme si et seulement si $H(\operatorname{Con}(u))=0$ (resp. $H(\operatorname{Con}(u\otimes 1_E))=0$ ). On conclut alors par les lemmes 1 et 2.

Remarque

En utilisant les isomorphismes de commutation, on déduit des énoncés précédents les énoncés analogues obtenus en échangeant les rôles des deux arguments des produits tensoriels.

4. Définition et premières propriétés du produit de torsion

Pour tout A-module $E$ , on note $p_E:L(E)\to E$ la résolution libre canonique de $E$ (X, p. 50).

Définition 1

Soit $M$ un A-module à droite et $N$ un A-module à gauche. On appelle produit de torsion de $M$ et $N$ le $k$ -module gradué

(4)

\operatorname{Tor}^A(M,N)=H(L(M)\otimes_A L(N)).

Les composantes homogènes de $\operatorname{Tor}^A(M,N)$ sont notées

(5)

\operatorname{Tor}^A_n(M,N)=H_n(L(M)\otimes_A L(N)).

Comme $L(M)$ et $L(N)$ sont nuls à droite, on a

(6)

\operatorname{Tor}_n^A(M, N) = 0 \quad \text{pour } n < 0 .

Remarque 1

Nous verrons ci-dessous (X, p. 107, prop. 6) des propriétés de finitude des modules $\operatorname{Tor}^A(M, N)$ . Par exemple, si $A$ est commutatif noethérien et si $M$ et $N$ sont des $A$ -modules de type fini, chaque $A$ -module $\operatorname{Tor}_n^A(M, N)$ est de type fini.

Soient $f : M \to M'$ un homomorphisme de $A$ -modules à droite et $g : N \to N'$ un homomorphisme de $A$ -modules à gauche, on pose $\operatorname{Tor}^A(f, g) = H(L(f) \otimes_A L(g))$ ; c’est un homomorphisme de $k$ -modules gradués

\operatorname{Tor}^A(f, g) : \operatorname{Tor}^A(M, N) \to \operatorname{Tor}^A(M', N')

dont les composantes homogènes sont notées

\operatorname{Tor}_n^A(f, g) : \operatorname{Tor}_n^A(M, N) \to \operatorname{Tor}_n^A(M', N') .

D’après la prop. 1 de X, p. 62, l’homomorphisme canonique

\gamma_{0,0} : H_0(L(M)) \otimes_A H_0(L(N)) \to H_0(L(M) \otimes_A L(N))

est bijectif ; utilisant les isomorphismes $M \to H_0(L(M))$ et $N \to H_0(L(N))$ , on en tire un isomorphisme, dit *canonique

(7)

\gamma_{M,N} : M \otimes_A N \to \operatorname{Tor}_0^A(M, N) .

Nous identifierons toujours $\operatorname{Tor}_0^A(M, N)$ à $M \otimes_A N$ par cet isomorphisme. Alors l’application $k$ -linéaire $\operatorname{Tor}_0^A(f, g)$ s’identifie à $f \otimes g$ .

Remarque 2

Le morphisme de complexes $p_M \otimes p_N : L(M) \otimes_A L(N) \to M \otimes_A N$ induit sur l’homologie de degré 0 l’isomorphisme

\gamma_{M,N}^{-1} : \operatorname{Tor}_0^A(M, N) \to M \otimes_A N

réciproque de $\gamma_{M,N}$ .

On a $L(1_M) = 1_{L(M)}$ , $L(1_N) = 1_{L(N)}$ , donc par passage à l’homologie :

(8)

\operatorname{Tor}^A(1_M, 1_N) = 1_{\operatorname{Tor}^A(M, N)} .

Si $f' : M' \to M''$ (resp. $g' : N' \to N''$ ) est un homomorphisme de $A$ -modules à droite (resp. gauche), on a $L(g' \circ g) = L(g') \circ L(g)$ et $L(f' \circ f) = L(f') \circ L(f)$ , donc

(9)

\operatorname{Tor}^A(f' \circ f, g' \circ g) = \operatorname{Tor}^A(f', g') \circ \operatorname{Tor}^A(f, g) .

Considérons les morphismes de $k$ -complexes

L(M) \otimes_A N \xleftarrow{1 \otimes p_N} L(M) \otimes_A L(N) \xrightarrow{p_M \otimes 1} M \otimes_A L(N)

et les $k$ -homomorphismes qu’ils induisent en homologie :

H(L(M) \otimes_A N) \xleftarrow{\psi_{M(N)}} \mathrm{Tor}^A(M, N) \xrightarrow{\overline{\psi}_{N(M)}} H(M \otimes_A L(N)) ;

d’après la prop. 4 de X, p. 67, $1 \otimes p_N$ et $p_M \otimes 1$ sont des homologismes. D’où :

Proposition 5. — Les $k$ -homomorphismes

\begin{aligned} & \psi_M(N) : \mathrm{Tor}^A(M, N) \to H(L(M) \otimes_A N) \\ & \overline{\psi}_N(M) : \mathrm{Tor}^A(M, N) \to H(M \otimes_A L(N)) \end{aligned}

sont bijectifs.

Corollaire. — Si $M$ ou $N$ est plat, $\mathrm{Tor}_i^A(M, N) = 0$ pour $i \geqslant 0$ .

Supposons $N$ (resp. $M$ ) plat ; alors $p_M \otimes 1 : L(M) \otimes_A N \to M \otimes_A N$ (resp. $1 \otimes p_N : M \otimes_A L(N) \to M \otimes_A N$ ) est un homologisme (X, p. 67, prop. 4), donc $H_i(L(M) \otimes_A N)$ (resp. $H_i(M \otimes_A L(N))$ ) est nul pour $i > 0$ .

Remarque 3. — Si $g : N \to N'$ est un homomorphisme de A-modules à gauche, alors

(1_{L(M)} \otimes g) \circ (1_{L(M)} \otimes 1_N) = (1_{L(M)} \otimes 1_N) \circ (1_{L(M)} \otimes L(g)) ,

donc le diagramme

\begin{array}{ccc} \mathrm{Tor}^A(M, N) & \xrightarrow{\psi_{M(N)}} & H(L(M) \otimes_A N) \\ \mathrm{Tor}^A(1, g) \downarrow & & \downarrow H(1 \otimes g) \\ \mathrm{Tor}^A(M, N') & \xrightarrow{\psi_{M(N')}} & H(L(M) \otimes_A N') \end{array}

est commutatif.

De même, si $f : M \to M'$ est un homomorphisme de A-modules à droite, on a un diagramme commutatif :

\begin{array}{ccc} \mathrm{Tor}^A(M, N) & \xrightarrow{\overline{\psi}_{N(M)}} & H(M \otimes_A L(N)) \\ \mathrm{Tor}^A(f, 1) \downarrow & & \downarrow H(f \otimes 1) \\ \mathrm{Tor}^A(M', N) & \xrightarrow{\overline{\psi}_{N(M')}} & H(M' \otimes_A L(N)) . \end{array}

Proposition 6. — L’application $(f, g) \mapsto \mathrm{Tor}^A(f, g) :$

\mathrm{Hom}_A(M, M') \times \mathrm{Hom}_A(N, N') \to \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Tor}^A(M, N), \mathrm{Tor}^A(M', N'))

est $k$ *-bilinéaire.

Soient $f \in \mathrm{Hom}_A(M, M')$ , $g_1, g_2 \in \mathrm{Hom}_A(N, N')$ , $\lambda_1, \lambda_2 \in k$ . Alors les morphismes

\lambda_1(L(f) \otimes g_1) + \lambda_2(L(f) \otimes g_2) \quad \text{et} \quad L(f) \otimes (\lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2)

de $L(M) \otimes_A N$ dans $L(M) \otimes_A N'$ coïncident ; d’après la prop. 5 et la remarque 3, on a donc

(10)

\mathrm{Tor}^A(f, \lambda_1 g_1 + \lambda_2 g_2) = \lambda_1 \mathrm{Tor}^A(f, g_1) + \lambda_2 \mathrm{Tor}^A(f, g_2).

On raisonne de même pour l’application $f \mapsto \mathrm{Tor}^A(f, g)$ .

Corollaire

Soit $\lambda \in k$ . Si $\lambda$ annule $M$ ou $N$ , il annule $\mathrm{Tor}^A(M, N)$ .* En effet, $\lambda . 1_{\mathrm{Tor}(M, N)} = \mathrm{Tor}(\lambda . 1_M, 1_N) = \mathrm{Tor}(1_M, \lambda . 1_N)$ .

Proposition 7

Soient I et J deux ensembles, $(M_\alpha)_{\alpha \in I}$ une famille de A-modules à droite, $(N_\beta)_{\beta \in J}$ une famille de A-modules à gauche. L’homomorphisme

\bigoplus_{\alpha \in I, \beta \in J} \mathrm{Tor}^A(M_\alpha, N_\beta) \to \mathrm{Tor}^A\left( \bigoplus_{\alpha \in I} M_\alpha, \bigoplus_{\beta \in J} N_\beta \right)

déduit des homomorphismes canoniques $M_\alpha \to \bigoplus M_\alpha$ et $N_\beta \to \bigoplus N_\beta$ est bijectif.

Il suffit de prouver que pour tout module à droite $M$ (resp. tout module à gauche $N$ ), l’homomorphisme canonique

\bigoplus_{\beta \in J} \mathrm{Tor}^A(M, N_\beta) \to \mathrm{Tor}^A(M, \bigoplus_{\beta \in J} N_\beta)

(resp. $\bigoplus_{\alpha \in I} \mathrm{Tor}^A(M_\alpha, N) \to \mathrm{Tor}^A(\bigoplus_{\alpha \in I} M_\alpha, N)$ ) est bijectif. Or cela résulte de ce qui précède, de la proposition 1 de X, p. 28, et des isomorphismes canoniques :

\bigoplus_{\beta} (L(M) \otimes_A N_\beta) \to L(M) \otimes_A (\bigoplus_{\beta} N_\beta),

\bigoplus_{\alpha} (M_\alpha \otimes_A L(N)) \to (\bigoplus_{\alpha} M_\alpha) \otimes_A L(N).

Un raisonnement analogue donne :

Proposition 8

Soient I (resp. J) un ensemble préordonné filtrant à droite, (( $M_\alpha$ , $u_{\alpha', \alpha}$ ) (resp. (( $N_\beta$ , $v_{\beta', \beta}$ ))) un système inductif de A-modules à droite (resp. gauche) relatif à I (resp. J). L’homomorphisme de k-modules gradués

\lim_{\longrightarrow (\alpha, \beta) \in I \times J} \mathrm{Tor}^A(M_\alpha, N_\beta) \to \mathrm{Tor}^A\left( \lim_{\longrightarrow \alpha \in I} M_\alpha, \lim_{\longrightarrow \beta \in J} N_\beta \right),

déduit des A-homomorphismes canoniques $M_\alpha \to \lim_{\longrightarrow} M_\alpha$ et $N_\beta \to \lim_{\longrightarrow} N_\beta$ , est bijectif.

En particulier, prenant $J = I$ et remarquant que les $(\alpha, \alpha), \alpha \in I$ , forment une partie cofinale de $I \times I$ , on obtient :

Corollaire

Soient I un ensemble préordonné filtrant à droite, $(M_i, u_{ji})$ (resp. $(N_i, v_{ji})$ ) un système inductif de $A$ -modules à droite (resp. à gauche) relatif à I. L’homomorphisme de $k$ -modules gradués

\lim_{\longrightarrow i \in I} \operatorname{Tor}^A(M_i, N_i) \to \operatorname{Tor}^A\left(\lim_{\longrightarrow i \in I} M_i, \lim_{\longrightarrow i \in I} N_i\right),

déduit des $A$ -homomorphismes canoniques $M_i \to \lim_{\longrightarrow} M_i$ et $N_j \to \lim_{\longrightarrow} N_j$ est bijectif.

Soient $M$ un $A$ -module à droite, $N$ un $A$ -module à gauche, $A^\circ$ l’anneau opposé à $A$ , $M^\circ$ le $A^\circ$ -module à gauche sous-jacent à $M$ , $N^\circ$ le $A^\circ$ -module à droite sous-jacent à $M$ . On a $L(M^\circ) = L(M)^\circ$ et $L(N^\circ) = L(N)^\circ$ , d’où un isomorphisme de commutation (X, p. 63, prop. 2)

\sigma(L(M), L(N)) : L(M) \otimes_A L(N) \to L(N^\circ) \otimes_{A^\circ} L(M^\circ).

Par passage à l’homologie, $\sigma(L(M), L(N))$ induit un isomorphisme gradué de degré 0 $\sigma_{M,N} : \operatorname{Tor}^A(M, N) \to \operatorname{Tor}^{A^\circ}(N^\circ, M^\circ)$ dit isomorphisme de commutation des produits de torsion.

Notons que $\sigma_{N^\circ, M^\circ} \circ \sigma_{M,N} = \mathrm{Id}_{\operatorname{Tor}(M,N)}$ et que $\sigma_{M,N}$ induit sur les termes de degré 0 l’homomorphisme de commutation du produit tensoriel. D’autre part, si $f : M \to M'$ et $g : N \to N'$ sont des homomorphismes de $A$ -modules, on a

\operatorname{Tor}^{A^\circ}(g, f) \circ \sigma_{M,N} = \sigma_{M', N'} \circ \operatorname{Tor}^A(f, g).

5. Les homomorphismes de liaison et les suites exactes

Soit $M$ un $A$ -module à droite. Rappelons que pour tout $A$ -module à gauche $N$ , on a défini au numéro précédent (X, p. 69, prop. 5) un isomorphisme

\psi_M(N) : \operatorname{Tor}^A(M, N) \to H(L(M) \otimes_A N).

Soit

(\mathscr{E})

0 \to N' \xrightarrow{u} N \xrightarrow{v} N'' \to 0

une suite exacte de $A$ -modules à gauche ; la suite de $k$ -complexes

(\mathscr{M}\mathscr{E})

0 \longrightarrow L(M) \otimes_A N' \xrightarrow{1 \otimes u} L(M) \otimes_A N \xrightarrow{1 \otimes v} L(M) \otimes_A N'' \longrightarrow 0

est alors exacte (X, p. 66, lemme 1); soit

\partial^{(\mathscr{M}\mathscr{E})} : H(L(M) \otimes_A N'') \to H(L(M) \otimes_A N')

l’homomorphisme de liaison correspondant (X, p. 29).

Définition 2

On appelle homomorphisme de liaison des produits de torsion, relatif au module M et à la suite exacte $\mathscr{E}$ , l’homomorphisme composé

\partial(M, \mathscr{E}) = \psi_M(N')^{-1} \circ \partial^{(M\mathscr{E})} \circ \psi_M(N'') : \mathrm{Tor}^A(M, N'') \to \mathrm{Tor}^A(M, N')

C’est un $k$ -homomorphisme gradué de degré ( $-1$ ), dont les composantes homogènes sont notées $\partial_n(M, \mathscr{E}) : \mathrm{Tor}_n^A(M, N'') \to \mathrm{Tor}_{n-1}^A(M, N')$ .

Théorème 1

La suite illimitée à gauche d’homomorphismes de $k$ -modules

\cdots \longrightarrow \mathrm{Tor}_n^A(M, N') \xrightarrow{\mathrm{Tor}_n^A(1, u)} \mathrm{Tor}_n^A(M, N) \xrightarrow{\mathrm{Tor}_n^A(1, v)} \mathrm{Tor}_n^A(M, N'')

\xrightarrow{\partial_n(M, \mathscr{E})} \mathrm{Tor}_{n-1}^A(M, N') \xrightarrow{\mathrm{Tor}_{n-1}^A(1, u)} \cdots \xrightarrow{\mathrm{Tor}_1^A(1, v)} \mathrm{Tor}_1^A(M, N'')

\xrightarrow{\hat{c}_1(M, \mathscr{E})} M \otimes_A N' \xrightarrow{1 \otimes u} M \otimes_A N \xrightarrow{1 \otimes v} M \otimes_A N'' \longrightarrow 0

est exacte.

Considérons en effet le diagramme

\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{Tor}(M, N') & \xrightarrow{\mathrm{Tor}(1, u)} & \mathrm{Tor}(M, N) & \xrightarrow{\mathrm{Tor}(1, v)} & \mathrm{Tor}(M, N'') & \xrightarrow{\partial(M, \mathscr{E})} & \mathrm{Tor}(M, N') & \xrightarrow{\mathrm{Tor}(1, u)} & \mathrm{Tor}(M, N) \\ \psi_M(N') \downarrow & & \psi_M(N) \downarrow & & \psi_M(N'') \downarrow & & \psi_M(N') \downarrow & & \psi_M(N') \downarrow \\ H(L(M) \otimes N') & \xrightarrow{H(1 \otimes u)} & H(L(M) \otimes N) & \xrightarrow{H(1 \otimes v)} & H(L(M \otimes N'') & \xrightarrow{\partial^{(M\mathscr{E})}} & H(L(M) \otimes N') & \xrightarrow{H(1 \otimes u)} & H(L(M) \otimes N) \end{array}

Il est commutatif d’après (X, p. 69, remarque 3) et la déf. 2. D’autre part, la ligne inférieure est exacte (X, p. 30, th. 1), et les différents $\psi_M$ sont bijectifs (X, p. 69, prop. 5).

Corollaire 1

Si $\mathrm{Tor}_1^A(M, N'') = 0$ , la suite

0 \longrightarrow M \otimes_A N' \xrightarrow{1 \otimes u} M \otimes_A N \xrightarrow{1 \otimes v} M \otimes_A N'' \longrightarrow 0

est exacte.

Corollaire 2

Soient $0 \to C' \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} C'' \to 0$ une suite exacte de complexes de $A$ -modules à gauche et $E$ un complexe de $A$ -modules à droite. Si $C''$ ou $E$ est plat, la suite

0 \longrightarrow E \otimes_A C' \xrightarrow{1 \otimes u} E \otimes_A C \xrightarrow{1 \otimes v} E \otimes_A C'' \longrightarrow 0

est exacte.

En effet, $\mathrm{Tor}_1^A(E, C'') = 0$ d’après X, p. 69, cor. à la prop. 5.

Exemple

Soit $a$ un idéal de $A$ . La suite exacte

0 \to a \to A_s \to A/a \to 0

de A-modules à gauche, donne naissance à une suite exacte de produits de torsion, dans laquelle les termes Tor $_i^A$ (M, A) sont nuls pour $i > 0$ . On en déduit des isomorphismes

\operatorname{Tor}_{i+1}^A(M, A/\alpha) \to \operatorname{Tor}_i^A(M, \alpha), \quad i > 0

et une suite exacte

0 \to \operatorname{Tor}_1^A(M, A\alpha) \to M \otimes_A \alpha \to M \otimes_A A \to M \otimes A \alpha \to 0 :

il en résulte que $\operatorname{Tor}_1^A(M, A/\alpha)$ s’identifie au noyau de l’homomorphisme canonique $M \otimes_A \alpha \to M$ .

Par exemple, prenant pour M un module de la forme $A_d/b$ , où b est un idéal à droite de A, on obtient un isomorphisme de $\operatorname{Tor}_1^A(A/b, A/\alpha)$ sur $(\alpha \cap b)/ba$ .

Proposition 9

Soient f : M → M $_1$ un homomorphisme de A-modules à droite et

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & N' & \xrightarrow{u} & N & \xrightarrow{v} & N'' & \longrightarrow & 0 \\ & & g' \downarrow & & g \downarrow & & g'' \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & N'_1 & \xrightarrow{u_1} & N_1 & \xrightarrow{v_1} & N''_1 & \longrightarrow & 0 \end{array}

(E $_1$ )

un diagramme commutatif à lignes exactes d’homomorphismes de A-modules à gauche. Le diagramme de k-modules

\begin{array}{ccc} \operatorname{Tor}^A(M, N'') & \xrightarrow{\partial(M, E)} & \operatorname{Tor}^A(M, N') \\ \operatorname{Tor}^A(f, g'') \downarrow & & \operatorname{Tor}^A(f, g') \downarrow \\ \operatorname{Tor}^A(M_1, N''_1) & \xrightarrow{\partial(M_1, E_1)} & \operatorname{Tor}^A(M_1, N'_1) \end{array}

est commutatif.

Cela résulte de X, p. 31, prop. 2, appliquée au diagramme commutatif

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & L(M) \otimes_A N' & \xrightarrow{1 \otimes u} & L(M) \otimes_A N & \xrightarrow{1 \otimes v} & L(M) \otimes_A N'' & \longrightarrow & 0 \\ & & L(f) \otimes g' \downarrow & & L(f) \otimes g \downarrow & & L(f) \otimes g'' \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & L(M_1) \otimes_A N'_1 & \xrightarrow{1 \otimes u_1} & L(M_1) \otimes_A N_1 & \xrightarrow{1 \otimes v_1} & L(M_1) \otimes_A N''_1 & \longrightarrow & 0 . \end{array}

De manière analogue, si N est un A-module à gauche et

(F)

0 \to M' \xrightarrow{r} M \xrightarrow{s} M'' \to 0

une suite exacte de A-modules à droite, on définit des homomorphismes de liaison

\partial(F, N) : \operatorname{Tor}^A(M'', N) \to \operatorname{Tor}^A(M', N)

\partial_n(F, N) : \operatorname{Tor}_n^A(M'', N) \to \operatorname{Tor}_{n-1}^A(M', N)

par $\partial(\mathscr F,\mathbf N)=\overline{\psi}_{\mathbf N}(M')^{-1}\circ\partial(\mathscr F^{\mathbf N})\circ\overline{\psi}_{\mathbf N}(M'')$ , où $\partial(\mathscr F^{\mathbf N})$ est l’homomorphisme de liaison de la suite exacte

(\mathscr F_{\mathbf N})\qquad 0\longrightarrow M'\otimes_A L(N)\longrightarrow M\otimes_A L(N)\longrightarrow M''\otimes_A L(N)\longrightarrow 0

déduite de $\mathscr F$ , et on a :

THÉORÈME 1 bis. — La suite illimitée à gauche d’homomorphismes de $k$ -modules

\longrightarrow \operatorname{Tor}_n^A(M',N)\xrightarrow{\operatorname{Tor}_n^A(r,1)}\operatorname{Tor}_n^A(M,N)\xrightarrow{\operatorname{Tor}_n^A(s,1)}\operatorname{Tor}_n^A(M'',N)\xrightarrow{\partial_n(\mathscr F,N)}\operatorname{Tor}_{n-1}^A(M',N)

\cdots\longrightarrow \operatorname{Tor}_1^A(M'',N)\xrightarrow{\partial_1(\mathscr F,N)}M'\otimes_A N\xrightarrow{r\otimes1}M\otimes_A N\xrightarrow{s\otimes1}M''\otimes_A N\longrightarrow0

est exacte.

On laisse au lecteur le soin d’énoncer et de démontrer les propriétés analogues aux corollaires du th. 1 et à la prop. 9. D’ailleurs :

Proposition 10

Notons $(\mathscr F^\circ)$ la suite exacte de $A$ -modules à gauche

0\longrightarrow M'\xrightarrow{r}M\xrightarrow{s}M''\longrightarrow0.

Le diagramme

\begin{array}{ccccc} \operatorname{Tor}^A(M'',N)&\xrightarrow{\partial(\mathscr F,N)}&\operatorname{Tor}^A(M',N)\\ \Big\downarrow{\sigma_{M'',N}}&&\Big\downarrow{\sigma_{M',N}}\\ \operatorname{Tor}^{A^\circ}(N^\circ,{M''}^\circ)&\xrightarrow{\partial(N^\circ,\mathscr F^\circ)}&\operatorname{Tor}^{A^\circ}(N^\circ,{M'}^\circ) \end{array}

est commutatif.

En effet, cela résulte de X, p. 31, prop. 2, appliquée au diagramme commutatif

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&M'\otimes_A L(N)&\xrightarrow{r\otimes1}&M\otimes_A L(N)&\xrightarrow{s\otimes1}&M''\otimes_A L(N)&\longrightarrow&0\\ &&\Big\downarrow{\sigma(M',L(N))}&&\Big\downarrow{\sigma(M,L(N))}&&\Big\downarrow{\sigma(M'',L(N))}\\ 0&\longrightarrow&L(N^\circ)\otimes_{A^\circ}{M'}^\circ&\xrightarrow{1\otimes r}&L(N^\circ)\otimes_{A^\circ}M^\circ&\xrightarrow{1\otimes s}&L(N^\circ)\otimes_{A^\circ}{M''}^\circ&\longrightarrow&0 . \end{array}

Nous verrons plus tard d’autres relations de commutation (cf. X, p. 131, cor. 1*).*

6. Modules plats et produits de torsion

Théorème 2

Soit E un $A$ -module à droite. Les conditions suivantes sont équi-* *valentes :

(i) E est plat ;

(ii) pour tout $A$ -module à gauche F, et tout entier $n>0$ , on a

\operatorname{Tor}_n^A(E,F)=0\,;

(iii) pour tout $A$ -module à gauche monogène et de présentation finie $F$ , on a

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0 ;

(iv) pour tout idéal à gauche de type fini

a

A

, l’application canonique

E \otimes_A a \to E

est injective ; (v) pour toute suite exacte de

A

-modules à droite, de la forme

0 \to G \xrightarrow{\nu} H \xrightarrow{w} E \to 0 ,

et tout

A

-module à gauche

F

, la suite

0 \longrightarrow G \otimes_A F \xrightarrow{\nu \otimes 1} H \otimes_A F \xrightarrow{w \otimes 1} E \otimes_A F \longrightarrow 0

est exacte. (i)

\Rightarrow

(ii) : c’est le cor. à la prop. 5 de X, p. 69. (ii)

\Rightarrow

(iii) : c’est trivial. (iii)

\Leftrightarrow

(iv) : tout

A

-module à gauche monogène de présentation finie est isomorphe à un quotient

A/a

, où

a

est un idéal à gauche de type fini, de sorte que (iii) équivaut à (iv) d’après X, p. 72, exemple. (iii)

\Rightarrow

(i) : d’après X, p. 8, prop. 3, X, p. 72, th. 1,

E

est plat dès que

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0

pour tout

A

-module à gauche

F

. Si (iii) est satisfait, il en est ainsi dès que

F

est monogène et de présentation finie. D’après X, p. 11, prop. 7, tout

A

-module (resp. tout

A

-module monogène) est limite inductive filtrante de modules de présentation finie (resp. de modules monogènes de présentation finie); on voit donc, d’après X, p. 70, prop. 8, qu’il suffit de prouver que si

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0

lorsque

F

est monogène, alors il en est ainsi dès que

F

est de type fini. Raisonnons donc par récurrence sur le cardinal d’un système générateur

(f_1, \ldots, f_n)

F

; la suite exacte

0 \to Af_1 \to F \to F/Af_1 \to 0

donne naissance à une suite exacte

\operatorname{Tor}_1^A(E, Af_1) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F) \to \operatorname{Tor}_1^A(E, F/Af_1) ,

de sorte que

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0

puisque

\operatorname{Tor}_1^A(E, Af_1) = 0

et que

\operatorname{Tor}_1^A(E, F/Af_1) = 0

par hypothèse de récurrence. (i)

\Rightarrow

(v) : c’est le cor. 2 au th. 1 (X, p. 72). (v)

\Rightarrow

(iii) : la suite exacte (X, p. 50)

0 \longrightarrow Z_0(E) \xrightarrow{i_E} L_0(E) \xrightarrow{p_E} E \longrightarrow 0

donne naissance pour tout

A

-module à gauche

F

à une suite exacte

0 \longrightarrow \operatorname{Tor}_1^A(E, F) \longrightarrow Z_0(E) \otimes_A F \xrightarrow{i_E \otimes 1} L_0(E) \otimes_A F \xrightarrow{p_E \otimes 1} E \otimes_A F \longrightarrow 0 .

Si (v) est satisfait, on a

\operatorname{Tor}_1^A(E, F) = 0

d’où (iii).

Corollaire 1

Soit $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ une suite exacte de $A$ -modules à droite. Supposons que $E''$ soit plat. Alors pour que $E$ soit plat, il faut et il suffit que $E'$ soit plat.

Soit F un A-module à gauche. Puisque $\operatorname{Tor}^A_i(E'', F)=0$ pour $i=1,2$ (th. 2, (i) $\Rightarrow$ (ii)), on a une suite exacte

0\longrightarrow \operatorname{Tor}^A_1(E',F)\longrightarrow \operatorname{Tor}^A_1(E,F)\longrightarrow 0

d’où l’assertion (th. 2, (i) $\Leftrightarrow$ (iii)).

Corollaire 2

Soit $0\longrightarrow E_n\longrightarrow E_{n-1}\longrightarrow\cdots\longrightarrow E_1\longrightarrow0$ une suite exacte de A-modules à droite. Si $E_i$ est plat pour $i=1,\ldots,n-1$ , alors $E_n$ est plat.

7. Formule de Künneth

Dans ce numéro, on considère un complexe $(C,d)$ de A-modules à droite et un complexe $(C',d')$ de A-modules à gauche. Considérons les suites exactes canoniques

(I)

0\longrightarrow Z(C)\xrightarrow{i}C\xrightarrow{\delta}B(C)(-1)\longrightarrow0,

(II)

0\longrightarrow B(C)\xrightarrow{i}Z(C)\xrightarrow{p}H(C)\longrightarrow0;

on déduit de $\delta$ un $k$ -homomorphisme

H(\delta\otimes 1):H(C\otimes_A C')\longrightarrow H(B(C)\otimes_A C')(-1);

on déduit de (II) un homomorphisme de liaison

\partial(\mathrm{II},H(C')):\operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))\longrightarrow B(C)\otimes_A H(C');

si l’on munit $\operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))$ de la graduation dont le composant homogène de degré $n$ est

\bigoplus_{p+q=n}\operatorname{Tor}^A_1(H_p(C),H_q(C')),

cet homomorphisme de liaison est gradué de degré 0. On dispose par ailleurs d’un homomorphisme canonique (X, p. 62)

\gamma(B(C),C'):B(C)\otimes_A H(C')\longrightarrow H(B(C)\otimes_A C').

Avec ces notations :

Théorème 3

Supposons les A-modules $B(C)$ et $Z(C)$ plats. Il existe un unique homomorphisme de $k$ -modules gradués, de degré $-1$ ,

\alpha:H(C\otimes_A C')\longrightarrow\operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))

rendant commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} H(C\otimes_A C') & \xrightarrow{\alpha} & \operatorname{Tor}^A_1(H(C),H(C'))(-1)\\ {\scriptstyle H(\delta\otimes1)}\downarrow & & \downarrow{\scriptstyle\partial(\mathrm{II},H(C'))}\\ H(B(C)\otimes_A C')(-1) & \xleftarrow{\gamma(B(C),C')} & (B(C)\otimes_A H(C'))(-1). \end{array}

La suite de k-modules gradués

0 \longrightarrow \mathrm{H}(C) \otimes_A \mathrm{H}(C') \xrightarrow{\gamma(C,C')} \mathrm{H}(C \otimes_A C') \xrightarrow{\alpha} \mathrm{Tor}_1^A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C'))(-1) \longrightarrow 0

est exacte.

On a donc pour chaque $n$ une suite exacte

(11)

\begin{array}{cccccc} 0 & \longrightarrow & \bigoplus_{p+q=n} \mathrm{H}_p(C) \otimes_A \mathrm{H}_q(C') & \xrightarrow{\gamma_n(C,C')} & \mathrm{H}_n(C \otimes_A C') \\ & & & \xrightarrow{\alpha_n} & \bigoplus_{p+q=n-1} \mathrm{Tor}_1^A(\mathrm{H}_p(C), \mathrm{H}_q(C')) & \longrightarrow 0 . \end{array}

Posons pour simplifier $B = B(C)$ , $Z = Z(C)$ , $H = H(C)$ et $H' = H(C')$ :

Comme $B$ est plat, on déduit de (I) une suite exacte (X, p. 72, cor. 2)

(12)

0 \longrightarrow Z \otimes_A C' \xrightarrow{j \otimes 1} C \otimes_A C' \xrightarrow{\delta \otimes 1} (B \otimes_A C')(-1) \longrightarrow 0 .

Lemme 3

L’homomorphisme de liaison $\mathrm{H}(B \otimes_A C') \to \mathrm{H}(Z \otimes_A C')$ associé à la suite exacte (12) est égal à $\mathrm{H}(i \otimes 1)$ .

En effet, soit $a \in Z(B \otimes_A C')$ ; comme $B$ est plat, $a$ appartient à l’image de $B \otimes_A Z(C')$ , donc s’écrit $\sum_\lambda da_\lambda \otimes b_\lambda$ , avec $a_\lambda \in C$ , $b_\lambda \in C'$ , $db_\lambda = 0$ . L’image de la classe de $a$ par l’homomorphisme cherché est par définition la classe de $D(\sum a_\lambda \otimes b_\lambda) = \sum da_\lambda \otimes b_\lambda = (i \otimes 1)(a)$ , d’où le lemme.

La suite exacte d’homologie associée à (12) est donc

\mathrm{H}(B \otimes_A C') \xrightarrow{\mathrm{H}(i \otimes 1)} \mathrm{H}(Z \otimes_A C') \xrightarrow{\mathrm{H}(j \otimes 1)} \mathrm{H}(C \otimes_A C')

\xrightarrow{\mathrm{H}(\delta \otimes 1)} \mathrm{H}(B \otimes_A C')(-1) \xrightarrow{\mathrm{H}(i \otimes 1)} \mathrm{H}(Z \otimes_A C')(-1) .

Par ailleurs, puisque $Z$ est plat, on tire de (II) une suite exacte de $k$ -modules gradués

0 \longrightarrow \mathrm{Tor}_1^A(H, H') \xrightarrow{\partial(\mathrm{II}, H')} B \otimes_A H' \xrightarrow{i \otimes 1} Z \otimes_A H' \xrightarrow{p \otimes 1} H \otimes_A H' \longrightarrow 0 ;

enfin, on dispose des homomorphismes canoniques du n° 1

\gamma_B = \gamma(B, C') : B \otimes_A H' \to \mathrm{H}(B \otimes_A C')

\gamma_Z = \gamma(Z, C') : Z \otimes_A H' \to \mathrm{H}(Z \otimes_A C')

\gamma_C = \gamma(C, C') : H \otimes_A H' \to \mathrm{H}(C \otimes_A C') ,

d’où un diagramme de $k$ -modules gradués, à lignes exactes

\begin{array}{ccccccccc} B \otimes H' & \xrightarrow{i \otimes 1} & Z \otimes H' & \xrightarrow{p \otimes 1} & H \otimes H' & \longrightarrow & 0 \\ \downarrow \gamma_B & & \downarrow \gamma_Z & & \downarrow \gamma_C & & \\ H(B \otimes C') & \xrightarrow{H(i \otimes 1)} & H(Z \otimes C') & \xrightarrow{H(j \otimes 1)} & H(C \otimes C') & \xrightarrow{H(\delta \otimes 1)} & H(B \otimes C')(-1) & \xrightarrow{H(i \otimes 1)} & H(Z \otimes C')(-1) \end{array}

0 \longrightarrow \operatorname{Tor}_1^A(H, H')(-1) \xrightarrow{\partial(\Pi, H')} (B \otimes H')(-1) \xrightarrow{i \otimes 1} (Z \otimes H')(-1),

qui est commutatif par définition des homomorphismes $\gamma$ . Mais, les complexes $B$ et $Z$ étant scindés et plats, $\gamma_B$ et $\gamma_Z$ sont bijectifs (X, p. 65, cor. 1). On en déduit, d’une part que $\gamma_C$ est injectif et d’image égale à $\operatorname{Ker} H(\delta \otimes 1)$ , d’autre part que $\gamma_B \circ \partial(\Pi, H')$ est injectif, d’image égale à $\operatorname{Im} H(\delta \otimes 1)$ . Le théorème résulte immédiatement de là.

Corollaire 1

Si $B(C)$ et $Z(C)$ sont plats, on a pour tout $A$ -module à gauche $N$ et tout entier $n$ une suite exacte

(13)

0 \longrightarrow H_n(C) \otimes_A N \xrightarrow{\gamma_n} H_n(C \otimes_A N) \xrightarrow{\alpha_n} \operatorname{Tor}_1^A(H_{n-1}(C), N) \longrightarrow 0 .

Corollaire 2

Supposons $B(C)$ et $B(C')$ projectifs et $Z(C)$ plat. Alors les suites de $k$ -modules (11) et (13) sont exactes et scindées.* Cela résulte du théorème et du lemme suivant :

Lemme 4

Si $B(C)$ et $B(C')$ sont projectifs, alors l’homomorphisme canonique*

\gamma(C, C') : H(C) \otimes_A H(C') \to H(C \otimes_A C')

possède une rétraction $k$ -linéaire. En effet d’après X, p. 65, remarque b), il existe des homologismes

\varphi : C \to H(C)

\varphi' : C' \to H(C')

tels que

H(\varphi) = 1_{H(C)}

H(\varphi') = 1_{H(C')}

. Dans le diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} H(C) \otimes_A H(C') & \xrightarrow{\gamma(C, C')} & H(C \otimes_A C') \\ \downarrow H(\varphi) \otimes H(\varphi') & & \downarrow H(\varphi \otimes \varphi') \\ H(C) \otimes_A H(C') & \xrightarrow{\gamma(H(C), H(C'))} & H(C) \otimes_A H(C') \end{array}

$H(\varphi) \otimes H(\varphi')$ et $\gamma(H(C), H(C'))$ sont l’identité, d’où l’assertion.

Corollaire 3 (formule des coefficients universels). — Supposons l’anneau $A$ principal. Si les complexes $C$ et $C'$ sont libres, les suites de $A$ -modules (11) sont exactes et scindées ; si le complexe $C$ est libre, les suites de $A$ -modules (13) sont exactes et scindées pour tout $A$ -module $N$ . En effet, $B(C), Z(C)$ et $B(C')$ sont des sous-modules des modules libres $C, C, C'$ , donc sont libres (VII, § 3, cor. 2 au th. 1), et on applique le cor. 2.

Corollaire 4 (« formule de Künneth »)

Supposons C borné à droite, C et H(C) plats ; alors l’homomorphisme canonique

\gamma(C, C') : H(C) \otimes_A H(C') \to H(C \otimes_A C')

est bijectif.

D’après le théorème, il suffit de prouver que B(C) et Z(C) sont plats. Or on a des suites exactes

\begin{align*} 0 &\to B_n(C) \to Z_n(C) \to H_n(C) \to 0 \\ 0 &\to Z_n(C) \to C_n \to B_{n-1}(C) \to 0, \end{align*}

d’où, d’après X, p. 75, cor. 1, des implications (B_{n-1}(C) est plat) $\Rightarrow$ (Z_n(C) est plat) $\Rightarrow$ (B_n(C) est plat) ; on conclut en remarquant que B_n(C) = 0 pour n assez petit.

Corollaire 5

Soit u : C \to C' un homologisme de complexes de A-modules à droite, plats et bornés à droite. Pour tout complexe E de A-modules à gauche, le morphisme $u \otimes 1_E : C \otimes_A E \to C' \otimes_A E$ est un homologisme.

En effet, Con (u) est un complexe plat, borné à droite et d’homologie nulle ; on a donc H(Con (u) \otimes_A E) = 0 d’après le cor. 4, donc H(Con (u \otimes 1_E)) = 0 (X, p. 67, lemme 2), et $u \otimes 1_E$ est un homologisme.

8. Complexes bornés et plats sur un anneau noethérien

Proposition 11

Supposons A noethérien à gauche, et soit C un complexe borné et plat de A-modules à gauche tel que H(C) soit un A-module de type fini. Soient a et b deux entiers tels que a \leq b et que H_n(C) = 0 pour n < a, C_n = 0 pour n > b. Il existe un complexe P de A-modules à gauche tel que P_n soit projectif et de type fini pour chaque n, et que P_n = 0 pour n \notin [a, b], et un homologisme u : P \to C. De plus, pour tout complexe E de A-modules à droite, l’homomorphisme

H(1_E \otimes u) : H(E \otimes_A P) \to H(E \otimes_A C) \quad \text{est bijectif}.

D’après X, p. 53, prop. 7, il existe un complexe (L, d) tel que L_n soit libre et de type fini pour chaque n, et nul lorsque n < a, et un homologisme f : L \to C. Soit P le complexe quotient L/L', où L'_n = 0 pour n < b, L'_n = L_n pour n > b, L'_b = B_b(L). Comme C_n = 0 pour n > b, f(L') = 0, donc f se factorise par un morphisme de complexes u : P \to C.

\begin{array}{ccccccccc} \ldots & \longrightarrow & L_{b+1} & \xrightarrow{d_{b+1}} & L_b & \xrightarrow{d_b} & L_{b-1} & \longrightarrow & \ldots \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ & & 0 & \longrightarrow & P_b & \longrightarrow & P_{b-1} & \longrightarrow & \ldots \\ & & \downarrow & & \downarrow^{u_b} & & \downarrow^{u_{b-1}} & & \\ & & 0 & \longrightarrow & C_b & \longrightarrow & C_{b-1} & \longrightarrow & \ldots \end{array}

Comme $f$ est un homologisme, on a $H(\operatorname{Con}(f))=0$ , d’où une suite exacte

\cdots \longrightarrow L_{b+1} \xrightarrow{d_{b+1}} L_b \longrightarrow L_{b-1}\oplus C_b \longrightarrow L_{b-2}\oplus C_{b-1} \longrightarrow \cdots

On a donc une suite exacte

0\longrightarrow P_b\longrightarrow L_{b-1}\oplus C_b\longrightarrow L_{b-2}\oplus C_{b-1}\longrightarrow\cdots.

Cela montre d’une part que le cône de $u$ est d’homologie nulle, donc que $u$ est un homologisme, d’autre part que le module $P_b$ est plat (X, p. 76, cor. 2) ; comme $P_b$ est de type fini comme quotient de $L_{b+1}$ , il est projectif (X, p. 13, cor.). Le couple $(P,u)$ répond donc à la condition exigée. La dernière assertion résulte de X, p. 79, cor. 5.

\* Exemple. — Soient A un anneau commutatif noethérien, X un A-schéma propre et plat, $\mathscr F$ un $\mathscr C_X$ -module cohérent, plat sur A. Il existe un complexe P borné formé de A-modules projectifs de type fini tel que pour tout A-module M, $H(X,\mathscr F\otimes_A M)$ s’identifie naturellement à $H(P\otimes_A M)$ . En effet, soit $\mathscr U$ un recouvrement de X par un nombre fini d’ouverts affines, $\mathscr C(\mathscr U,\mathscr F)$ le complexe de Čech associé. On montre que $H^i(\mathscr C(\mathscr U,\mathscr F))$ est isomorphe au A-module $H^i(X,\mathscr F)$ , et que ce dernier est de type fini ; de plus, pour tout A-module M, le complexe $\mathscr C(\mathscr U,\mathscr F)\otimes_A M$ est isomorphe à $\mathscr C(\mathscr U,\mathscr F\otimes_A M)$ . En appliquant la prop. 11 au complexe $\mathscr C(\mathscr U,\mathscr F)$ (qui est borné), on obtient un complexe P qui répond à la question.

Pour tout point $y$ de Spec (A), notons $\kappa(y)$ le corps résiduel de A en $y$ , $X_y=X\otimes_A\kappa(y)$ la fibre de X au-dessus de $y$ , $\mathscr F_y=\mathscr F\otimes_A\kappa(y)$ , et posons $h^p(y)=\dim_{\kappa(y)}H^p(X_y,\mathscr F_y)$ pour $p\geq 0$ .

On déduit aisément de l’existence du complexe P les résultats suivants :

(i) la fonction $h^p$ est semi-continue supérieurement sur Spec (A) ;

(ii) la fonction $\displaystyle\sum_{p\geq 0}(-1)^p h^p$ est localement constante sur Spec (A). \*

9. Généralisation aux complexes de multimodules

Soient B et B′ deux anneaux, C un complexe de (B, A)-bimodules, C′ un complexe de (A, B′)-bimodules (X, p. 43) ; alors $(C\otimes_A C',D)$ (X, p. 61) est un complexe de (B, B′)-bimodules et l’homomorphisme canonique

\gamma:H(C)\otimes_A H(C')\longrightarrow H(C\otimes_A C')

est compatible avec les structures de (B, B′)-bimodules des deux membres.

Si B″ est un troisième anneau, et C″ un complexe de (B′, B″)-bimodules, l’homomorphisme canonique (II, p. 64, prop. 8)

(C\otimes_A C')\otimes_{B'}C''\longrightarrow C\otimes_A(C'\otimes_{B'}C'')

est un isomorphisme de complexes de (B, B″)-bimodules.

Plus généralement, nous laissons au lecteur le soin de développer la théorie des produits tensoriels de familles finies, totalement ordonnées de complexes de multimodules sur le modèle du n° 1 (X, p. 63) et de II, pp. 65 à 72 (isomorphismes d’associativité, de commutativité, …).

Soient B et B’ deux anneaux, M un (B, A)-bimodule, N un (A, B’)-bimodule : alors $L(M)\otimes_A L(N)$ est un complexe de (B, B’)-bimodules, de sorte que $\operatorname{Tor}^A(M,N)$ est muni d’une structure naturelle de (B, B’)-bimodule gradué ; sur le terme de degré 0, cette structure coïncide avec celle de $M\otimes_A N$ .

Si $\lambda\in B$ , $\lambda'\in B'$ , et si on note $\lambda_M,\lambda_N,\lambda_T,\lambda'_T$ , les homothéties $x\mapsto\lambda x$ , $y\mapsto y\lambda'$ , $z\mapsto\lambda z$ , $z\mapsto z\lambda'$ de $M$ , $N$ , $\operatorname{Tor}^A(M,N)$ , $\operatorname{Tor}^A(M,N)$ respectivement, alors

\lambda_T=\operatorname{Tor}^A(\lambda_M,1_N),\qquad \lambda'_T=\operatorname{Tor}^A(1_M,\lambda_N'),

ce qui fournit une autre description de la structure de bimodule de $\operatorname{Tor}^A(M,N)$ . Nous laissons au lecteur le soin de généraliser les nos 5 et 7 au cas des complexes de multimodules.

Exercices

See the exercises for § 4.