§ 5. Modules d’extensions

On conserve les notations générales du paragraphe 4. On convient de plus que, sauf mention expresse du contraire, tous les modules considérés sont des modules à gauche, tous les complexes considérés des complexes de modules à gauche.

1. Complexes d’homomorphismes

Soient $(C,d)$ et $(C',d')$ deux A-complexes. Considérons le $k$ -module gradué $\operatorname{Homgr}_A(C,C')$ (II, p. 174, 175) : pour $n\in\mathbf{Z}$ , $\operatorname{Homgr}_A(C,C')_n$ est le $k$ -mod. le des applications A-linéaires graduées de degré $n$ de $C$ dans $C'$ ; autrement dit $\operatorname{Homgr}_A(C,C')$ s’identifie canoniquement au A-module

\bigoplus_{n\in\mathbf{Z}}\prod_{p\in\mathbf{Z}}\operatorname{Hom}_A(C_p,C'_{p+n}) = \bigoplus_{n\in\mathbf{Z}}\prod_{p+q=n}\operatorname{Hom}_A(C_p,{C'}^q).

Définissons des applications $k$ -linéaires

D_n:\operatorname{Homgr}_A(C,C')_n\longrightarrow \operatorname{Homgr}_A(C,C')_{n-1},\qquad n\in\mathbf{Z},

par

(1)

D_n(f)=d'\circ f-(-1)^n f\circ d;

on a

D_{n-1}\circ D_n(f) =D_{n-1}\bigl(d'\circ f-(-1)^n f\circ d\bigr) =d'\circ d'\circ f-(-1)^n d'\circ f\circ d

\qquad\qquad{}-(-1)^{n-1}d'\circ f\circ d-f\circ d\circ d=0.

Alors $(\operatorname{Homgr}_A(C,C'),D)$ est un complexe de $k$ -modules appelé complexe des homomorphismes de $C$ dans $C'$ .

Par exemple, Homgr_A (A, C') s’identifie canoniquement à C'. Notons aussi que, pour tout $n \in \mathbf{Z}$ , on a $\mathrm{Homgr}_A (C, C') (n) = \mathrm{Homgr}_A (C, C'(n))$ .

Les éléments de $Z_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ sont les homomorphismes gradués $f$ de degré (descendant) $n$ de $C$ dans $C'$ tels que $d' \circ f = (-1)^n f \circ d$ , c’est-à-dire les morphismes de complexes de $C$ dans $C'(n)$ , ou encore de $C(p)$ dans $C'(p+n)$ pour $p$ quelconque fixé. On dit que ce sont les morphismes de complexes de degré (descendant) $n$ de C dans C' ; si $f, g \in Z_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ et $s \in \mathrm{Homgr}_A (C, C')_{n+1}$ , alors la condition $g - f = Ds$ signifie que $s$ est une homotopie reliant les morphismes $f$ et $g$ de $C$ dans $C'(n)$ , de sorte que $H_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ est le k-module des classes d’homotopie de morphismes de degré (descendant) n de C dans C'.

Soient $\alpha \in H_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ et $p \in \mathbf{Z}$ . Représentons $\alpha$ par $f \in Z_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ ; alors $f$ est un morphisme de complexes de $C$ dans $C'(n)$ , donc $H_p(f)$ est un homomorphisme de $H_p(C)$ dans $H_p(C'(n)) = H_{p+n}(C')$ ; comme $H_p(f)$ ne dépend que de la classe d’homotopie $\alpha$ de $f$ (X, p. 33, prop. 3), on en déduit un homomorphisme canonique de $k$ -modules

H_n(\mathrm{Homgr}_A (C, C')) \to \mathrm{Hom}_A (H_p(C), H_{p+n}(C')) ,

d’où une application k-linéaire graduée de degré 0, dite canonique

\lambda(C, C') : H(\mathrm{Homgr}_A (C, C')) \to \dot{\mathrm{Homgr}}_A (H(C), H(C')) .

Les composantes homogènes de $\lambda(C, C')$ seront souvent notées :

\lambda^n(C, C') : H^n(\mathrm{Homgr}_A (C, C')) \to \prod_{p+q=n} \mathrm{Hom}_A (H_p(C), H^q(C')) .

Proposition 1

Si C est nul à droite et C' nul à gauche, alors Homgr_A (C, C') est nul à gauche, et l’application k-linéaire canonique

\lambda^0(C, C') : H^0(\mathrm{Homgr}_A (C, C')) \to \mathrm{Hom}_A (H_0(C), H^0(C'))

est bijective.

On a des suites exactes

\begin{aligned} &0 \longrightarrow H^0(C') \xrightarrow{i} {C'}^0 \xrightarrow{{d'}^0} {C'}^1 \\ &C_1 \xrightarrow{d_1} C_0 \xrightarrow{p} H_0(C) \longrightarrow 0 . \end{aligned}

D’autre part $\mathrm{Homgr}_A^0 (C, C')$ s’identifie à $\mathrm{Hom}_A (C_0, {C'}^0)$ , $Z^0(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ s’identifiant alors à l’ensemble des $f : C_0 \to {C'}^0$ tels que ${d'}^0 \circ f = 0, f \circ d_1 = 0$ ; $B^0(\mathrm{Homgr}_A (C, C'))$ est nul ; enfin l’application $\lambda^0$ associe à la classe de $f$ modulo $\{0\}$ l’homomorphisme $\varphi : H_0(C) \to H^0(C')$ tel que $f = i \circ \varphi \circ p$ , d’où la proposition.

Soient $u : \tilde{C} \to C$ et $u' : C' \to \tilde{C}'$ des morphismes de complexes ; alors l’homomorphisme canonique $\mathrm{Homgr}_A (u, u') : \mathrm{Homgr}_A (C, C') \to \mathrm{Homgr}_A (\tilde{C}, \tilde{C}')$ , défini par $f \mapsto u' \circ f \circ u$ , est un morphisme de complexes, comme il résulte aussitôt de la formule (1). De plus, le diagramme suivant est commutatif

\begin{array}{ccc} H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) & \xrightarrow{\lambda(C, C')} & \mathrm{Homgr}_A(H(C), H(C')) \\ \downarrow H(\mathrm{Homgr}_A(u, u')) & & \downarrow \mathrm{Homgr}_A(H(u), H(u')) \\ H(\mathrm{Homgr}_A(\tilde{C}, \tilde{C}')) & \xrightarrow{\lambda(\tilde{C}, \tilde{C}') } & \mathrm{Homgr}_A(H(\tilde{C}), H(\tilde{C}')) . \end{array}

Proposition 2

a) Soient $C' \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} C''$ une suite exacte de $A$ -complexes, $P$ complexe projectif, $E$ un complexe injectif (X, p. 25). Alors les suites

\mathrm{Homgr}_A(P, C') \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(1,u)} \mathrm{Homgr}_A(P, C) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(1,v)} \mathrm{Homgr}_A(P, C'')

\mathrm{Homgr}_A(C'', E) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(v,1)} \mathrm{Homgr}_A(C, E) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(u,1)} \mathrm{Homgr}_A(C', E)

sont des suites exactes de complexes de $k$ -modules.

b) Soit $0 \to C' \xrightarrow{u} C \xrightarrow{v} C'' \to 0$ une suite de $A$ -complexes qui est scindée en tant que suite exacte de $A$ -modules gradués (c’est le cas par exemple si $C'$ est injectif, ou si $C''$ est projectif). Alors pour tout complexe $E$ , les suites

0 \to \mathrm{Homgr}_A(E, C') \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(1,u)} \mathrm{Homgr}_A(E, C) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(1,v)} \mathrm{Homgr}_A(E, C'') \to 0

0 \to \mathrm{Homgr}_A(C'', E) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(v,1)} \mathrm{Homgr}_A(C, E) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(u,1)} \mathrm{Homgr}_A(C', E) \to 0

sont des suites exactes de complexes de $k$ -modules.

Dans le cas a), on remarque que les suites

\mathrm{Hom}_A(P_p, C'_q) \to \mathrm{Hom}_A(P_p, C_q) \to \mathrm{Hom}_A(P_p, C''_q)

\mathrm{Hom}_A(C''_q, E_p) \to \mathrm{Hom}_A(C_q, E_p) \to \mathrm{Hom}_A(C'_q, E_p)

sont exactes pour tous

p, q \in \mathbf{Z}

, et on applique II, p. 10, prop. 5 et II, p. 13, prop. 7. La démonstration de b) est analogue.

2. Complexes d’homomorphismes et homotopies

Proposition 3

Soient $C, \tilde{C}, C', \tilde{C}'$ quatre $A$ -complexes, $u : \tilde{C} \to C, v : \tilde{C} \to C, u' : C' \to \tilde{C}'$ et $v' : C' \to \tilde{C}'$ quatre morphismes de complexes.

a) Si $u$ et $u'$ sont homotopes à $v$ et $v'$ respectivement, alors les deux morphismes $\mathrm{Homgr}_A(u, u')$ et $\mathrm{Homgr}_A(v, v')$ de $\mathrm{Homgr}_A(C, C')$ dans $\mathrm{Homgr}_A(\tilde{C}, \tilde{C}')$ sont homotopes.

b) Si $u$ et $u'$ sont des homotopismes, $\mathrm{Homgr}_A(u, u')$ est un homotopisme.

c) Si $C$ ou $C'$ est homotope à zéro, $\mathrm{Homgr}_A(C, C')$ est homotope à zéro.

Notons par la même lettre $d$ les différentielles des complexes $C$ , $C_1$ , $C'$ , $C'_1$ , et par $D$ les différentielles de $\mathrm{Homgr}_A(C,C')$ et $\mathrm{Homgr}_A(C_1,C'_1)$ . Si $u$ (resp. $u'$ ) est homotope à $v$ (resp. $v'$ ), il existe un homomorphisme gradué de degré $1$ ,

w:C_1\to C\qquad\text{(resp. }w':C'\to C'_1\text{)}

tel que

\tag{2} u-v=dw+wd\qquad\text{(resp. }u'-v'=dw'+w'd\text{)}

Soit $W:\mathrm{Homgr}_A(C,C')\to\mathrm{Homgr}_A(C_1,C'_1)$ l’homomorphisme gradué de degré $1$ tel que, pour $f\in\mathrm{Homgr}_A(C,C')_n$ , $n\in\mathbf{Z}$ , on ait

\tag{3} W(f)=w'fu+(-1)^n v'fw.

On a alors

(DW+WD)(f)=D[w'fu+(-1)^n v'fw]+W[df-(-1)^nfd]

=dw'fu-(-1)^{n+1}w'fud+(-1)^ndv'fw+v'fwd

\qquad+w'dfu+(-1)^{n+1}v'dfw-(-1)^nw'fdu+v'fdw

=(dw'+w'd)fu+v'f(wd+dw)

=(u'-v')fu+v'f(u-v)=u'fu-v'fv;

cela s’écrit $DW+WD=\mathrm{Homgr}_A(u,u')-\mathrm{Homgr}_A(v,v')$ , d’où a).

Démontrons b). Si $u$ et $u'$ sont des homotopismes, soient $\alpha:C\to\widetilde C$ et $\alpha':\widetilde C'\to C'$ des morphismes de complexes tels que $u\circ\alpha$ , $\alpha\circ u$ , $u'\circ\alpha'$ , $\alpha'\circ u'$ soient homotopes respectivement à $\mathrm{Id}_C$ , $\mathrm{Id}_{\widetilde C}$ , $\mathrm{Id}_{\widetilde C'}$ , $\mathrm{Id}_{C'}$ . Alors $\mathrm{Homgr}(u,u')\circ\mathrm{Homgr}(\alpha,\alpha')$ , qui est égal à $\mathrm{Homgr}(\alpha\circ u,u'\circ\alpha')$ , est homotope d’après a) à

\mathrm{Homgr}_A(\mathrm{Id}_C,\mathrm{Id}_{C'})=\mathrm{Id}_{\mathrm{Homgr}_A(C,C')};

de même $\mathrm{Homgr}(\alpha,\alpha')\circ\mathrm{Homgr}(u,u')$ est homotope à $\mathrm{Id}_{\mathrm{Homgr}(\widetilde C,\widetilde C')}$ , d’où b).

Enfin c) résulte de b) (appliqué au cas où $\widetilde C$ ou $\widetilde C'$ est nul).

Corollaire 1

Si $C$ est scindé et $H(C)$ projectif (resp. si $C'$ est scindé et $H_n(C')$ injectif pour chaque $n$ ), alors l’homomorphisme canonique

\lambda(C,C'):\ H(\mathrm{Homgr}_A(C,C'))\to\mathrm{Homgr}_A(H(C),H(C'))

est bijectif.

Supposons par exemple $C'$ scindé et $H(C')$ injectif pour chaque $n$ , le cas où $C$ est scindé et $H(C)$ projectif se démontrant de manière analogue. D’après X, p. 35, déf. 6, il existe un homotopisme $u':C'\to H(C')$ ; d’après la prop. 3, $\mathrm{Homgr}_A(1,u')$ est un homotopisme de $\mathrm{Homgr}_A(C,C')$ sur $\mathrm{Homgr}_A(C,H(C'))$ ; comme

\mathrm{Homgr}_A(1,H(u'))\circ\lambda(C,C')=\lambda(C,H(C'))\circ H(\mathrm{Homgr}_A(1,u'))

et que $\mathrm{Homgr}_A(1,H(u'))$ et $H(\mathrm{Homgr}_A(1,u'))$ sont bijectifs, il nous suffit de prouver que $\lambda(C, H(C'))$ est bijectif, ce qui nous ramène au cas où $C'$ est injectif et à différentielle nulle.

Alors les suites exactes canoniques (X, p. 28)

(III)

0 \to B(C) \xrightarrow{i} C \xrightarrow{\delta} C/B(C) \to 0

(IV)

0 \to H(C) \xrightarrow{j} C/B(C) \xrightarrow{\delta} B(C) \to 0

donnent des suites exactes (X, p. 83, prop. 2, a))

0 \to \mathrm{Homgr}_A(C/B(C), C') \xrightarrow{l'} \mathrm{Homgr}_A(C, C') \xrightarrow{l} \mathrm{Homgr}_A(B(C), C') \to 0

0 \to \mathrm{Homgr}_A(B(C), C') \xrightarrow{\Delta} \mathrm{Homgr}_A(C/B(C), C') \xrightarrow{j} \mathrm{Homgr}_A(H(C), C') \to 0 .

Comme $d_C = i \circ \delta \circ p$ , la différentielle D de Homgr (C, C') est donnée par $D_n = (-1)^{n+1} P_n \circ \Delta_n \circ l_n$ ; on a alors

\mathrm{Z}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) = \mathrm{Ker}\,(P \circ \Delta \circ I) = \mathrm{Ker}\,I = \mathrm{Im}\,P,

\mathrm{B}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) = \mathrm{Im}\,(P \circ \Delta \circ I) = P(\mathrm{Im}\,\Delta) = P(\mathrm{Ker}\,J) ;

d’où un isomorphisme $\varphi : H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(H(C), C')$ tel que, si $a \in \mathrm{Homgr}_A(C/B(C), C')$ , alors l’image par $\varphi$ de la classe de $P(a)$ est $J(a)$ ; on vérifie aussitôt que $\varphi$ s’identifie à l’homomorphisme canonique $\lambda$ .

Corollaire 2

Supposons $B(C)$ et $H(C)$ projectifs (resp. $B_n(C')$ et $H_n(C')$ injectifs pour chaque $n$ ). Alors $\lambda(C, C')$ est bijectif.

En effet $C$ (resp. $C'$ ) est alors scindé d’après X, p. 35, exemple 4, et on applique le cor. 1.

Corollaire 3

Soit M un A-module projectif (resp. injectif). Pour tout complexe C de A-modules et tout entier $n$ , l’homomorphisme canonique

H^n(\mathrm{Homgr}_A(M, C)) \to \mathrm{Hom}_A(M, H^n(C))

(resp.

H^n(\mathrm{Homgr}_A(C, M)) \to \mathrm{Hom}_A(H_n(C), M)

) est bijectif.

Lemme 1

a) Si C ou $C'$ est borné à droite, si C est projectif et si $H(C') = 0$ , alors $H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) = 0$ . b) Si C ou $C'$ est borné à gauche, si $C'$ est injectif et si $H(C) = 0$ , alors $H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) = 0$ .

Soit $f \in Z_n(\mathrm{Homgr}_A(C, C'))$ ; $f$ est donc un morphisme de complexes de C dans $C'(n)$ ; dans le cas a) (resp. b)), $f_m$ est nul pour $m$ assez petit (resp. assez grand). D’après X, p. 47, prop. 1, $f$ est alors homotope à zéro, donc appartient à $B_n(\mathrm{Homgr}_A(C, C'))$ , d’où la conclusion.

Proposition 4

Soient $u : C' \to C$ un homologisme de complexes, $P$ un complexe projectif, $E$ un complexe injectif.

a) Si $P$ est borné à droite, ou si $C$ et $C'$ sont bornés à droite, alors

\operatorname{Homgr}_A(1, u) : \operatorname{Homgr}_A(P, C') \to \operatorname{Homgr}_A(P, C)

est un homologisme.

b) Si $E$ est borné à gauche, ou bien si $C$ et $C'$ sont bornés à gauche, alors

\operatorname{Homgr}_A(u, 1) : \operatorname{Homgr}_A(C, E) \to \operatorname{Homgr}_A(C', E)

est un homologisme.

Supposons d’abord $u$ injectif et posons $C'' = \operatorname{Coker}\ u$ . Comme $u$ est un homologisme, $C''$ est d’homologie nulle. On a d’autre part des suites exactes (prop. 2)

\begin{aligned} 0 &\to \operatorname{Homgr}_A(P, C') \xrightarrow{\operatorname{Homgr}(1, u)} \operatorname{Homgr}_A(P, C) \to \operatorname{Homgr}_A(P, C'') \to 0 \\ 0 &\to \operatorname{Homgr}_A(C'', E) \to \operatorname{Homgr}_A(C, E) \xrightarrow{\operatorname{Homgr}(u, 1)} \operatorname{Homgr}_A(C', E) \to 0 \end{aligned}

d’après le lemme 1, $\operatorname{Homgr}_A(P, C'')$ est d’homologie nulle dans le cas $a$ , $\operatorname{Homgr}_A(C'', E)$ est d’homologie nulle dans le cas $b$ , d’où la conclusion.

Dans le cas général, il existe (X, p. 38, cor. à la prop. 7) un complexe $\tilde{C}'$ , qui est borné à droite (resp. à gauche) lorsque $C$ et $C'$ le sont, un morphisme injectif $\tilde{u} : C' \to \tilde{C}'$ et un homotopisme $\beta : \tilde{C}' \to C$ tel que $u = \beta \circ \tilde{u}$ . Alors $\tilde{u}$ est un homologisme (X, p. 34, cor. à la prop. 5) ; d’après ce qui précède, $\operatorname{Homgr}_A(l_P, \tilde{u})$ (resp. $\operatorname{Homgr}_A(\tilde{u}, l_E)$ ) est un homologisme dans le cas $a$ (resp. $b$ ). D’autre part $\operatorname{Homgr}_A(l_P, \beta)$ (resp. $\operatorname{Homgr}_A(\beta, l_E)$ ) est un homotopisme (prop. 3) ; alors $\operatorname{Homgr}_A(l_P, u)$ (resp. $\operatorname{Homgr}_A(u, l_E)$ ) est composé de deux homologismes, donc est un homologisme.

3. Définition et premières propriétés des modules d’extensions

Pour tout $A$ -module $E$ , on note $p_E : L(E) \to E$ (resp. $e_E : E \to I(E)$ ) la résolution libre (resp. injective) canonique, cf. X, p. 50 (resp. p. 52).

Définition 1

Soient $M$ et $N$ deux $A$ -modules. On appelle module d’extensions de $N$ par $M$ , le $k$ -module gradué

\text{(4)} \quad \operatorname{Ext}_A(M, N) = H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), I(N))) .

Les composantes homogènes de $\operatorname{Ext}_A(M, N)$ sont notées

\text{(5)} \quad \operatorname{Ext}_A^n(M, N) = H^n(\operatorname{Homgr}_A(L(M), I(N))) .

Comme $L(M)$ (resp. $I(N)$ ) est nul à droite (resp. gauche), on a

(6)

\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)=0\qquad\text{pour }n<0.

Remarque 1

Nous verrons ci-dessous (X, p. 107, prop. 6) des propriétés de finitude des modules $\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)$ . Par exemple si $A$ est commutatif noethérien, et si $M$ et $N$ sont des A-modules de type fini, chaque A-module $\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)$ est de type fini.

Soient $f : M' \to M$ et $g : N \to N'$ des homomorphismes de A-modules, on pose

\operatorname{Ext}_{A}(f,g)=H(\operatorname{Homgr}_{A}(L(f),I(g)))\,;

c’est un homomorphisme de degré 0 de $k$ -modules gradués

\operatorname{Ext}_{A}(f,g):\operatorname{Ext}_{A}(M,N)\to\operatorname{Ext}_{A}(M',N')\,,

dont les composantes homogènes sont notées

\operatorname{Ext}^{n}_{A}(f,g):\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)\to\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M',N')\,.

D’après la prop. 1 de X, p. 82, l’homomorphisme canonique

\lambda^{0}(L(M),I(N)):H^{0}(\operatorname{Homgr}_{A}(L(M),I(N))) \to\operatorname{Hom}_{A}(H_{0}(L(M)),H^{0}(I(N)))

est bijectif ; utilisant les isomorphismes $M\to H_{0}(L(M))$ et $H^{0}(I(N))\to N$ , on en déduit un isomorphisme dit *canonique

(7)

\lambda_{M,N}:\operatorname{Ext}^{0}_{A}(M,N)\to\operatorname{Hom}_{A}(M,N)\,.

On identifiera toujours* $\operatorname{Ext}^{0}_{A}(M,N)$ à $\operatorname{Hom}_{A}(M,N)$ par cet isomorphisme. Alors l’application $k$ -linéaire $\operatorname{Ext}_{A}(f,g)$ s’identifie à $\operatorname{Hom}_{A}(f,g)$ .

Remarque 2

Le morphisme de complexes

\operatorname{Homgr}_{A}(p_{M},\epsilon_{N}):\operatorname{Hom}_{A}(M,N)\to\operatorname{Homgr}_{A}(L(M),I(N))

induit sur l’homologie de degré 0 l’isomorphisme

\lambda^{-1}_{M,N}:\operatorname{Hom}_{A}(M,N)\to\operatorname{Ext}^{0}_{A}(M,N)

réciproque de $\lambda_{M,N}$ .

On a $L(1_{M})=1_{L(M)}$ , $I(1_{N})=1_{I(N)}$ , donc par passage à l’homologie

(8)

\operatorname{Ext}_{A}(1_{M},1_{N})=1_{\operatorname{Ext}_{A}(M,N)}\,.

Si $f' : M''\to M'$ et $g' : N'\to N''$ sont des homomorphismes de A-modules, on a $L(f\circ f')=L(f)\circ L(f')$ et $I(g'\circ g)=I(g')\circ I(g)$ , donc

(9)

\operatorname{Ext}_{A}(f\circ f',g'\circ g)=\operatorname{Ext}_{A}(f',g')\circ\operatorname{Ext}_{A}(f,g)\,.

Considérons les morphismes de $k$ -complexes

\operatorname{Homgr}_A(L(M), N) \xrightarrow{\operatorname{Homgr}_A(1, e_N)} \operatorname{Homgr}_A(L(M), I(N)) \xleftarrow{\operatorname{Homgr}_A(p_M, 1)} \operatorname{Homgr}_A(M, I(N)),

et les homomorphismes qu’ils induisent en homologie

H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N)) \xrightarrow{\varphi_{M(N)}} \operatorname{Ext}_A(M, N) \xleftarrow{\overline{\varphi}_{N(M)}} H(\operatorname{Homgr}_A(M, I(N))) .

D’après la prop. 4 de X, p. 86,

\operatorname{Homgr}_A(1, e_N)

\operatorname{Homgr}_A(p_M, 1)

sont des homologismes, d’où :

Proposition 5

Les k-homomorphismes*

\begin{aligned} &\varphi_M(N) : H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N)) \to \operatorname{Ext}_A(M, N) \\ &\text{et} \quad \overline{\varphi}_N(M) : H(\operatorname{Homgr}_A(M, I(N))) \to \operatorname{Ext}_A(M, N) \text{ sont bijectifs}. \end{aligned}

Corollaire

Si M est projectif (resp. si N est injectif), on a $\operatorname{Ext}_A^i(M, N) = 0$ pour $i > 0$ . En effet,

\operatorname{Homgr}_A(1, e_N) : \operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Homgr}_A(M, I(N))

(resp.

\operatorname{Homgr}_A(p_M, 1) : \operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Homgr}_A(L(M), N)

) est alors un homologisme (X, p. 86, prop. 4), d’où la conclusion.

Remarques. — 3) Si $g : N \to N'$ est un homomorphisme de A-modules, alors

\operatorname{Homgr}_A(1_{L(M)}, g) \circ \operatorname{Homgr}_A(1_{L(M)}, e_N) = \operatorname{Homgr}_A(1_{L(M)}, e_{N'}) \circ \operatorname{Homgr}_A(1_{L(M)}, I(g))

donc le diagramme

\begin{array}{ccc} H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N)) & \xrightarrow{\varphi_{M(N)}} & \operatorname{Ext}_A(M, N) \\ \operatorname{H}(\operatorname{Homgr}_A(1_{L(M)}, g)) \downarrow & & \downarrow \operatorname{Ext}_A(1_M, g) \\ H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N')) & \xrightarrow{\varphi_{M(N')}} & \operatorname{Ext}_A(M, N') \end{array}

est commutatif.

4) De même, si $f : M' \to M$ est un homomorphisme de A-modules, le diagramme

\begin{array}{ccc} H(\operatorname{Homgr}_A(M, I(N))) & \xrightarrow{\overline{\varphi}_{N(M)}} & \operatorname{Ext}_A(M, N) \\ \operatorname{H}(\operatorname{Homgr}_A(f, 1_{I(N)})) \downarrow & & \downarrow \operatorname{Ext}_A(f, 1_N) \\ H(\operatorname{Homgr}_A(M', I(N))) & \xrightarrow{\overline{\varphi}_{N(M')}} & \operatorname{Ext}_A(M', N) \end{array}

est commutatif.

Proposition 6

L’application $(f,g)\mapsto \operatorname{Ext}_A(f,g)$ :

\operatorname{Hom}_A(M',M)\times\operatorname{Hom}_A(N,N')\longrightarrow \operatorname{Homgr}_k\bigl(\operatorname{Ext}_A(M,N),\operatorname{Ext}_A(M',N')\bigr)

est $k$ -bilinéaire.

Soit $f\in\operatorname{Hom}_A(M',M)$ , $g_1,g_2\in\operatorname{Hom}_A(N,N')$ , $\lambda_1,\lambda_2\in k$ ; alors les morphismes $\operatorname{Homgr}_A(L(f),\lambda_1g_1+\lambda_2g_2)$ et $\lambda_1\operatorname{Homgr}_A(L(f),g_1)+\lambda_2\operatorname{Homgr}_A(L(f),g_2)$ de $\operatorname{Homgr}_A(L(M),N)$ dans $\operatorname{Homgr}_A(L(M),N')$ coïncident ; donc, d’après la prop. 5 et la remarque 3,

(10) $\operatorname{Ext}_A(f,\lambda_1g_1+\lambda_2g_2)=\lambda_1\operatorname{Ext}_A(f,g_1)+\lambda_2\operatorname{Ext}_A(f,g_2)$ .

On raisonne de même pour l’application $f\mapsto\operatorname{Ext}_A(f,g)$ .

Corollaire

Soit $\lambda\in k$ . Si $\lambda$ annule $M$ ou $N$ , il annule $\operatorname{Ext}_A(M,N)$ . En effet $\lambda 1_{\operatorname{Ext}(M,N)}=\operatorname{Ext}(\lambda 1_M,1_N)=\operatorname{Ext}(1_M,\lambda 1_N)$ .

Proposition 7

Soient $I$ et $J$ deux ensembles, $(M_\alpha)_{\alpha\in I}$ et $(N_\beta)_{\beta\in J}$ deux familles de $A$ -modules ; l’homomorphisme

\operatorname{Ext}_A\left(\bigoplus_{\alpha\in I}M_\alpha,\prod_{\beta\in J}N_\beta\right) \longrightarrow \prod_{\substack{\beta\in J,\ \alpha\in I}} \operatorname{Ext}_A(M_\alpha,N_\beta)

déduit des homomorphismes canoniques $M_\alpha\to\bigoplus_{\alpha\in I}M_\alpha$ et $\prod_{\beta\in J}N_\beta\to N_\beta$ est bijectif.

Il suffit de prouver que pour tout $A$ -module $M$ (resp. $N$ ), les homomorphismes

\operatorname{Ext}(M,\prod_\beta N_\beta)\to\prod_\beta\operatorname{Ext}(M,N_\beta)

(resp. $\operatorname{Ext}(\bigoplus M_\alpha,N)\to\prod_\alpha\operatorname{Ext}(M_\alpha,N)$ )

sont bijectifs. Or cela résulte de ce qui précède, de la prop. 1 de X, p. 28, et des isomorphismes canoniques $\operatorname{Homgr}_A(L(M),\prod N_\beta)\to\prod\operatorname{Homgr}_A(L(M),N_\beta)$ et $\operatorname{Homgr}_A(\bigoplus M_\alpha,I(N))\to\prod\operatorname{Homgr}_A(M_\alpha,I(N))$ .

Remarque 5

Soient $P^\circ$ et $Q^\circ$ deux $A$ -modules à droite. On définit $\operatorname{Ext}_A(P,Q)$ par

\operatorname{Ext}_A(P,Q)=H(\operatorname{Homgr}_A(L(P),I(Q)))=H(\operatorname{Homgr}_{A^\circ}(L(P^\circ),I(Q^\circ)))

=\operatorname{Ext}_{A^\circ}(P^\circ,Q^\circ).

Toutes les définitions et propositions de ce paragraphe s’appliquent donc aux $A$ -modules à droite en les considérant comme modules à gauche sur l’anneau $A^\circ$ .

4. Les homomorphismes de liaison et les suites exactes

Soit $M$ un $A$ -module. Rappelons que pour tout $A$ -module $N$ , on a défini au numéro précédent un isomorphisme de $k$ -modules

\varphi_M(N):H(\operatorname{Homgr}_A(L(M),N))\longrightarrow\operatorname{Ext}_A(M,N).

Soit

(\mathscr{E})\qquad 0\longrightarrow N'\xrightarrow{u}N\xrightarrow{v}N''\longrightarrow0

Bourbaki. — Algèbre X 4 une suite exacte de $A$ -modules ; la suite de $k$ -complexes

(\mathscr{E}) \quad 0 \longrightarrow \operatorname{Homgr}_A(L(M), N') \xrightarrow{\operatorname{Homgr}(1,u)} \operatorname{Homgr}_A(L(M), N) \\ \phantom{(M\mathscr{E})} \phantom{0} \xrightarrow{\operatorname{Homgr}(1,v)} \operatorname{Homgr}_A(L(M), N'') \longrightarrow 0

est alors exacte ( $X$ , p. 83, prop. 2, $a$ ), soit

\partial_{(M\mathscr{E})} : H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N'')) \to H(\operatorname{Homgr}_A(L(M), N'))

l’homomorphisme de liaison correspondant ( $X$ , p. 29).

Définition 2

On appelle homomorphisme de liaison des modules d’extensions relatif au module $M$ et à la suite exacte $\mathscr{E}$ l’homomorphisme composé

\delta(M, \mathscr{E}) = \varphi_M(N') \circ \partial_{(M\mathscr{E})} \circ \varphi_M(N'')^{-1} : \operatorname{Ext}_A(M, N'') \to \operatorname{Ext}_A(M, N')

C’est un $k$ -homomorphisme gradué de degré ascendant 1, dont les composantes homogènes sont notées $\delta^n(M, \mathscr{E}) : \operatorname{Ext}_A^n(M, N'') \to \operatorname{Ext}_A^{n+1}(M, N')$ .

Théorème 1

La suite illimitée à droite d’homomorphismes de $k$ -modules

0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M, N') \xrightarrow{\operatorname{Hom}(1,u)} \operatorname{Hom}_A(M, N) \xrightarrow{\operatorname{Hom}(1,v)} \operatorname{Hom}_A(M, N'')

\phantom{0} \xrightarrow{\delta_{(M,\mathscr{E})}} \operatorname{Ext}_A^1(M, N') \to \cdots \xrightarrow{\delta^{n-1}(M,\mathscr{E})} \operatorname{Ext}_A^n(M, N') \xrightarrow{\operatorname{Ext}^n(1,u)} \operatorname{Ext}_A^n(M, N)

\phantom{0} \xrightarrow{\operatorname{Ext}^n(1,v)} \operatorname{Ext}_A^n(M, N'') \xrightarrow{\delta^n(M,\mathscr{E})} \operatorname{Ext}_A^{n+1}(M, N') \to \cdots

est exacte.

Considérons en effet le diagramme de la page X.91. Il est commutatif d’après la remarque 3 de $X$ , p. 88 et la déf. 2 ; d’autre part la ligne inférieure est exacte ( $X$ , p. 30, th. 1), et les flèches verticales sont bijectives ( $X$ , p. 88, prop. 5).

Corollaire

Si* $\operatorname{Ext}_A^1(M, N') = 0$ , *la suite

0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M, N') \xrightarrow{\operatorname{Hom}(1,u)} \operatorname{Hom}_A(M, N) \xrightarrow{\operatorname{Hom}(1,v)} \operatorname{Hom}_A(M, N'') \longrightarrow 0

est exacte.

Proposition 8

Soient* $f : M_1 \to M$ un homomorphisme de $A$ *-modules* et

\begin{array}{cccccccccc} (\mathscr{E}) & 0 & \longrightarrow & N' & \xrightarrow{u} & N & \xrightarrow{v} & N'' & \longrightarrow & 0 \\ & & & g' \downarrow & & g \downarrow & & g'' \downarrow & & \\ (\mathscr{E}_1) & 0 & \longrightarrow & N'_1 & \xrightarrow{u_1} & N_1 & \xrightarrow{v_1} & N''_1 & \longrightarrow & 0 \end{array}

\begin{array}{ccccc} \operatorname{Ext}(M,N') & \xrightarrow{\operatorname{Ext}(1,u)} & \operatorname{Ext}(M,N) & \xrightarrow{\operatorname{Ext}(1,v)} & \operatorname{Ext}(M,N'') \xrightarrow{\delta(M,\mathscr{G})} \operatorname{Ext}(M,N') \xrightarrow{\operatorname{Ext}(1,u)} \operatorname{Ext}(M,N)\\[6pt] \Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\scriptstyle\varphi_M(N')$}} && \Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\scriptstyle\varphi_M(N)$}} && \Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\scriptstyle\varphi_M(N'')$}} \qquad\qquad\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\scriptstyle\varphi_M(N')$}}\\[6pt] H(\operatorname{Homgr}(L(M),N')) & \xrightarrow{H(\operatorname{Homgr}(1,u))} & H(\operatorname{Homgr}(L(M),N)) & \xrightarrow{H(\operatorname{Homgr}(1,v))} & H(\operatorname{Homgr}(L(M),N'')) \xrightarrow{\partial(M\mathscr{G})} H(\operatorname{Homgr}(L(M),N')) \xrightarrow{H(\operatorname{Homgr}(1,u))} H(\operatorname{Homgr}(L(M),N)) \end{array}

un diagramme commutatif de $A$ -modules à lignes exactes. Le diagramme de $k$ -modules

\begin{array}{ccc} \mathrm{Ext}_A(M, N'') & \xrightarrow{\delta(M, \mathscr{E})} & \mathrm{Ext}_A(M, N') \\ \mathrm{Ext}(f, g'') \downarrow & & \mathrm{Ext}(f, g') \downarrow \\ \mathrm{Ext}_A(M_1, N''_1) & \xrightarrow{\delta(M, \mathscr{E}_1)} & \mathrm{Ext}_A(M_1, N'_1) \end{array}

est commutatif. Cela résulte de X, p. 31, prop. 2 appliqué au diagramme commutatif

\begin{array}{ccccccccc} & & \mathrm{Homgr}(1, u) & & & & \mathrm{Homgr}(1, v) & & \\ 0 \to \mathrm{Homgr}_A(L(M), N') & \to & \mathrm{Homgr}_A(L(M), N) & \to & \mathrm{Homgr}_A(L(M), N'') & \to & 0 \\ \mathrm{Homgr}(L(f), g') \downarrow & & \mathrm{Homgr}(L(f), g) \downarrow & & \mathrm{Homgr}(L(f), g'') \downarrow & & \\ 0 \to \mathrm{Homgr}_A(L(M_1), N'_1) & \to & \mathrm{Homgr}_A(L(M_1), N_1) & \to & \mathrm{Homgr}_A(L(M_1), N''_1) & \to & 0 \end{array}

Soient $N$ un $A$ -module, et

(\mathscr{F})

0 \to M' \xrightarrow{r} M \xrightarrow{s} M'' \to 0

une suite exacte de

A

-modules ; la suite de complexes

(\mathscr{F}_N)

0 \longrightarrow \mathrm{Homgr}_A(M'', I(N)) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(s, 1)} \mathrm{Homgr}_A(M, I(N))

\xrightarrow{\mathrm{Homgr}(r, 1)} \mathrm{Homgr}_A(M', I(N)) \longrightarrow 0

est exacte (X, p. 83, prop. 2,

a

) ; soit

\partial(\mathscr{F}_N) : \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(M', I(N))) \to \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(M'', I(N)))

l’homomorphisme de liaison correspondant.

Définition 3

On appelle homomorphisme de liaison des modules d’extensions relatif à la suite exacte $(\mathscr{F})$ et au module $N$ , l’homomorphisme composé

\delta(\mathscr{F}, N) : \overline{\varphi}_N(M'') \circ \partial(\mathscr{F}_N) \circ \overline{\varphi}_N(M')^{-1} : \mathrm{Ext}_A(M', N) \to \mathrm{Ext}_A(M'', N).

C’est un

k

-homomorphisme gradué de degré ascendant 1, dont les composantes homogènes sont notées

\delta^n(\mathscr{F}, N) : \mathrm{Ext}_A^n(M', N) \to \mathrm{Ext}_A^{n+1}(M'', N)

. On démontre alors comme ci-dessus les énoncés suivants :

Théorème 2

La suite illimitée à droite d’homomorphismes de $k$ -modules

0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_A(M'', N) \xrightarrow{\mathrm{Hom}(s, 1)} \mathrm{Hom}_A(M, N) \xrightarrow{\mathrm{Hom}(r, 1)} \mathrm{Hom}_A(M', N)

\xrightarrow{\delta^0(\mathscr{F}, N)} \mathrm{Ext}_A^1(M'', N) \to \cdots \xrightarrow{\delta^{n-1}(\mathscr{F}, N)} \mathrm{Ext}_A^n(M'', N) \xrightarrow{\mathrm{Ext}^n(s, 1)} \mathrm{Ext}_A^n(M, N)

\xrightarrow{\mathrm{Ext}^n(r, 1)} \mathrm{Ext}_A^n(M', N) \xrightarrow{\delta^n(\mathscr{F}, N)} \mathrm{Ext}_A^{n+1}(M'', N) \to \cdots

est exacte.

Corollaire

Si $\operatorname{Ext}_A^1(M'', N) = 0$ , la suite

0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_A(M'', N) \xrightarrow{\operatorname{Hom}(s, 1)} \operatorname{Hom}_A(M, N) \xrightarrow{\operatorname{Hom}(r, 1)} \operatorname{Hom}_A(M', N) \longrightarrow 0

est exacte.

Proposition 9

Soient $g : N \to N_1$ un homomorphisme de $A$ -modules et

\begin{array}{cccccc} (\mathscr{F}_1) & 0 \to M'_1 \xrightarrow{r_1} M_1 \xrightarrow{s_1} M''_1 \to 0 \\ & f' \downarrow & f \downarrow & f'' \downarrow \\ (\mathscr{F}) & 0 \to M' \xrightarrow{r} M \xrightarrow{s} M'' \to 0 \end{array}

un diagramme commutatif de $A$ -modules à lignes exactes. Le diagramme de $k$ -modules

\begin{array}{ccc} \operatorname{Ext}_A(M', N) & \xrightarrow{\delta(\mathscr{F}, N)} & \operatorname{Ext}_A(M'', N) \\ \operatorname{Ext}_A(f', g) \downarrow & & \operatorname{Ext}_A(f'', g) \downarrow \\ \operatorname{Ext}_A(M'_1, N_1) & \xrightarrow{\delta(\mathscr{F}_1, N_1)} & \operatorname{Ext}_A(M''_1, N_1) \end{array}

est commutatif.

5. Modules projectifs, modules injectifs et modules d’extensions

Proposition 10

Soit $M$ un $A$ -module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $M$ est projectif. (ii) $\operatorname{Ext}_A^i(M, N) = 0$ pour tout $A$ -module $N$ et pour tout entier $i > 0$ . (iii) $\operatorname{Ext}_A^1(M, N) = 0$ pour tout $A$ -module $N$ . (iv) Il existe une suite exacte

0 \to K \xrightarrow{\nu} P \xrightarrow{\iota} M \to 0,

où $P$ est projectif, et où $\operatorname{Ext}_A^1(M, K) = 0$ .

(i) $\Rightarrow$ (ii) : c’est le corollaire de la prop. 5 de X, p. 88. (ii) $\Rightarrow$ (iii) : c’est trivial. (iii) $\Rightarrow$ (iv) : c’est clair puisque $M$ est quotient d’un module libre $P$ . (iv) $\Rightarrow$ (i) : puisque $\operatorname{Ext}_A^1(M, K) = 0$ , l’application canonique

\operatorname{Hom}_A(M, P) \to \operatorname{Hom}_A(M, M)

est surjective (X, p. 90, corollaire); il existe donc une section $A$ -linéaire de $\nu$ et $M$ est isomorphe à un facteur direct de $P$ , donc est projectif.

Proposition 11

Soit $N$ un $A$ -module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $N$ est injectif. (ii) $\operatorname{Ext}_A^i(M, N) = 0$ pour tout $A$ -module $M$ et tout entier $i > 0$ .

(iii) $\mathrm{Ext}_A^1(M, N) = 0$ pour tout $A$ -module $M$ .

(iv) Il existe une suite exacte

0 \to N \xrightarrow{u} I \xrightarrow{v} C \to 0,

où $I$ est injectif et où $\mathrm{Ext}_A^1(C, N) = 0$ ;

(v) $\mathrm{Ext}_A^1(M, N) = 0$ pour tout $A$ -module monogène $M$ .

(i) $\Rightarrow$ (ii) : c'est le corollaire de la prop. 5 de X, p. 88.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (v) : c'est trivial.

(iii) $\Rightarrow$ (iv) : c'est clair puisque $N$ est un sous-module d'un module injectif (X, p. 19, cor. 3).

(iv) $\Rightarrow$ (i) : puisque $\mathrm{Ext}_A^1(C, N) = 0$ , l'homomorphisme canonique

\mathrm{Hom}_A(I, N) \to \mathrm{Hom}_A(N, N)

est surjectif (X, p. 93, corollaire) ; il existe donc une rétraction $A$ -linéaire de $u$ et $N$ est isomorphe à un facteur direct de $I$ , donc est injectif (X, p. 16, prop. 9).

(v) $\Rightarrow$ (i) : si $\alpha$ est un idéal de $A$ , on a $\mathrm{Ext}_A^1(A/\alpha, N) = 0$ ; l'application canonique $\mathrm{Hom}_A(A, N) \to \mathrm{Hom}_A(\alpha, N)$ est donc surjective et $N$ est injectif (X, p. 16, prop. 10).

6. Formule des coefficients universels

Dans ce numéro, on considère deux complexes de $A$ -modules $(C, d)$ et $(C', d')$ . Considérons les suites exactes canoniques :

(I)

0 \to Z(C) \xrightarrow{j} C \xrightarrow{\delta} B(C)(-1) \to 0,

(II_p)

0 \to B_p(C) \xrightarrow{i} Z_p(C) \xrightarrow{\rho} H_p(C) \to 0;

on déduit de $\delta$ un $k$ -homomorphisme

H(\mathrm{Homgr}(\delta, 1)) : H(Homgr_A(B(C), C'))(1) \to H(Homgr_A(C, C'));

on déduit de (II_p) des homomorphismes de liaisons :

\delta(11_p, H^q(C')) : \mathrm{Hom}_A(B_p(C), H^q(C')) \to \mathrm{Ext}_A^1(H_p(C), H^q(C')) .

d'où, par passage au produit, des homomorphismes de $k$ -modules

\varphi^n : \mathrm{Homgr}_A^n(B(C), H(C')) \to \prod_{p+q=n} \mathrm{Ext}_A^1(H_p(C), H^q(C'))

On dispose par ailleurs d'homomorphismes canoniques (X, p. 82)

\lambda^n(B(C), C') : H^n(Homgr_A(B(C), C')) \to \mathrm{Homgr}_A^n(B(C), H(C')) .

Avec ces notations :

Théorème 3

Supposons les A-modules B(C) et Z(C) projectifs. Il existe, pour chaque n, un unique homomorphisme de k-modules

\beta^n : \prod_{p+q=n-1} \mathrm{Ext}_A^1(H_p(C), H^q(C')) \to H^n(\mathrm{Homgr}_A(C, C'))

rendant commutatif le diagramme

\begin{array}{ccc} \mathrm{Homgr}_A^{n-1}(B(C), H(C')) & \xleftarrow{\lambda^{n-1}(B(C), C')} & H^{n-1}(\mathrm{Homgr}_A(B(C), C')) \\ \downarrow \varphi^{n-1} & & \downarrow H^n(\mathrm{Homgr}(\delta, 1)) \\ \prod_{p+q=n-1} \mathrm{Ext}_A^1(H_p(C), H^q(C')) & \xrightarrow{\beta^n} & H^n(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) . \end{array}

Les suites de k-modules gradués

(11) $0 \to \prod_{p+q=n-1} \mathrm{Ext}_A^1(H_p(C), H^q(C')) \xrightarrow{\beta^n} H^n(\mathrm{Homgr}_A(C, C'))$

\xrightarrow{\lambda^n(C, C')} \prod_{p+q=n} \mathrm{Hom}_A(H_p(C), H^q(C')) \to 0

sont exactes.

Remarque

On peut démontrer un énoncé analogue, en supposant B_n(C') et C'/B_n(C') injectifs pour chaque n.

Posons pour simplifier B = B(C), Z = Z(C), H = H(C) et H' = H(C'). Comme B est projectif, on déduit de (1) une suite exacte

(12) $0 \to \mathrm{Homgr}_A(B, C')(1) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(\delta, 1)} \mathrm{Homgr}_A(C, C')$

\xrightarrow{\mathrm{Homgr}(i, 1)} \mathrm{Homgr}_A(Z, C') \to 0 .

Lemme 2

L’homomorphisme de liaison

H^n(\mathrm{Homgr}_A(Z, C')) \to H^n(\mathrm{Homgr}_A(B, C'))

associé à (12) est égal à $(-1)^{n+1} H(\mathrm{Homgr}(i, 1))$ .

En effet, soit $a \in Z^n(\mathrm{Homgr}_A(Z, C'))$ ; c’est un morphisme de complexes de degré ascendant n de Z dans C', dont les valeurs sont donc dans Z(C'). Puisque la suite exacte (1) est scindée (B étant projectif), a se prolonge en un élément b de $\mathrm{Homgr}_A^n(C, Z(C'))$ . Par définition, l’image de la classe de a par l’homomorphisme de liaison cherché est la classe dans $H^n(\mathrm{Homgr}_A(B, C'))$ de l’homomorphisme u de B(C) dans C' tel que pour $x \in C$ , on ait

u(dx) = Db(x) = d'b(x) - (-1)^n b(dx) = (-1)^{n+1} b(dx) = (-1)^{n+1} a(dx),

d’où l’assertion.

La suite exacte d’homologie associée à (12) donne donc la suite exacte → H^n(\mathrm{Homgr}_A(Z, C')) \xrightarrow{\mathrm{H}(\mathrm{Homgr}(i,1))} H^n(\mathrm{Homgr}_A(B, C')) \xrightarrow{\mathrm{H}(\mathrm{Homgr}(\delta,1))} H^{n+1}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \xrightarrow{\mathrm{H}(\mathrm{Homgr}(j,1))} H^{n+1}(\mathrm{Homgr}_A(Z, C')) \to \ldots .

Par ailleurs, puisque Z est projectif, on tire de (11_p) des suites exactes 0 \to \mathrm{Hom}_A(H_p, H'^q) \to \mathrm{Hom}_A(Z_p, H'^q) \to \mathrm{Hom}_A(B_p, H'^q) \to \mathrm{Ext}_A^1(H_p, H'^q) \to 0 , d’où, par passage aux produits, des suites exactes 0 \to \mathrm{Homgr}_A^n(H, H') \to \mathrm{Homgr}_A^n(Z, H') \to \mathrm{Homgr}_A^n(B, H') \to \prod_{p+q=n} \mathrm{Ext}_A^1(H_p, H'^q) \to 0 . Enfin, on dispose des homomorphismes canoniques du n° 1 :

\begin{align*} \lambda_B &= \lambda(B, C') : \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(B, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(B, H') , \\ \lambda_Z &= \lambda(Z, C') : \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(Z, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(Z, H') , \\ \lambda_C &= \lambda(C, C') : \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(H, H') , \end{align*}

d’où le diagramme à lignes exactes de la page X.97.

Ce diagramme est commutatif par construction des homomorphismes $\lambda$ . Par ailleurs, comme les complexes B et Z sont scindés et projectifs, $\lambda_B$ et $\lambda_Z$ sont bijectifs ( $\lambda$ , p. 84, cor. 1). On en déduit, d’une part que $\lambda_C^n$ est surjectif, de noyau égal à $\mathrm{Im}\ H^n(\mathrm{Homgr}(\delta, 1))$ , d’autre part que $\varphi^{n-1} \circ \lambda_B^{n-1}$ est surjectif, de noyau égal à $\mathrm{Ker}\ H^n(\mathrm{Homgr}(\delta, 1))$ . Le théorème résulte immédiatement de là.

Corollaire 1

Supposons B(C) et Z(C) projectifs et B^n(C') injectif pour chaque n. Alors les suites exactes (11) sont scindées. Cela résulte du théorème et du lemme suivant :

Lemme 3

Si B(C) est projectif et B_n(C') injectif pour chaque n, l’homomorphisme canonique $\lambda(C, C') : \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C'))$ possède une section k linéaire.

En effet, d’après X, p. 35, remarques a) et b), il existe des homologismes

\varphi : C \to \mathrm{H}(C) \quad \text{et} \quad \varphi' : \mathrm{H}(C') \to C'

tels que

\mathrm{H}(\varphi) = 1_{\mathrm{H}(C)}

\mathrm{H}(\varphi') = 1_{\mathrm{H}(C')}

. Dans le diagramme commutatif

\begin{array}{ccc} \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C'))) & \xrightarrow{\mathrm{H}(\mathrm{Homgr}(\varphi, \varphi'))} & \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \\ \lambda(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C')) \downarrow & & \downarrow \lambda(C, C') \\ \mathrm{Homgr}_A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C')) & \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(\mathrm{H}(\varphi), \mathrm{H}(\varphi'))} & \mathrm{Homgr}_A(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C')) , \end{array}

\lambda(\mathrm{H}(C), \mathrm{H}(C'))

est bijectif et

\mathrm{Homgr}(\mathrm{H}(\varphi), \mathrm{H}(\varphi'))

est l’identité, d’où l’assertion.

\begin{array}{ccccccccc} \operatorname{Homgr}_{A}^{n-1}(Z,H')& \xrightarrow{\operatorname{Homgr}^{n-1}(i,1)}& \operatorname{Homgr}_{A}^{n-1}(B,H')& \xrightarrow{\varphi^{n-1}}& \displaystyle\prod_{p+q=n-1}\operatorname{Ext}^{1}(H_p,H^q)& \longrightarrow&0 \\[2ex] \uparrow\scriptstyle{\lambda_Z^{n-1}}&& \uparrow\scriptstyle{\lambda_B^{n-1}}&&&& \\[-1ex] H^{n-1}(\operatorname{Homgr}_{A}(Z,C'))& \xrightarrow{H^{n-1}(\operatorname{Homgr}(i,1))}& H^{n-1}(\operatorname{Homgr}_{A}(B,C'))& \xrightarrow{H^n(\operatorname{Homgr}(\delta,1))}& H^n(\operatorname{Homgr}_{A}(C,C'))& \xrightarrow{H^n(\operatorname{Homgr}(j,1))}& H^n(\operatorname{Homgr}_{A}(Z,C'))& \xrightarrow{H^n(\operatorname{Homgr}(i,1))}& H^n(\operatorname{Homgr}_{A}(B,C')) \\[2ex] &&&& \uparrow\scriptstyle{\lambda_C^n}&& \uparrow\scriptstyle{\lambda_Z^n}&& \uparrow\scriptstyle{\lambda_B^n} \\[-1ex] &&& 0\longrightarrow& \operatorname{Homgr}_{A}^{n}(H,H')& \xrightarrow{\operatorname{Homgr}^{n}(j,1)}& \operatorname{Homgr}_{A}^{n}(Z,H')& \xrightarrow{\operatorname{Homgr}^{n}(i,1)}& \operatorname{Homgr}_{A}^{n}(B,H') \end{array}

Corollaire 2

Si $B(C)$ et $Z(C)$ sont projectifs, on a, pour tout $A$ -module $N$ et tout entier $n$ , une suite exacte scindée :

(13) $0 \longrightarrow \mathrm{Ext}_A^1(H_{n-1}(C), N) \xrightarrow{\beta^n} H^n(\mathrm{Homgr}_A(C, N)) \xrightarrow{\lambda^n} \mathrm{Hom}_A(H_n(C), N) \longrightarrow 0$ .

Corollaire 3 (« formule des coefficients universels »)

Supposons $A$ principal et $C$ libre. On a pour tout $A$ -module $N$ et tout entier $n$ une suite exacte scindée (13). En effet $B(C)$ et $Z(C)$ sont libres comme sous-modules du module libre $C$ (VII. § 3, cor. 2 au th. 1).

Corollaire 4

Si $C$ est borné à droite et si $C$ et $H(C)$ sont projectifs, alors

\lambda(C, C') : H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(H(C), H(C'))

est bijectif. D’après le théorème, il suffit de prouver que $B(C)$ et $Z(C)$ sont projectifs. Or on a des suites exactes

\begin{align*} 0 &\to B_n(C) \to Z_n(C) \to H_n(C) \to 0 \\ 0 &\to Z_n(C) \to C_n \to B_{n-1}(C) \to 0, \end{align*}

donc $(B_{n-1}(C) \text{ est projectif}) \Rightarrow (Z_n(C) \text{ est projectif}) \Rightarrow (B_n(C) \text{ est projectif}).$ On conclut en remarquant que $B_n(C) = 0$ pour $n$ assez petit.

7. Généralisation aux complexes de multimodules ; les isomorphismes canoniques

Soient $B, B'$ deux anneaux, $C$ un complexe de $(A, B)$ -bimodules, $C'$ un complexe de $(A, B')$ -bimodules ; alors $(\mathrm{Homgr}_A(C, C'), D)$ est un complexe de $(B, B')$ -bimodules et l’homomorphisme canonique $\lambda : H(\mathrm{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{Homgr}_A(H(C), H(C'))$ est un homomorphisme de $(B, B')$ -bimodules. Si $M$ est un $(A, B)$ -bimodule et $N$ un $(A, B')$ -bimodule, alors $\mathrm{Homgr}_A(L(M), I(N))$ est un complexe de $(B, B')$ -bimodules, de sorte que $\mathrm{Ext}_A(M, N)$ est muni d’une structure naturelle de $(B, B')$ -bimodule gradué ; sur le terme de degré 0, cette structure coïncide avec celle de $\mathrm{Hom}_A(M, N)$ (II, p. 35). Si $\lambda \in B, \lambda' \in B'$ et si on note $\lambda_M, \lambda'_N, \lambda_E, \lambda'_E$ les homothéties $x \mapsto x\lambda, y \mapsto y\lambda', z \mapsto \lambda z, z \mapsto z\lambda'$ de $M, N, \mathrm{Ext}_A(M, N), \mathrm{Ext}_A(M, N)$ respectivement, on a alors

\lambda_E = \mathrm{Ext}_A(\lambda_M, 1), \quad \lambda'_E = \mathrm{Ext}(1, \lambda'_N),

ce qui fournit une autre description de la structure de bimodule de $\mathrm{Ext}_A(M, N)$ . Nous laissons au lecteur le soin de généraliser les n°s 4 et 6 au cas des complexes de multimodules. Soient $C, C', C''$ des complexes de $A$ -modules. La composition des applications définit un homomorphisme gradué de degré zéro :

(14)

\mathrm{Homgr}_A(C', C'') \otimes_k \mathrm{Homgr}_A(C, C') \to \mathrm{Homgr}_A(C, C'').

Soient B, B', E des anneaux, C, C', C'' des complexes de (B', A)-bimodules, (A, E)-bimodules, (B, E)-bimodules respectivement. Par restriction de l'isomorphisme canonique de II, p. 73, on obtient un homomorphisme bijectif de (B, B')-bimodules :

(15) $\operatorname{Homgr}_E(C \otimes_A C', C'') \to \operatorname{Homgr}_A(C, \operatorname{Homgr}_E(C', C''))$ .

Soient enfin B un anneau, C un complexe de B-modules à droite, C' un complexe de A-modules à droite, C'' un complexe de (B, A)-bimodules. On déduit des homomorphismes canoniques (II. p. 75)

C_p \otimes_B \operatorname{Hom}_A(C'_q, C''_r) \to \operatorname{Hom}_A(C'_q, C_p \otimes_B C''_r)

un homomorphisme gradué de degré zéro :

(16) $C \otimes_B \operatorname{Homgr}_A(C', C'') \to \operatorname{Homgr}_A(C', C \otimes_B C'')$ .

Cet homomorphisme est bijectif lorsque C est un module projectif de type fini (II, p. 75, prop. 2).

Proposition 12

Les homomorphismes (14), (15), (16) sont des morphismes de complexes.

Démontrons-le par exemple pour l'homomorphisme (14). Notons

\kappa : \operatorname{Homgr}_A(C', C'') \otimes_k \operatorname{Homgr}_A(C, C') \to \operatorname{Homgr}_A(C, C'')

cet homomorphisme. Soient $f \in \operatorname{Homgr}_A(C', C'')_p$ et $g \in \operatorname{Homgr}_A(C, C')_q$ ; on a alors par définition $\kappa(f \otimes g) = f \circ g$ . De plus :

\mathrm{D}(f \otimes g) = \mathrm{D}f \otimes g + (-1)^p f \otimes \mathrm{D}g = (d'' \circ f) \otimes g - (-1)^p (f \circ d') \otimes g + + (-1)^p f \otimes (d' \circ g) - (-1)^{p+q} f \otimes (g \circ d),

d'où

\kappa(\mathrm{D}(f \otimes g)) = d'' \circ f \circ g - (-1)^p f \circ d' \circ g + + (-1)^p f \circ d' \circ g - (-1)^{p+q} f \circ g \circ d \\ = d'' \circ f \circ g - (-1)^{p+q} f \circ g \circ d = \mathrm{D}(f \circ g) = \mathrm{D}(\kappa(f \otimes g)).

On démontre de même que les homomorphismes (15) et (16) sont des morphismes de complexes.

On déduit du morphisme (14) des homomorphismes de $k$ -modules (X, p. 62)

(17) $\mathrm{H}^p(\operatorname{Homgr}_A(C', C'')) \otimes_k \mathrm{H}^q(\operatorname{Homgr}_A(C, C')) \to \mathrm{H}^{p+q}(\operatorname{Homgr}_A(C, C''))$ .

Faisant $C = A$ , on voit que l'homomorphisme :

(18) $\operatorname{Homgr}_A(C', C'') \otimes_k C' \to C''$ qui applique $f \otimes x$ sur $f(x)$ est un morphisme de complexes de $A$ -modules à gauche ; il lui est associé un homomorphisme canonique ( $X$ , p. 80) de $A$ -modules gradués $\gamma : H(\mathrm{Homgr}_A(C', C'')) \otimes_k H(C') \to H(C'')$ , qui correspond à l’homomorphisme canonique de $k$ -modules

\lambda : H(\mathrm{Homgr}_A(C', C'')) \to \mathrm{Homgr}_A(H(C'), H(C''))

Exercices

See the exercises for § 5.