a) L'homomorphisme de liaison
∂n+1(π,δ):Hn(C′)→Hn(C) relatif à la suite exacte (7) est égal à −Hn(u).
b) L'homomorphisme de liaison
∂n(u~,π~):Hn(Con(u))→Hn−1(C′) relatif à la suite exacte (6) est égal à Hn(δ).
Soit x′∈Zn(C′); comme x′=δ(x′,0) et que
−D(x′,0)=(d′x′,u(x′))=(0,u(x′))=π(u(x′)), ∂(π,δ) applique par définition la classe de
x′ dans
Hn(C′) sur la classe de
−u(x′) dans
Hn(C), d'où
a).
Soit (y′,x)∈Conn(u) tel que D(y′,x)=0; on a alors (−d′y′,dx−u(y′))=0. Comme (y′,x)=π~(0,y′,x) et que
D(0,y′,x)=(y′,−d′y′,dx−u(y′))=(y′,0,0)=u~(δ(y′,x)), ∂(u~,π~) applique par définition la classe de
(y′,x) dans
Hn(Con(u)) sur la classe de
δ(y′,x) dans
Hn−1(C′), d'où
b).
Bourbaki puts the proof directly after the statement, so what is above is the statement and its proof together.
Nothing.
Nothing.