Proposition 9

Tag 0DSF, permanent. Cite it as [Bourbaki, Tag 0DSF].

Les applications $\beta$ et $\varphi$ sont des homologismes de complexes. Pour $\beta$ , cela résulte de la prop. 7, c). On a

\begin{align*} \varphi \circ D(y', x) &= \varphi(-d'y', dx - u(y')) = v(dx - u(y')) \\ &= v(dx) = d'' v(x) = d''(\varphi(y', x)) , \end{align*}

donc

\varphi

est bien un morphisme de complexes. D'autre part,

\varphi

est surjectif et son noyau s'identifie au complexe

(\mathbf{K}, d_\mathbf{K})

tel que

\mathbf{K} = C'(-1) \oplus C'

d_\mathbf{K}(y', x') = (-d'y', d'x' - y') ;

d_\mathbf{K}(y', x') = 0

, on a

y' = d' x'

, donc

(y', x') = d_\mathbf{K}(0, -x')

; il s'ensuit que

\mathrm{H}(\mathbf{K}) = 0

\varphi

est un homologisme d'après X, p. 30, cor. 1.

Bourbaki puts the proof directly after the statement, so what is above is the statement and its proof together.

Cited by

Nothing.

Nothing.