Corollaire

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Algebra, chapter X, § 2. Complexes de A-modules

Le diagramme de A-modules gradués

\begin{array}{ccccc} && H(\operatorname{Con}(u)) &&\\ &\nearrow^{H(\pi)}&&\searrow^{H(\delta)}&\\ H(C)& &\downarrow^{H(\varphi)}&&H(C')(-.1)\\ &\searrow_{H(\iota)}&&\nearrow_{\partial(u,v)}&\\ &&H(C'')&& \end{array}

est commutatif et $H(\varphi)$ est bijectif.

Dans le diagramme commutatif (10), on a $H(1_{C'})\circ\widetilde{\partial}(\tilde u,\tilde\pi)=\partial(u,v)\circ H(\varphi)$ (X, p. 31, prop. 2) et $\widetilde{\partial}(\tilde u,\tilde\pi)=H(\delta)$ (X, p. 38, lemme 3, b)), donc

\partial(u,v)\circ H(\varphi)=H(\delta)\ ;

d'autre part, $H(v)\circ H(\beta)=H(\varphi)\circ H(\tilde\pi)=H(\varphi)\circ H(\pi)\circ H(\beta)$ d'après X, p. 39, remarque. Comme $H(\beta)$ est bijectif, cela donne $H(v)=H(\varphi)\circ H(\pi)$ .

On a donc $\partial(u,v)=H(\delta)\circ H(\varphi)^{-1}$ , ce qui fournit une nouvelle définition de l'homomorphisme de liaison $\partial(u,v)$ . On notera d'autre part que si on identifie $H(\operatorname{Con}(u))$ à $H(C'')$ par $H(\varphi)$ , le corollaire précédent signifie que la suite exacte (8) s'identifie alors à la suite exacte d'homologie relative à (9).

Bourbaki puts the proof directly after the statement, so what is above is the statement and its proof together.

Cited by

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Cites

Nothing.