Proposition 3

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. La relation $A\times B=\varnothing$ est équivalente à « $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing$ ».

En effet, la relation $z\in A\times B$ entraîne $\mathrm{pr}_1z\in A$ et $\mathrm{pr}_2z\in B$, donc $A\neq\varnothing$ et $B\neq\varnothing$ ; inversement, la relation « $x\in A$ et $y\in B$ » entraîne $(x,y)\in A\times B$,

THÉORIE DES ENSEMBLES

§ 3

donc $A \times B \neq \varnothing$. Autrement dit, la relation $A \times B \neq \varnothing$ est équivalente à «$A \neq \varnothing$ et $B \neq \varnothing$»; d'où la proposition.

Si $A$, $B$, $C$ sont des ensembles, on pose

un élément $((x,y),z)$ de $A \times B \times C$ s’écrit aussi $(x,y,z)$ et s’appelle un triplet. De même, si $A$, $B$, $C$, $D$ sont des ensembles, on pose $(A \times B \times C) \times D =$ $A \times B \times C \times D$. Etc.