Exemple 4

Soit X un espace topologique ; sur l’ensemble E = $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ des fonctions numériques finies continues dans X, la topologie de la convergence compacte (TG, X, p. 4) est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E sur $\mathbf{R}$. En effet, soient $u_0$ un point de E, H une partie compacte de X, $\varepsilon$ un nombre > 0 arbitraire. La fonction numérique $u_0$ est bornée dans H ; soit $a = \sup_{t \in H} |u_0(t)|$; si $u$ est un point quelconque de E, on peut écrire, pour tout $t \in H$,

Par suite, si $|\lambda - \lambda_0| \leq \varepsilon$ et si $|u(t) - u_0(t)| \leq \varepsilon$ pour tout $t \in H$, on aura, pour $t \in H$,

ce qui montre que l’axiome (EVT) est vérifié ; on vérifie de même que la topologie de la convergence compacte est compatible avec la structure de groupe additif de E.

Par contre, si X n’est pas compact, la topologie de la convergence uniforme (dans X) n’est pas nécessairement compatible avec la structure d’espace vectoriel de E ; par exemple si $X = \mathbf{R}$, et si $u_0$ est une fonction continue non bornée dans $\mathbf{R}$, l’application $\lambda \mapsto \lambda u_0$ de $\mathbf{R}$ dans E n’est pas continue quand on munit E de la topologie de la convergence uniforme.