Exemple 5

Soit E un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur un corps topologique K ; il existe donc un isomorphisme $u : K_s^n \to E$ de K-espaces vectoriels, et en outre, si $v$ est un second isomorphisme de $K_s^n$ sur E, on peut écrire $v = u \circ f$, où $f$ est un automorphisme du K-espace vectoriel $K_s^n$. Considérons alors sur $K_s^n$ la topologie produit, qui est compatible avec sa structure d’espace vectoriel (Exemple 3) ; comme toute application linéaire de $K_s^n$ dans lui-même est continue pour cette topologie, tout automorphisme de l’espace vectoriel $K_s^n$ est bicontinu. Par suite, si l’on transporte à E la topologie produit de $K_s^n$ au moyen d’un isomorphisme quelconque de $K_s^n$ sur E, la topologie obtenue sur E est indépendante de l’isomorphisme considéré ; on dit que c’est la topologie canonique sur E ; nous la caractériserons autrement (I, p. 14) lorsque K est un corps valué complet non discret. Toute application linéaire de E dans un espace vectoriel topologique sur K est continue pour la topologie canonique sur E.

De la même manière que dans la déf. 1, on définit un espace vectoriel topologique à droite sur un corps topologique K ; mais tout espace vectoriel à droite sur K peut être considéré comme espace vectoriel à gauche sur le corps opposé $K^0$ de K (A, II, p. 2), et la topologie de K est compatible avec la structure de corps de $K^0$. Pour cette raison, nous ne considérerons en principe que des espaces vectoriels topologiques à gauche ; quand nous parlerons d’« espace vectoriel topologique » sans préciser, il sera sous-entendu qu’il s’agit d’un espace vectoriel à gauche.

Si K’ est un sous-corps de K, et E un espace vectoriel topologique sur K, il est clair que la topologie de E est encore compatible avec la structure d’espace vectoriel de E par rapport à K’, obtenue par restriction à K’ du corps des scalaires ; on dit que l’espace vectoriel topologique sur K’ ainsi obtenu est sous-jacent à l’espace vectoriel topologique E sur K.

Pour qu’un espace vectoriel topologique E soit séparé, il faut et il suffit que, pour tout point $x \neq 0$ de E, il existe un voisinage de 0 ne contenant pas $x$ (TG, III, p. 5).

Considérons, sur un espace vectoriel E par rapport à un corps topologique K, une topologie compatible avec la structure de groupe additif de E. En vertu de l’identité

l’axiome (EVT) est équivalent au système des trois axiomes suivants :

(EVT$_1'$) Quel que soit $x_0 \in E$, l’application $\lambda \mapsto \lambda x_0$ est continue au point $\lambda = 0$. (EVT$_2'$) Quel que soit $\lambda_0 \in K$, l’application $x \mapsto \lambda_0 x$ est continue au point $x = 0$. (EVT$_3'$) L’application $(\lambda, x) \mapsto \lambda x$ est continue au point $(0, 0)$.

En particulier :