Remarque 3

La relation « il existe $\lambda > 0$ tel que $p \leq \lambda q$ » entre deux semi-normes $p, q$ sur $E$ est une relation de préordre. Si $\Gamma_0$ est un ensemble de semi-normes filtrant croissant pour cette relation de préordre, on obtient un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie définie par $\Gamma_0$ en prenant l’ensemble des $V(p, \alpha)$, où $p \in \Gamma_0$ et $\alpha > 0$. Si $\Gamma$ est un ensemble quelconque de semi-normes sur $E$, on obtient un ensemble filtrant de semi-normes définissant la même topologie que $\Gamma$ en prenant l’ensemble $\Gamma_0$ des enveloppes supérieures de toutes les familles finies de semi-normes appartenant à $\Gamma$.