§ 1. Semi-normes

Dans tout ce paragraphe, $\mathbf{K}$ désigne un corps valué non discret.

1. Définition des semi-normes

On a l’inégalité :

qui se déduit aussitôt des relations $p(x) \leq p(y) + p(x - y)$ et $p(y) \leq p(x) + p(y - x)$, puisque $p(y - x) = p(x - y)$.

2. Topologies définies par des semi-normes

Soient E un espace vectoriel sur K, $p$ une semi-norme sur E ; pour tout $\alpha > 0$, soit V$(p, \alpha)$ l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) \leq \alpha$. Il est clair que si $x \in V(p, \alpha)$ et si $\lambda \in K$ est tel que $|\lambda| \leq 1$, on a $\lambda x \in V(p, \alpha)$, autrement dit V$(p, \alpha)$ est équilibré. En outre, pour tout $x_0 \in E$, il existe un scalaire $\mu \in K$ non nul tel que $|\mu| \geq p(x_0) \alpha^{-1}$, donc $\mu^{-1} x_0 \in V(p, \alpha)$; autrement dit V$(p, \alpha)$ est absorbant. Enfin, il résulte de (SN$_{ll}$) que l’on a $V(p, \alpha/2) + V(p, \alpha/2) \subset V(p, \alpha)$, et de (SN$_l$) que pour tout scalaire $\lambda \neq 0$ dans K, on a $\lambda V(p, \alpha) = V(p, |\lambda| \alpha)$. On conclut de ces remarques, en vertu de I, p. 47, prop. 4, que lorsque $\alpha$ parcourt l’ensemble des nombres $> 0$ (ou seulement une suite de nombres $> 0$, tendant vers 0), les ensembles V$(p, \alpha)$ constituent un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de E ; on dit que cette topologie est définie par la semi-norme $p$. Un espace vectoriel E muni d’une telle topologie est appelé espace semi- normé. On notera que si $W(p, \alpha)$ est l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) < \alpha$, les $W(p, \alpha)$ constituent (pour $\alpha > 0$, ou $\alpha$ parcourant seulement une suite de nombres $> 0$ tendant vers 0) un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie définie par $p$.

Si maintenant $\Gamma$ est un ensemble de semi-normes sur $E$, la borne supérieure des topologies définies par les semi-normes $p \in \Gamma$ est encore compatible avec la structure d’espace vectoriel (I, p. 11, cor. 4). On a un système fondamental de voisinages de 0 pour cette topologie en considérant les intersections finies $\bigcap_i V(p_i, \alpha_i)$ avec $p_i \in \Gamma$ et $\alpha_i > 0$. On dit que cette topologie est définie par l’ensemble $\Gamma$ de semi-normes. C’est la topologie la moins fine sur $E$ parmi celles qui sont invariantes par toute translation et qui rendent continues les semi-normes $p \in \Gamma$.

Soit $E$ un espace vectoriel topologique sur $K$; on dit qu’un ensemble $\Gamma$ de semi-normes sur $E$ est un système fondamental de semi-normes si la topologie de $E$ est égale à la topologie définie par $\Gamma$.

Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$, muni de la topologie définie par un ensemble de semi-normes $\Gamma$. Pour toute semi-norme $p$, on a $p(x - z) \leq p(x - y) + p(y - z)$, ce qui montre que la fonction $(x, y) \mapsto p(x - y)$ est un écart sur $E$ (TG, IX, p. 1); il résulte des définitions que l’ensemble de ces écarts, lorsque $p$ parcourt $\Gamma$, définit la structure uniforme de l’espace vectoriel topologique $E$.

3. Semi-normes dans les espaces quotients et les espaces produits

Soit $E$ un espace vectoriel topologique sur $K$, dont la topologie est définié par un ensemble $\Gamma$ de semi-normes. Il est clair que les restrictions des semi-normes de $\Gamma$ à un sous-espace vectoriel $M$ de $E$ définissent la topologie induite sur $M$ par celle de $E$.

Soit $\varphi$ l’application canonique de $E$ sur l’espace vectoriel quotient $E/M$. Montrons que, pour toute semi-norme $p$ sur $E$, la fonction

est une semi-norme sur $E/M$. En effet, il est clair que $\dot{p}$ vérifie la condition (SN$_I$) ; d’autre part, si $z', z''$ sont deux vecteurs de $E/M$, on a :

ce qui montre que $\dot{p}$ vérifie (SN$_{II}$). On dit que $\dot{p}$ est la semi-norme quotient de $p$ par $M$.

On notera que le même raisonnement prouve que si $p$ est une ultra-semi-norme, il en est de même de $\dot{p}$.

Cela étant, on a, pour tout $\alpha > 0$ (avec les notations du no 2) :

En effet, dire que $\dot{p}(z) < \alpha$ signifie qu’il existe $x \in E$ tel que $\varphi(x) = z$ et $p(x) < \alpha$, d’où la relation (4).

On conclut de là que si l’ensemble $\Gamma$ de semi-normes est filtrant (II, p. 3, Remarque 3), alors la topologie quotient sur $E/M$ est définie par l’ensemble des semi-normes $\dot{p}$, lorsque $p$ parcourt $\Gamma$.

Si $N$ est l’adhérence de 0 dans $E$, la topologie de $E/N$ est définie par les semi-normes quotients $\dot{p}$ où $p$ parcourt $\Gamma$ (même si $\Gamma$ n’est pas filtrant); on a ici $\dot{p}(\dot{x}) = p(x)$ pour tout $x$ appartenant à une classe $\dot{x}$ mod. $N$. On notera que $E/N$ n’est autre que l’espace séparé associé à $E$ (I, p. 4).

Soient $E$ un espace vectoriel sur $K$, $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces vectoriels sur $K$, $E_i$ étant muni d’une topologie $\mathscr{T}_i$ définie par un ensemble de semi-normes $\Gamma_i$. Pour chaque $i \in I$, soit $f_i$ une application linéaire de $E$ dans $E_i$; il est clair que lorsque $p_i$ parcourt l’ensemble $\Gamma_i$, les $p_i \circ f_i$ forment un ensemble $\Gamma'_i$ de semi-normes sur $E$. La topologie $\mathscr{T}$ sur $E$, définie comme étant la moins fine de celles rendant continues toutes les applications $f_i$ (I, p. 9) est alors définie par l’ensemble de semi-normes $\Gamma' = \bigcup_{i \in I} \Gamma'_i$, comme il résulte de la définition des voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$ (TG, I, p. 12, prop. 4).

Si les $p_i$ sont des ultra-semi-normes, il en est de même des $p_i \circ f_i$.

Soit $E$ un espace vectoriel sur $K$, muni d’une topologie $\mathscr{T}$ définie par une famille de semi-normes $(p_i)_{i \in I}$; pour tout $i \in I$, soit $\mathscr{T}_i$ la topologie définie par la seule semi-norme $p_i$, et notons $E_i$ l’espace obtenu en munissant $E$ de $p_i$. Alors la topologie $\mathscr{T}$ est l’image réciproque par l’application diagonale $\Delta : E \to \prod_{i \in I} E_i$ de la topologie produit sur $\prod_{i \in I} E_i$ (I, p. 9, prop. 7). Pour tout $i \in I$, désignons par $N_i$ l’adhérence de 0 dans $E_i$, par $F_i = E_i / N_i$ l’espace normé défini par la norme $\dot{p}_i$ correspondant à $p_i$ (II, p. 4, formule (3)); si $\varphi_i : E_i \to F_i$ est l’application canonique, et $\varphi : (x_i) \mapsto (\varphi_i(x_i))$ l’application produit, on sait que la topologie produit sur $\prod_{i \in I} E_i$ est l’image réciproque par $\varphi$ de la topologie produit sur $\prod_{i \in I} F_i$ (TG, II, p. 26, prop. 18); la topologie $\mathscr{T}$ est donc l’image réciproque par l’application composée $\varphi \circ \Delta$ de la topologie produit sur $\prod_{i \in I} F_i$. Si en particulier $\mathscr{T}$ est séparée, il résulte de II, p. 4, prop. 2 que l’application $\varphi \circ \Delta$ est injective, donc :

4. Critères d’équicontinuité des applications multilinéaires pour les topologies définies par des semi-normes