Corollaire 1

Soient $p$ une semi-norme sur un espace vectoriel $E$, $V$ un sous-espace vectoriel de $E$, $f$ une forme linéaire sur $V$ telle que $|f(y)| \leq p(y)$ pour tout $y \in V$. Alors il existe une forme linéaire $h$ sur $E$, prolongeant $f$, et telle que $|h(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$.

Pour une semi-norme $q$ et une forme linéaire $g$ sur $E$, les relations $g \leq q$ et $|g| \leq q$ sont équivalentes. Le corollaire résulte donc du th. 1.