I) Supposons d’abord $E = V + \mathbf{R}a$. La proposition étant triviale pour $a \in V$, on peut se borner au cas $a \notin V$. L’hypothèse faite sur V entraîne que l’ensemble

A'' des $y \in V$ tels que $a \leq y$ est non vide ; de même, l’ensemble $A'$ des $z \in V$ tels que $-z \geq -a$ (autrement dit, $z \leq a$) est non vide. En outre, pour $v \in A''$ et $z \in A'$, on a $z \leq a \leq v$, donc par hypothèse, $f(z) \leq f(v)$. On en conclut que $\alpha'$ et $\alpha''$ sont finis et que $\alpha' \leq \alpha''$. Toute forme linéaire $f_1$ sur $E$ prolongeant $f$ est entièrement déterminée par $f_1(a)$, et pour tout $\lambda \in \mathbf{R}$ et tout $x \in V$, on a

Pour que $f_1$ soit positive, il faut et il suffit que les relations :

(2)

entraînent :

(3)

Comme $f(\mu x) = \mu f(x)$ et que les relations $x \geq 0$ et $\mu x \geq 0$ sont équivalentes pour $\mu > 0$, il suffit d’exprimer que (2) entraîne (3) dans les cas particuliers $\lambda = 0$, $\lambda = 1$ et $\lambda = -1$. Pour $\lambda = 0$, le fait que (2) entraîne (3) résulte de l’hypothèse que $f$ est positive. Pour $\lambda = 1$, dire que (2) entraîne (3) signifie que pour $-x \in A'$, on a $f_1(a) \geq f(-x)$, autrement dit que $f_1(a) \geq \alpha'$; pour $\lambda = -1$, dire que (2) entraîne (3) signifie que, pour $x \in A''$, on a $f(x) \geq f_1(a)$, autrement dit que $f_1(a) \leq \alpha''$. La proposition est donc démontrée dans ce cas.

II) Cas général. Soit $\mathfrak{F}$ l’ensemble des couples $(W, g)$, où $W$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $V$ et $g$ une forme linéaire positive sur $W$ prolongeant $f$. Ordonnons $\mathfrak{F}$ en posant

si $W \subset W'$ et si $g'$ prolonge $g$. Il est immédiat que $\mathfrak{F}$ est inductif, et, en vertu du th. 2 de E, III, p. 20, il a donc un élément maximal $(W_0, g_0)$. Supposons $W_0 \neq E$. Il existe alors un vecteur $b \notin W_0$, et si $W_1 = W_0 + \mathbf{R}b$, la première partie de la démonstration montre qu’il existe une forme linéaire positive sur $W_1$ qui prolonge $g_0$, ce qui contredit l’hypothèse que $(W_0, g_0)$ est maximal ; on a donc $W_0 = E$, ce qui prouve la première assertion de la proposition. Lorsque $a \in V$, la seconde assertion est évidente, avec $\alpha' = \alpha'' = f(a)$; si au contraire $a \notin V$ et si l’on pose $V_1 = V + \mathbf{R}a$, la seconde assertion résulte de la première partie de la démonstration.

Il suffit, en vertu de la prop. 1, de voir que, pour tout $x \in E$, il existe $x' \in V$ tel que $x' - x \in P$. Or, soit U un voisinage de 0 dans E tel que $x_0 + U \subset P$. On a donc $x + x_0 + U \subset x + P$, et par suite, il existe $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 1$ et que le point

appartienne à $x + P$; par suite tout point de la forme $x + \lambda(y - x)$ appartient à $x + P$ pour $\lambda > 0$. Mais si l’on prend $\lambda = 1/\varepsilon$, on a $x + \lambda(y - x) = \lambda x_0 \in V$, d’où la conclusion.

La conclusion de ce corollaire ne subsiste pas nécessairement si l’on ne suppose pas que $V$ contient un point intérieur de $P$, même si $E$ est de dimension finie et si $P \cap V$ contient des points intérieurs dans $V$ (II, p. 97, exerc. 25, b)).

Pour une semi-norme $q$ et une forme linéaire $g$ sur $E$, les relations $g \leq q$ et $|g| \leq q$ sont équivalentes. Le corollaire résulte donc du th. 1.

On applique le cor. 1 au sous-espace vectoriel $V$ engendré par $x_0$ et à la forme linéaire $\xi x_0 \mapsto \xi p(x_0)$ définie dans $V$.

On applique le cor. 1 en prenant $p(x) = \|f\| \cdot \|x\|$, ce qui donne $\|h\| \leq \|f\|$; d’autre part, on a évidemment $\|h\| \geq \|f\|$, d’où le corollaire.

La conclusion du cor. 3 ne s’étend pas aux applications linéaires continues d’un espace normé dans un espace normé quelconque (IV, p. 55, exerc. 16, c) et V, p. 64, exerc. 22).