En effet, il est clair que $\mathfrak{B}$ est une base de filtre et satisfait aux conditions (EV_I) et (EV_{II}) de I, p. 7, prop. 4 ; elle satisfait aussi à la condition (EV_{III}) puisque, pour tout ensemble $V \in \mathfrak{S}$, on a $\frac{1}{2}V + \frac{1}{2}V = V$.

On notera que si $\mathscr{T}$ est la topologie localement convexe sur E ayant $\mathfrak{B}$ pour système fondamental de voisinages de 0, les ensembles $(1/n)V$, où $n$ parcourt l’ensemble des entiers $> 0$ et V parcourt $\mathfrak{S}$, forment encore un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$. Pour que $\mathscr{T}$ soit séparée, il faut et il suffit que, pour tout $x \neq 0$ dans E, il existe un entier $n$ et un ensemble $V \in \mathfrak{S}$ tels que $nx \notin V$ ; si de plus $\mathfrak{S}$ est dénombrable, la topologie $\mathscr{T}$ est une topologie localement convexe métrisable. Inversement, il est clair que si $\mathscr{T}$ est une topologie localement convexe métrisable, il existe un système fondamental dénombrable de voisinages convexes symétriques et fermés de 0 pour $\mathscr{T}$.

En effet, la condition est nécessaire, puisque toute semi-norme $p$ sur E est une fonction convexe, et par suite, pour $\alpha > 0$, l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) \leq \alpha$ est convexe (II, p. 19, corollaire). Inversement, si V est un voisinage fermé, symétrique et convexe de 0 dans E, la jauge $p$ de V est une semi-norme sur E telle que V soit l’ensemble des $x \in E$ vérifiant $p(x) \leq 1$ (II, p. 22, prop. 23).

Ceci montre en outre qu’une topologie localement convexe $\mathscr{T}$ est définie par l’ensemble de toutes les semi-normes continues pour $\mathscr{T}$. De plus, si $\mathscr{T}$ est métrisable, elle est définie par un ensemble dénombrable de semi-normes.

Compte tenu du corollaire de la prop. 1, les résultats du § 1 sur les topologies définies par des ensembles de semi-normes s’appliquent en particulier aux topologies localement convexes sur les espaces vectoriels réels. Le complété $\hat{E}$ d’un espace localement convexe séparé E est donc un espace localement convexe. On appelle espace de Fréchet un espace localement convexe métrisable et complet ; tout espace de Banach est donc un espace de Fréchet.

En effet, compte tenu de II, p. 26, corollaire et de II, p. 7, cor. 2, il existe une semi-norme $p$ continue sur E, et telle que $|f(y)| \leq p(y)$ pour tout $y \in M$. En vertu du th. de Hahn-Banach (II, p. 24, cor. 1), il existe une forme linéaire $h$ sur E prolongeant $f$ et telle que $|h(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$, ce qui entraîne que $h$ est continue (II, p. 7, prop. 5).

Il suffit d’appliquer la prop. 2 au sous-espace vectoriel M de dimension 1 engendré par $x_0$ (qui est séparé) et à la forme linéaire $\xi x_0 \mapsto \xi$ définie dans M, qui est continue en vertu de I, p. 13, prop. 2.

Pour qu’un sous-espace M de E admette un supplémentaire topologique, il faut et il suffit en effet que l’application identique de M sur lui-même se prolonge en une application linéaire continue u de E sur M, qui est alors nécessairement un projecteur continu (TG, III, p. 47, corollaire). Or, ceci résulte de la remarque (II, p. 26) puisque M est alors isomorphe à un espace $\mathbf{R}^n$ (I, p. 14, th. 2).

Soit A un ensemble précompact dans E. Pour tout voisinage convexe équilibré V de 0 dans E, il existe un nombre fini de points $a_i \in A$ ($1 \leq i \leq n$) tels que A soit contenu dans la réunion S des voisinages $a_i + V$ ($1 \leq i \leq n$). L’enveloppe convexe équilibrée C de A est donc contenue dans l’enveloppe convexe équilibrée de S ; mais cette dernière est contenue dans B + V, où B est l’enveloppe convexe de l’ensemble fini formé des points $a_i$ et $-a_i$ ($1 \leq i \leq n$). Or, B est précompacte (II, p. 15, cor. 2) ; il existe par suite un nombre fini de points $b_k \in B$ ($1 \leq k \leq m$) tels que B soit contenue dans la réunion des voisinages $b_k + V$. Alors C est contenue dans la réunion des voisinages $b_k + 2V$, ce qui achève la démonstration.

On notera que, dans un espace localement convexe séparé de dimension infinie, l’enveloppe convexe d’un ensemble compact n’est pas nécessairement fermée (II, p. 79, exerc. 3).

En effet, cette enveloppe est une partie fermée d’un espace complet, donc est un espace complet, et par ailleurs c’est un espace précompact et séparé.

Par contre, dans un espace localement convexe séparé non complet, l’enveloppe fermée convexe d’un ensemble compact peut être non compacte (II, p. 92, exerc. 2).

En raison de II, p. 26, corollaire, cela est un cas particulier de la propriété correspondante pour les topologies définies par des semi-normes (II, p. 5).

En particulier, tout sous-espace vectoriel d’un espace localement convexe et tout espace produit d’espaces localement convexes sont des espaces localement convexes. Toute limite projective d’espaces localement convexes est localement convexe.

Tout produit dénombrable d’espaces de Fréchet (et en particulier tout produit dénombrable d’espaces de Banach) est un espace de Fréchet.

Tout espace localement convexe séparé E est isomorphe à un sous-espace d’un produit d’espaces de Banach, sous-espace qui est fermé si E est complet (II, p. 5, prop. 3). Tout espace de Fréchet est isomorphe à un sous-espace fermé d’un produit dénombrable d’espaces de Banach (loc. cit.).

(i) Soit $\mathscr{B}$ l’ensemble des parties convexes, symétriques et absorbantes V de E telles que $g_\alpha^{-1}(V)$ soit un voisinage de 0 dans $F_\alpha$ pour tout $\alpha$; l’ensemble $\mathscr{B}$ est un système fondamental de voisinages de 0 dans E pour une topologie $\mathscr{T}$ compatible avec la structure d’espace vectoriel.

(ii) Pour qu’une application linéaire $f$ de E dans un espace localement convexe G (resp. une semi-norme p sur E) soit continue pour $\mathscr{T}$, il faut et il suffit que, pour tout indice $\alpha$, $f \circ g_\alpha$ (resp. $p \circ g_\alpha$) soit continue dans $F_\alpha$.

(iii) La topologie $\mathscr{T}$ est la plus fine des topologies localement convexes sur E pour lesquelles les $g_\alpha$ sont continues.

En outre, la topologie $\mathscr{T}$ est la seule topologie localement convexe sur E vérifiant la condition (ii) pour les applications linéaires (resp. pour les semi-normes).

Comme $\mathscr{B}$ est une base de filtre invariante par les homothéties de rapport > 0, l’assertion (i) résulte aussitôt de II, p. 25, prop. 1. Par définition de $\mathscr{B}$, $\mathscr{T}$ est la plus fine des topologies localement convexes sur E rendant continues les $g_\alpha$, d’où (iii). Enfin, il est clair que si $f$ est continue, il en est de même des $f \circ g_\alpha$; réciproquement, si ces dernières sont continues pour tout $\alpha$, alors, pour tout voisinage convexe symétrique W de 0 dans G, $g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$ est un voisinage de 0 dans $F_\alpha$ pour tout indice $\alpha$, et comme $f^{-1}(W)$ est convexe, symétrique et absorbant, cela prouve que $f^{-1}(W)$ est un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$, donc que $f$ est continue. De même, si une semi-norme $p$ sur $E$ est telle que $p \circ g_\alpha$ soit continue pour tout $\alpha$, et si $U$ est l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) < 1$, alors, pour tout $\alpha$, $g_\alpha^{-1}(U)$ est un voisinage convexe de 0 dans $E_\alpha$, symétrique et absorbant ; donc $U$ est un voisinage de 0 dans $E$, et $p$ est continue (II, p. 2, prop. 1).

La dernière assertion résulte de E, IV, p. 19, critère CST 18.

On dit parfois que $\mathscr{T}$ est la topologie localement convexe finale de la famille des topologies $\mathscr{T}_\alpha$ des $F_\alpha$, pour la famille des applications linéaires $g_\alpha$.

Il peut se faire que $\mathscr{T}$ ne soit pas la plus fine des topologies sur $E$ compatibles avec la structure d’espace vectoriel et rendant continues les $f_\alpha$ (II, p. 80, exerc. 15 ; voir toutefois II, p. 80, exerc. 14).

Dans le cas (le plus important) où $E = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha(F_\alpha)$ on obtient encore un système fondamental de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$ de la façon suivante : on considère toutes les familles $(V_\alpha)_{\alpha \in A}$ où, pour tout $\alpha \in A$, $V_\alpha$ est un voisinage symétrique de 0 pour $\mathscr{T}_\alpha$, et on prend l’enveloppe convexe dans $E$, $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$, de la réunion des $g_\alpha(V_\alpha)$. En effet, tout élément de $E$ étant de la forme $\sum_{\alpha \in J} x_\alpha$, où $J$ est une partie finie de $A$ et $x_\alpha \in g_\alpha(F_\alpha)$, il est immédiat que $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$ est un ensemble convexe symétrique et absorbant dans $E$ (chacun des $V_\alpha$ étant absorbant dans $F_\alpha$) ; comme $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$ contient tous les $g_\alpha(V_\alpha)$, c’est un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$. D’autre part, il est clair que pour tout voisinage convexe symétrique $V$ de 0 pour $\mathscr{T}$, on a $V \supset \Gamma((V \cap g_\alpha(F_\alpha)))$, d’où notre assertion.

Compte tenu de I, p. 9, prop. 6, la démonstration suit la même marche que pour l’assertion (ii) de la prop. 5, en considérant un voisinage convexe symétrique $W$ de 0 dans $G$ et en notant que, si l’ensemble des $f \circ g_\alpha$ pour $f \in H$ est équicontinu dans $G$ et en notant que, si l’ensemble des $f \circ g_\alpha$ pour $f \in H$ est équicontinu dans $F_\alpha$, l’intersection $\bigcap_{f \in H} g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$ est un voisinage convexe symétrique de 0 dans $F_\alpha$. Comme cette intersection est égale à $g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$ et que l’ensemble $\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W)$ est convexe et symétrique, tout revient à voir qu’il est aussi absorbant. Or, par hypothèse, tout $x \in E$ s’écrit sous la forme $\sum_{i=1}^n g_{\alpha_i}(z_{\alpha_i})$, où $z_{\alpha_i} \in F_{\alpha_i}$. Pour montrer qu’il existe $\lambda > 0$ tel que $f(\lambda x) \in W$ pour toute $f \in H$, il suffit donc de le faire lorsque $x$ est de la forme $g_\alpha(z_\alpha)$ avec $z_\alpha \in F_\alpha$ (car on passera de là au cas général en remplaçant $W$ par l’ensemble $W/n$). Mais alors la conclusion résulte de ce que l’ensemble $g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$ est un voisinage de 0 dans $F_\alpha$.

Pour tout $\lambda \in L$, soit $h_\lambda$ une application linéaire de $F_\lambda$ dans $E$; pour tout $\lambda \in L$ et tout $\alpha \in J_\lambda$, soit $g_{\lambda \alpha}$ une application linéaire de $G_\alpha$ dans $F_\lambda$; on pose alors $f_\alpha = h_\lambda \circ g_{\lambda \alpha}$. On munit chacun des $F_\lambda$ de la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $g_{\lambda \alpha}$ ($\alpha \in J_\lambda$); alors, sur $E$, la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $f_\alpha$ est identique à la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les $h_\lambda$.

C’est un cas particulier de E, IV, p. 20, critère CST 19, et se démontre d’ailleurs aussitôt directement en utilisant la prop. 5.

Exemples de topologies localement convexes finales.

I. Espace quotient. Soient $F$ un espace localement convexe, $M$ un sous-espace de $F$, $\varphi$ l’application canonique de $F$ sur $F/M$. Comme la topologie quotient sur $F/M$ est localement convexe et est la plus fine de toutes les topologies (localement convexes ou non) rendant continue $\varphi$, c’est la topologie localement convexe finale pour la famille réduite à $\varphi$.

II. Limites inductives d’espaces localement convexes. Soient $A$ un ensemble ordonné filtrant à droite, $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$ un système inductif d’espaces vectoriels relatif à l’ensemble $A$ (A, II, p. 90); soit $E = \lim_{\longrightarrow} E_\alpha$ et soit $f_\alpha : E_\alpha \to E$ l’application linéaire canonique pour tout $\alpha \in A$. Supposons chaque $E_\alpha$ muni d’une topologie localement convexe $\mathscr{T}_\alpha$, et en outre, supposons que pour $\alpha \leq \beta$, $f_{\beta \alpha} : E_\alpha \to E_\beta$ soit continue. On dit alors que la topologie localement convexe finale $\mathscr{T}$ de la famille $(\mathscr{T}_\alpha)$ relativement aux applications linéaires $f_\alpha$ (resp. l’espace $E$ muni de $\mathscr{T}$) est la limite inductive de la famille $(\mathscr{T}_\alpha)$ (resp. l’espace limite inductive du système $(E_\alpha, f_{\beta \alpha})$), ou simplement des espaces localement convexes $E_\alpha$. Rappelons que $E$ est réunion des sous-espaces vectoriels $f_\alpha(E_\alpha)$ et que lorsque $\alpha \leq \beta$, on a $f_\alpha(E_\alpha) \subset f_\beta(E_\beta)$; si l’on munit $f_\alpha(E_\alpha)$ de la topologie finale pour l’application $f_\alpha$ (ce qui revient à identifier $f_\alpha(E_\alpha)$ à l’espace quotient $E_\alpha/f_\alpha^{-1}(0)$), la topologie $\mathscr{T}$ est aussi la topologie finale de la famille des topologies des $f_\alpha(E_\alpha)$, relativement aux injections canoniques (II, p. 30, cor. 2). En outre, la continuité de $f_{\beta \alpha}$ pour $\alpha \leq \beta$ entraîne que l’injection canonique $j_{\beta \alpha} : f_\alpha(E_\alpha) \to f_\beta(E_\beta)$ est continue, de sorte que $E$ est aussi l’espace limite inductive des $f_\alpha(E_\alpha)$ munis des topologies précédentes, relativement aux injections $j_{\beta \alpha}$.

C’est un cas particulier de la prop. 5 de II, p. 29.

Compte tenu de la définition de la somme directe d’une famille d’espaces vectoriels (A, II, p. 12, prop. 6), on peut encore dire que la topologie $\mathscr{T}$ est la seule pour laquelle l’application canonique $g \mapsto (g \circ f_i)$ soit une bijection

pour tout espace localement convexe $G$.

C’est un cas particulier de II, p. 30, cor. 2, compte tenu de II, p. 31, Exemple I.

La première assertion résulte de ce que les injections canoniques $E_k \to \prod_{i \in I} E_i$ sont continues pour tout $k \in I$. Si $I$ est fini, $j$ est l’application identique, et il suffit de prouver que la topologie produit $\mathscr{T}'$ est plus fine que la topologie somme directe $\mathscr{T}$. Or, soit $V$ un voisinage convexe de 0 pour $\mathscr{T}$; chacun des $V \cap E_i$ est un voisinage convexe de 0 dans $E_i$; si $n$ est le nombre d’éléments de $I$, l’ensemble $V$ contient donc l’ensemble $\frac{1}{n} \sum_n (V \cap E_i)$, qui est un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}'$, d’où la proposition.

Lorsque $I$ est infini, si, pour toute partie finie $J$ de $I$, on note $E_J$ l’espace $\prod_{i \in J} E_i$, muni de la topologie produit, $E$ est limite inductive des $E_J$ (identifiés à des sous-espaces de $E$).

(i) Avec les notations introduites plus haut, considérons un point $x = \sum_i \lambda_i x_i$ appartenant à $N \cap \Gamma((V_i))$ (($\lambda_i$) famille de nombres $\geq 0$ à support fini telle que $\sum_i \lambda_i = 1$, $x_i \in V_i$ pour tout $i \in I$). On a nécessairement, pour tout $i \in I$, $\lambda_i x_i \in N_i$, la somme des $N_i$ étant directe ; donc, pour tout $i$ tel que $\lambda_i > 0$, on a aussi $x_i \in N_i \cap V_i$, et $x$ appartient à l’enveloppe convexe $\Gamma((N_i \cap V_i))$, ce qui prouve (i).

(ii) Soient $f_i : E_i \to E, h_i : E_i/N_i \to E/N, p_i : E_i \to E_i/N_i$ et $p : E \to E/N$ les applications canoniques. On a $h_i \circ p_i = p \circ f_i$ pour tout $i \in I$, et la proposition résulte de II, p. 30, cor. 2 et p. 31, Exemple I.

En effet, pour tout $i \in I$, la projection canonique $p_i : E \to E_i$ est continue (II, p. 32, prop. 6) ; par suite $p_i^{-1}(N_i)$ est fermé dans $E$, donc il en est de même de l’intersection $N = \bigcap_{i \in I} p_i^{-1}(N_i)$.

Pour prouver la première assertion, il suffit d’appliquer le cor. 1 en prenant $N_i = \{0\}$ pour tout $i \in I$ ; pour prouver la seconde, il suffit d’appliquer le cor. 1 en prenant $N_i = E_i$ et $N_k = \{0\}$ pour tout $k \neq i$.

Nous montrerons au chap. III, p. 21, cor. 2 que si les $E_i$ sont séparés et complets, il en est de même de leur somme directe topologique $E$.

Raisonnons par l’absurde ; pour tout $k$, il existerait un voisinage convexe $V_k$ de 0 et un ensemble $M_k \in \mathfrak{F}$ tels que

On peut évidemment supposer $V_{k+1} \subset V_k$ pour tout $k$. Soit $V$ l’enveloppe convexe de $\bigcup_k (E_k \cap V_k)$, qui est évidemment un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$. On a $V \subset V_n + E_n$ pour tout $n$ : en effet, tout $x \in V$ s’écrit $\sum_i \lambda_i x_i$ où $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ et $x_i \in V_i \cap E_i$ pour tout $i$ ; or, pour $i < n$, on a $x_i \in E_n$, donc $\sum_{i < n} \lambda_i x_i \in E_n$ ; et pour $i \geq n$, on a $x_i \in V_n$, donc

comme $\mathscr{F}$ est un filtre, l’ensemble $M_m$ rencontre $M$, donc $E_m + V_m$, et nous avons abouti à une contradiction, d’où le lemme.

(i) Pour établir la première assertion, il suffit de prouver que la topologie $\mathscr{T}_n'$ induite par $\mathscr{T}$ sur $E_n$ est plus fine que $\mathscr{T}_n$. Pour cela, soit $V_n$ un voisinage convexe de 0 dans $E_n$ pour la topologie $\mathscr{T}_n$; nous allons construire une suite croissante $(V_{n+p})_{p \geq 1}$ telle que $V_{n+p}$ soit un voisinage convexe de 0 dans $E_{n+p}$ pour $\mathscr{T}_{n+p}$ et que l’on ait $V_{n+p} \cap E_n = V_n$ pour tout indice $p \geq 1$. Alors la réunion $V$ de la suite croissante $(V_{n+p})$ sera un ensemble convexe tel que, pour tout indice $k$, $V \cap E_k$ soit un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}_k$, donc $V$ sera un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$, et comme $V \cap E_n = V_n$, on aura prouvé que $\mathscr{T}_n'$ est plus fine que $\mathscr{T}_n$.

Pour définir les $V_{n+p}$, il suffit de procéder par récurrence sur $p$, en utilisant le lemme suivant :

En effet, il existe par hypothèse un voisinage convexe U de 0 dans F tel que l’on ait $U \cap M \subset V$. L’enveloppe convexe W de $U \cup V$ dans F est évidemment un voisinage de 0 dans F ; montrons que $W \cap M = V$. En effet, tout point $z \in W$ est de la forme $\lambda x + (1 - \lambda) y$ avec $x \in V, y \in U$, et $0 \leq \lambda \leq 1$ (II, p. 10, prop. 8) ; si $z \in M$, on a nécessairement $y \in M$ si $\lambda \neq 1$, donc $y \in U \cap M \subset V$, et par suite $z \in V$ ; la conclusion subsiste évidemment encore si $\lambda = 1$. Si M est fermé dans F, l’espace F/M est séparé, donc il existe un voisinage convexe $U_0 \subset U$ de 0 dans F tel que $U_0$ ne rencontre pas $x_0 + M$ ; l’enveloppe convexe $W_0$ de $U_0 \cup V$ répond alors aux conditions de l’énoncé.

Pour achever de prouver (i), il suffit de remarquer que tout $x \in E$ appartient à un $E_n$ ; si $x \neq 0$ et si $\mathscr{T}_n$ est séparée, il y a un voisinage $V_n$ de 0 pour $\mathscr{T}_n$ ne contenant pas $x$, et nous venons de voir qu’il y a un voisinage V de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que $V \cap E_n = V_n$, donc on a $x \notin V$, ce qui prouve que $\mathscr{T}$ est séparée.

(ii) Soit $x \in E - E_n$; il existe $m > n$ tel que $x \in E_m$, donc, comme $E_n$ est fermé dans $E_m$ pour $\mathscr{T}_m$ (en vertu de l’hypothèse que $\mathscr{T}_{n+1}$ induit $\mathscr{T}_n$ sur $E_n$ pour tout $n$), il existe pour $\mathscr{T}_m$ un voisinage convexe $V_m$ de 0 dans $E_m$ tel que $(x + V_m) \cap E_n = \varnothing$. Or, on a vu dans (i) qu’il existe un voisinage convexe $V$ de 0 pour $\mathscr{T}$ tel que l’on ait $V \cap E_m = V_m$; on a par suite $(x + V) \cap E_m = x + V_m$, donc $(x + V) \cap E_n = \varnothing$, ce qui démontre (ii).

(iii) Il résulte du lemme 1 que si $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy minimal pour $\mathscr{T}$ (TG, II, p. 14), il existe un indice $k$ tel que la trace de $\mathfrak{F}$ sur $E_k$ soit un filtre $\mathfrak{F}_k$; ce dernier est un filtre de Cauchy pour $\mathscr{T}_k$ d’après (i), et par suite $\mathfrak{F}_k$ converge dans $E_k$ par hypothèse ; mais comme le filtre sur $E$ engendré par $\mathfrak{F}_k$ est plus fin que $\mathfrak{F}$, $\mathfrak{F}$ admet un point adhérent pour $\mathscr{T}$, et par suite converge pour $\mathscr{T}$.

Lorsque pour tout $n$ la topologie induite sur $E_n$ par $\mathscr{T}_{n+1}$ est égale à $\mathscr{T}_n$, on dit que $\mathscr{T}$ est la limite inductive stricte de la suite $(\mathscr{T}_n)$, et que l’espace $E$, muni de $\mathscr{T}$, est limite inductive stricte de la suite des espaces localement convexes $E_n$.