Par translation on peut se ramener au cas où $0 \in A$, de sorte que A est absorbant. Soit $p$ la jauge de l’ensemble ouvert convexe absorbant A (II, p. 22), de sorte que A est l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) < 1$. Soit d’autre part V le sous-espace vectoriel de E engendré par M ; M est donc un hyperplan dans V ne passant pas par 0, et il y a par suite une forme linéaire et une seule $f$ sur V telle que M soit l’ensemble des $y \in V$ tels que $f(y) = 1$. L’hypothèse $M \cap A = \varnothing$ entraîne donc que pour tout $y \in V$ tel que $f(y) = 1$, on a $p(y) \geqslant 1$; comme $f$ et $p$ sont positivement homogènes, on a donc $f(y) \leqslant p(y)$ pour tout $y \in V$ tel que $f(y) > 0$; comme de plus $p(y) \geqslant 0$ pour tout $y \in V$, on voit finalement que l’on a $f(y) \leqslant p(y)$ pour tout $y \in V$. En vertu de la forme analytique du th. de Hahn-Banach (II, p. 24, th. 1), il existe une forme linéaire $h$ sur E prolongeant $f$ et telle que, pour tout $x \in E$, on ait $h(x) \leqslant p(x)$. Soit alors H l’hyperplan dans E, d’équation $h(x) = 1$. Il est clair que $H \cap V = M$ et que $H \cap A = \varnothing$. D’autre part, le complémentaire de H dans E contient un ensemble ouvert non vide A, donc H est fermé dans E (I, p. 11, corollaire).

C.Q.F.D.

En effet, l’ensemble C = A − B est ouvert, convexe (II, p. 10, prop. 7) et non vide, et l’on a 0 ∉ C. En vertu du th. 1 de II, p. 39, il existe donc une forme linéaire continue f ≠ 0 sur E, telle que f(z) > 0 dans C. Alors, pour tout x ∈ A et tout y ∈ B, on a f(x) > f(y). Posons α = inf_{x∈A} f(x) ; α est fini, et l’on a f(x) ≥ α pour tout x ∈ A et f(y) ≤ α pour tout y ∈ B ; l’hyperplan fermé H d’équation f(z) = α sépare donc A et B.

En effet, si f(x) = γ est une équation de H, où f est une forme linéaire continue dans E, la restriction de f à A est continue, donc est bornée et atteint ses bornes dans A (TG, IV, p. 27, th. 1).

Cette démonstration prouve qu’il existe un ou deux hyperplans d’appui de A parallèles à H, le premier cas ne pouvant se présenter que si A est contenu tout entier dans un hyperplan parallèle à H.

Tout hyperplan d’appui de A est fermé, puisque tous les points de A sont d’un même côté d’un tel hyperplan (II, p. 16, prop. 17). D’autre part, si x_0 est point frontière de A, x_0 n’appartient pas à l’ensemble convexe ouvert non vide $\overset{\circ}{A}$ ; d’après le th. 1 de II, p. 39, il existe un hyperplan H passant par x_0 et ne rencontrant pas $\overset{\circ}{A}$. Comme A est l’adhérence de $\overset{\circ}{A}$ (II, p. 15, cor. 1 de la prop. 16), il résulte de la prop. 17 de II, p. 16 que H est un hyperplan d’appui de A.

En effet, il existe un voisinage ouvert convexe V de 0 dans E tel que A + V et K + V ne se rencontrent pas (TG, II, p. 31, prop. 4). Comme A + V et K + V sont ouverts et convexes dans E, la prop. 1 de II, p. 40 montre qu’il existe un hyperplan fermé H séparant strictement A + V et K + V, et a fortiori A et K.

En effet, pour tout point x $\notin$ A, il existe, d’après la prop. 4, un hyperplan fermé séparant strictement x et A.

En effet, soit $x_0 \notin A$; $\{x_0\}$ est fermé, donc il existe un hyperplan fermé H séparant strictement $x_0$ et A (prop. 4); soit $f(x) = \alpha$ une équation de H ($f$ forme linéaire continue), et supposons que $f(x) > \alpha$ pour tout $x \in A$. Si l’on pose $\gamma = \inf_{x \in A} f(x)$, le demi-espace défini par $f(x) \geq \gamma$ contient A, est déterminé par l’hyperplan d’appui d’équation $f(x) = \gamma$, et ne contient pas $x_0$; d’où le corollaire.

Dans un espace localement convexe, un ensemble convexe fermé, non compact et n’ayant pas de point intérieur, peut n’avoir aucun hyperplan d’appui fermé (II, p. 91, exerc. 18 ; cf. aussi V, p. 71, exerc. 11).

En effet, pour tout $x \notin \overline{M}$, soit H un hyperplan fermé séparant strictement x et $\overline{M}$; $\overline{M}$ est donc parallèle à H ; l’hyperplan fermé $H_1$ contenant $\overline{M}$ et parallèle à H ne contient pas x, d’où le corollaire.

La condition est évidemment nécessaire. Montrons inversement qu’elle est suffisante ; si un point $x \in A$ n’est pas contenu dans $C$, il existe un hyperplan fermé d’équation $f(z) = \alpha$ séparant strictement $x$ et $C$; si l’on suppose par exemple que $f(x) < \alpha$, la fonction affine continue $u = f - \alpha$ contredit l’hypothèse.

En effet, $\overline{C}$ est un cône convexe de sommet 0 (II, p. 14, prop. 14). Pour tout $x \notin \overline{C}$, il existe un hyperplan fermé $H$ séparant strictement $x$ et $\overline{C}$ (prop. 4). Il suffit maintenant d’appliquer le lemme suivant :

En effet, soit $f(z) = \alpha$ avec $\alpha < 0$ une équation de $H$, de sorte que $f(z) = 0$ est l’équation de $H_0$. S’il existait un $z \in A$ tel que $f(z) < 0$, il existerait un $\lambda > 0$, tel que $f(\lambda z) = \alpha$, et comme $\lambda z \in A$, cela contredirait l’hypothèse.

En effet, l’ensemble $A \subset E \times \mathbf{R}$ des points $(x, t)$ tels que $x \in X$ et $t \geqslant f(x)$ est convexe (II, p. 18, prop. 19) et fermé, puisque la fonction $(x, t) \mapsto f(x) - t$ est semi-continue inférieurement. Soit alors $x$ un point quelconque de $X$, et soit $a \in \mathbf{R}$ tel que $a < f(x)$. En vertu du cor. 1 de II, p. 41, il existe dans $E \times \mathbf{R}$ un hyperplan fermé $H$ contenant $(x, a)$ et ne rencontrant pas $A$. Toute forme linéaire continue sur $E \times \mathbf{R}$ étant de la forme

où $\lambda \in \mathbf{R}$ et $u$ est une forme linéaire continue dans $E$, $H$ a une équation de la forme $u(z) + \lambda t = \alpha$, et comme $H$ passe par $(x, a)$, on a $\alpha = u(x) + \lambda a$. On ne peut avoir $\lambda = 0$, car $H$ aurait pour équation $u(z - x) = 0$, ce qui est absurde puisque le point $(x, f(x)) \in A$ n’appartient pas à $H$. En divisant au besoin par $-\lambda$, on peut donc supposer que $H$ a pour équation $t - a = u(z - x)$. Comme $f(x) - a > 0$, on a donc $f(z) > u(z - x) + a$ pour tout $z \in X$, ce qui prouve le corollaire.

On peut se limiter au cas où X est non vide. Soient $u, v$ deux éléments de L tels que $u(x) > f(x)$ et $v(x) > f(x)$ pour tout $x \in X$, et soit $b$ une constante qui majore $u$ et $v$. Soit U (resp. V) l’ensemble convexe compact des points $(x, t)$ de $X \times \mathbf{R}$ tels que $u(x) \leq t \leq b$ (resp. $v(x) \leq t \leq b$), et soit F l’ensemble des $(x, t) \in X \times \mathbf{R}$ tels que $t \leq f(x)$ ; F est convexe et fermé dans $X \times \mathbf{R}$. L’enveloppe convexe K de $U \cup V$ ne rencontre pas F, car $U \cup V$ est contenu dans l’ensemble des $(x, t) \in X \times \mathbf{R}$ tels que $f(x) < t$, ensemble qui est convexe et ne rencontre pas F. Comme K est compact (II, p. 14, prop. 15), on peut séparer strictement F et K par un hyperplan fermé H de $E \times \mathbf{R}$. Pour tout $x \in X$, H sépare strictement les points $(x, f(x))$ et $(x, b)$, donc rencontre la droite $\{x\} \times \mathbf{R}$ en un seul point $w(x)$ ; par suite H est le graphe d’une fonction affine continue dont la restriction $w$ à X appartient à L, minore $u$ et $v$ et vérifie l’inégalité $w(x) > f(x)$ pour tout $x \in X$. Ceci prouve que l’ensemble $L'$ est filtrant décroissant. La prop. 5 de II, p. 42, appliquée à $-f$, prouve que $f$ est l’enveloppe inférieure de $L'$.

En effet, la prop. 6 et le th. de Dini (TG, X, p. 34, th. 1) montrent que pour tout $n$ il existe $h_n \in L$ telle que $f \leq h_n \leq f + 1/n$.