les applications linéaires de G dans le dual F* de F, et de F dans le dual G* de G, associées respectivement à droite et à gauche à B (A, IX, § 1, n° 1). Pour que B mette F et G en dualité séparante en G (resp. en F), il faut et il suffit que d_B (resp. s_B) soit injective.

Lorsque F et G sont mis en dualité séparante par B, on identifiera souvent F (resp. G) à un sous-espace de G* (resp. F*) au moyen de s_B (resp. d_B). Lorsqu’on considérera F (resp. G) comme sous-espace de G* (resp. F*) sans spécifier de quelle manière est faite l’identification, il s’agira toujours des identifications précédentes ; la forme bilinéaire B est alors identifiée à la restriction à F × G de la forme bilinéaire canonique

En d’autres termes, lorsque la dualité est séparante en $G$ et que $F$ est muni de la topologie $\sigma(F, G)$, on peut identifier canoniquement $G$ au dual de $F$ pour cette topologie (II, p. 45, déf. 1).

La condition est évidemment suffisante ; d’autre part, si $\sigma(F, G_2)$ est plus fine que $\sigma(F, G_1)$, toute forme linéaire continue pour $\sigma(F, G_1)$ est continue pour $\sigma(F, G_2)$, donc $G_1 \subset G_2$ en vertu de la prop. 3.

C’est une conséquence immédiate du cor. 1.

(ii) Si M est un cône de sommet 0, $M^\circ$ est un cône de sommet 0, et c’est aussi l’ensemble des $y \in G$ tels que $\langle x, y \rangle \geq 0$ pour tout $x \in M$.

(iii) Si M est un sous-espace vectoriel de F, $M^\circ$ est un sous-espace vectoriel de G, et c’est aussi l’ensemble des $y \in G$ tels que $\langle x, y \rangle = 0$ pour tout $x \in M$.

(i) Comme les formes linéaires $y \mapsto \langle x, y \rangle$ sont continues pour $\sigma(G, F)$, l’assertion résulte aussitôt des définitions et du fait qu’un demi-espace déterminé par un hyperplan est convexe.

(ii) Si M est un cône de sommet 0, et si $x \in M, y \in M^\circ$, on a aussi $\lambda x \in M$ pour tout λ > 0, donc $\langle \lambda x, y \rangle \geq -1$ ou encore $\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$ pour tout $\lambda > 0$, et par suite $\langle x, y \rangle \geq 0$, d’où (ii).

(iii) De même, si M est un sous-espace vectoriel de F, les relations $x \in M$, $y \in M^\circ$ entraînent cette fois $\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$ pour tout $\lambda$ réel, ce qui n’est possible que si $\langle x, y \rangle = 0$.

Si M est un sous-espace vectoriel de F, on dit que $M^\circ$ est l’orthogonal de M dans G ; si $G \subset F^*$, $M^\circ$ est l’intersection de G et du sous-espace orthogonal à M dans le dual algébrique $F^*$ de F (A, II, p. 42, déf. 4).

Dire qu’un sous-espace vectoriel M de F et un sous-espace vectoriel N de G sont orthogonaux signifie donc que $M \subset N^\circ$ (ou, ce qui est équivalent, que $N \subset M^\circ$).

On a vu que l’on peut se borner au cas où M est convexe et $0 \in M$. Soit $\overline{M}$ l’adhérence de M pour $\sigma(F, G)$, qui est donc un ensemble convexe dans F ; la prop. 4 de II, p. 47, montre que l’on a $M^{\circ\circ} \supset \overline{M}$. D’autre part, si $a \in F$ n’appartient pas à $\overline{M}$, il existe un hyperplan fermé H dans F qui sépare strictement a et $\overline{M}$ (II, p. 41, prop. 4) ; comme H ne contient pas 0, il existe un $y \in G$ tel que H ait pour équation $\langle x, y \rangle = -1$ (II, p. 46, prop. 3) ; on a par suite $\langle x, y \rangle > -1$ pour tout $x \in \overline{M}$ et $\langle a, y \rangle < -1$. Cela entraîne que l’on a $y \in M^\circ$ et $a \notin M^{\circ\circ}$, d’où la relation $M^{\circ\circ} = \overline{M}$.

En effet, si N est cette enveloppe fermée convexe, on a

d’où $N = N^{\circ\circ} = M^\circ$.

La conclusion du cor. 1 ne s’étend pas lorsque les $M_\alpha$ ne sont pas nécessairement convexes.

(i) Les ensembles convexes fermés dans E sont les mêmes pour la topologie $\mathscr{T}$ et la topologie faible $\sigma(E, E')$.

(ii) Pour toute partie M de E, l’ensemble polaire $M^{oo}$ dans E de l’ensemble polaire $M^o$ de M dans E', est l’enveloppe fermée convexe de $M \cup \{0\}$ pour la topologie $\mathscr{T}$.

Il est clair que (ii) résulte de (i) et du th. 1. Par définition du dual E', il résulte de II, p. 46, prop. 3 que les formes linéaires continues sur E pour la topologie $\mathscr{T}$ sont les mêmes que les formes linéaires continues pour $\sigma(E, E')$. Les demi-espaces fermés dans E sont donc les mêmes pour $\mathscr{T}$ et pour $\sigma(E, E')$ (II, p. 16, prop. 17), et l’assertion (i) résulte donc de II, p. 41, cor. 1.

a) u est continue pour les topologies faibles $\sigma(F, G)$ et $\sigma(F_1, G_1)$; b) il existe une application $v : G_1 \to G$ telle que l’on ait :

(1)

Si ces propriétés sont satisfaites et que la dualité entre F et G est séparante en G, alors il existe une seule application v satisfaisant à (1), et v est linéaire.

Si u est continue pour les topologies faibles, alors, pour tout $z_1 \in G_1$, la forme linéaire $y \mapsto \langle u(y), z_1 \rangle$ sur F est continue pour $\sigma(F, G)$, donc (II, p. 46, prop. 3) s’écrit $y \mapsto \langle y, v(z_1) \rangle$ avec $v(z_1) \in G$, ce qui prouve que a) entraîne b). Inversement, si b) est vérifiée, pour tout $z_1 \in G_1$, la forme linéaire

est continue pour $\sigma(F, G)$; il résulte de la définition des topologies faibles que $u$ est continue pour $\sigma(F, G)$ et $\sigma(F_1, G_1)$ (I, p. 10, cor. 1). L’unicité de $v$ résulte de $(D_{II})$ et cette unicité entraîne que $v$ est linéaire.

Il suffit, dans la prop. 5, d’échanger les rôles joués par F et $F_1$ d’une part, G et $G_1$ de l’autre.

(i) *On a $(u(A))^\circ = 'u^{-1}(A^\circ)$.

(ii) *On a $\overline{'u(A_1^\circ)} \subset (u^{-1}(A_1))^\circ$; en outre, si $A_1$ est convexe, fermée (pour $\sigma(F_1, G_1)$) et contient l’origine, on a $'u(A_1^\circ) = (u^{-1}(A_1))^\circ$.

Soit $z_1 \in G_1$. La relation $z_1 \in (u(A))^\circ$ équivaut à $\langle u(y), z_1 \rangle \geq -1$ pour tout $y \in A$, et la relation $'u(z_1) \in A^\circ$ à $\langle y, 'u(z_1) \rangle \geq -1$ pour tout $y \in A$, d’où l’assertion (i) en vertu de (1). Echangeant alors les rôles de $u$ et de $'u$ et appliquant (i) à la partie $A_1^\circ$ de $G_1$, il vient

d’où en prenant les polaires

On a $(\overline{'u(A_1^\circ)}) \subset ( 'u(A_1^\circ))^{\circ \circ}$ en vertu du th. des bipolaires (II, p. 48, th. 1); la dernière assertion résulte aussi de (2) et du th. des bipolaires puisque l’on a alors $A_1^{\circ \circ} = A_1$ et que $'u(A_1^\circ)$ est convexe et contient l’origine.

En effet, la relation $u(A) \subset A_1$ équivaut à $A \subset u^{-1}(A_1)$, donc entraîne

et réciproquement la relation $^t u(A_1^\circ) \subset A^\circ$ entraîne

d’après (2). Lorsque $A_1 = A_1^{\circ \circ}$, on en déduit $A \subset u^{-1}(A_1)$.

(3)

Supposons les dualités entre F et G et entre F1 et G_1 séparantes ; pour que u(F) soit dense dans F_1 (pour σ(F_1, G_1)), il faut et il suffit que ^t u soit injective.*

On applique la prop. 6 avec $A = F$ et $A_1 = \{0\}$, compte tenu de ce que les topologies faibles $\sigma(G, F)$ et $\sigma(F_1, G_1)$ sont séparées. La dernière assertion résulte de (4), où l’on échange $u$ et $^t u$.

(i) La topologie $\sigma(M, G/N)$ pour cette dualité est induite par $\sigma(F, G)$ (et en particulier on a $\sigma(F, G) = \sigma(F, G/F^\circ)$).

(ii) La topologie $\sigma(G/N, M)$ pour cette dualité est moins fine que la topologie quotient par N de $\sigma(G, F)$; pour qu’elle lui soit égale, il faut et il suffit que l’on ait $M + G^\circ = N^\circ$.

(i) Tout élément de G/N est la classe mod. N d’un élément de G ; si $z_i$ ($1 \leq i \leq n$) sont des éléments de G, $\dot{z}_i$ ($1 \leq i \leq n$) la classe de $z_i$ dans G/N, l’ensemble des $y \in M$ tels que $|\langle y, \dot{z}_i \rangle| \leq \alpha$ pour $1 \leq i \leq n$ est la trace sur M de l’ensemble des $x \in F$ tels que $|\langle x, z_i \rangle| \leq \alpha$ pour $1 \leq i \leq n$; la conclusion résulte donc de la définition des voisinages de 0 pour la topologie faible.

(ii) Soit $p : G \to G/N$ la surjection canonique. Montrons que la topologie quotient $\mathscr{T}$ de $\sigma(G, F)$ par N est identique à $\sigma(G/N, N^\circ)$. Comme, pour $z \in G, y \in N^\circ$, on a $\langle y, p(z) \rangle = \langle y, z \rangle$, tout voisinage de 0 pour $\sigma(G/N, N^\circ)$ est de la forme p(V), où V est un voisinage de 0 pour $\sigma(G, F)$ saturé pour la relation $z - z' \in N$, donc $\mathscr{T}$ est plus fine que $\sigma(G/N, N^\circ)$. Inversement, soit $U = W(y_1, ..., y_n; \alpha)$ un voisinage de 0 dans G pour $\sigma(G, F)$, où $y_i \in F$ pour $1 \leq i \leq n$ et $\alpha > 0$; nous allons voir que pour $1 \leq i \leq n$, il existe des éléments $t_i \in N^\circ$ tels que si l’on pose $U' = W(t_1, ..., t_n; \alpha)$, on ait $p(U') \subset p(U)$; cela prouvera que $\sigma(G/N, N^\circ)$ est plus fine que $\mathscr{T}$, donc lui est identique. Or, soit L le sous-espace vectoriel de F engendré par $N^\circ$ et les $y_i$, et désignons par P un sous-espace supplémentaire de $N^\circ$ dans L, qui est de dimension finie m. Soit $(x_j)_{1 \leq j \leq m}$ une base de P ; les restrictions à N des formes linéaires $z \mapsto \langle x_j, z \rangle$ sont linéairement indépendantes, sans quoi il existerait $x \neq 0$ dans P tel que $\langle x, z \rangle = 0$ pour tout $z \in N$, c’est-à-dire $x \in N^\circ$, ce qui contredit la définition de P. On en conclut que pour tout $z' \in G$, il existe $s \in N$ tel que $\langle x_j, z' \rangle = \langle x_j, s \rangle$ pour tout $j$; si $z' = z + s$, on a par suite $\langle x, z \rangle = 0$ pour tout $x \in P$. Cela étant, posons $y_i = t_i + w_i$, où $t_i \in N^\circ$ et $w_i \in P$; on a $\langle y_i, z \rangle = \langle t_i, z \rangle = \langle t_i, z' \rangle$ pour $1 \leq i \leq n$; donc, pour tout $z' \in U'$, il existe $z \in U$ tel que $z' - z \in N$, c’est-à-dire que l’on a bien $p(U') \subset p(U)$.

Revenant au cas où M est un sous-espace quelconque de $N^\circ$, notons que l’on a évidemment $\sigma(G/N, M) = \sigma(G/N, M + G^\circ)$; en outre, il résulte de la prop. 3 de II, p. 46, que si $y \in N^\circ$ est tel que la forme linéaire $\dot{z} \mapsto \langle y, \dot{z} \rangle$ soit continue pour $\sigma(G/N, M)$, on a nécessairement $y \in M + G^\circ$. On en conclut que la condition $M + G^\circ = N^\circ$ est nécessaire et suffisante pour que la topologie quotient $\mathscr{T}$ soit égale à $\sigma(G/N, M)$.

Cela résulte de la prop. 7 où l’on fait $N = M^\circ$, en se rappelant que $M^{\circ\circ}$ est l’adhérence de M pour $\sigma(F, G)$ (II, p. 48, cor. 2).

En effet, $G/M^\circ$ est en dualité séparante avec M ; si M est de dimension n, il en est donc de même de $G/M^\circ$ (II, p. 44, Exemple 1). Si M est fermé, $F/M = F/M^{\circ\circ}$ est en dualité séparante avec $M^\circ$; si $F/M$ est de dimension n, il en est donc de même de $M^\circ$ (II, p. 44, Exemple 1).

Soit $N = \operatorname{Im}(t^u) \subset G$; on sait que $N^\circ = \operatorname{Ker}(u)$ dans $F$ (II, p. 51, formule (3)). Soit $p : F \to F/N^\circ$ l’application canonique, de sorte que $u$ se factorise en

où $w$ est injective. Les espaces $F/N^\circ$ et $N$ sont en dualité séparante et en vertu de la formule (1) de II, p. 49, on a $\langle w(j), z_1 \rangle = \langle j, t^u(z_1) \rangle$ quels que soient $j \in F/N^\circ$ et $z_1 \in G_1$. Cette relation montre que $w$ est un isomorphisme de $F/N^\circ$, muni de la topologie $\sigma(F/N^\circ, N)$, sur $u(F)$, muni de la topologie induite par $\sigma(F_1, G_1)$. La conclusion résulte donc du cor. 1 et de la définition d’un morphisme strict.

En effet, dire que $u(F) = F_1$ équivaut à dire que $u(F)$ est fermé et partout dense dans $F_1$ pour $\sigma(F_1, G_1)$; le cor. 4 résulte alors du cor. 3 appliqué à $t^u$, et de II, p. 51, cor. 2.

En effet, soit donnée une topologie $\mathscr{T}$ sur $F$; afin que, pour tout $y \in G$, la forme linéaire $x \mapsto \langle x, y \rangle$ soit continue pour $\mathscr{T}$, il faut et il suffit, par définition de $\langle x, y \rangle$, que chacune des applications $x \mapsto \langle \mathrm{pr}_i x, y_i \rangle$ soit continue pour $\mathscr{T}$, $i$ étant arbitraire dans $I$ et $y_i$ dans $G_i$; mais cela signifie que chacune des applications $\mathrm{pr}_i$ de $F$ dans $F_i$ est continue pour $\mathscr{T}$ et pour $\sigma(F_i, G_i)$ (I, p. 10, cor. 1); cela achève la démonstration.

En effet, soient $p : F \to M$, $q : F \to N$ les projecteurs correspondant à la décomposition de $F$ en somme directe de $M$ et $N$; dans ces conditions, l’application $(p, q) : F \to M \times N$ est un isomorphisme topologique. Si $M_1 = G/M^\circ$, $N_1 = G/N^\circ$, les topologies sur $M$ et $N$ (induites par celle de $F$) sont identiques à $\sigma(M, M_1)$, $\sigma(N, N_1)$ respectivement (II, p. 51, prop. 7). L’application $' (p, q) : M_1 \times N_1 \to G$ est un isomorphisme topologique lorsqu’on munit $M_1$, $N_1$ et $G$ de $\sigma(M_1, M)$, $\sigma(N_1, N)$ et $\sigma(G, F)$, en vertu de la prop. 8. Par cette application, $M_1$ (resp. $N_1$) a pour image dans $G$ le sous-espace $N^\circ$ (resp. $M^\circ$), et la topologie $\sigma(M_1, M)$ (resp. $\sigma(N_1, N)$) a pour image la topologie induite sur $N^\circ$ (resp. $M^\circ$) par $\sigma(G, F)$, d’où le corollaire.