Nous désignerons par $\mathfrak{F}$ l’ensemble des parties $X$ de $A$ qui sont fermées non vides, et telles que tout segment ouvert contenu dans $A$ et rencontrant $X$ soit contenu dans $X$. On a les propriétés suivantes :

(i) $A$ appartient à $\mathfrak{F}$.

(ii) Pour qu’un point $a \in A$ soit tel que $\{a\} \in \mathfrak{F}$, il faut et il suffit que $a$ soit extrémal dans $A$.

(iii) Toute intersection non vide $X$ d’une famille $(X_\alpha)$ d’ensembles de $\mathfrak{F}$ appartient à $\mathfrak{F}$.

Les propriétés (i), (ii) et (iii) découlent aussitôt des définitions.

(iv) Soit $X \in \mathfrak{F}$, et soit $h$ une fonction convexe et semi-continue supérieurement dans $A$; alors l’ensemble $Y$ des points de $X$ où la restriction $h|X$ atteint sa borne supérieure dans $X$ appartient à $\mathfrak{F}$.

En effet, $h|X$ étant semi-continue supérieurement dans $X$ atteint au moins en un point de $X$ sa borne supérieure $\alpha$ dans cet ensemble (TG, IV, p. 30, th. 3); donc $Y$ est non vide et fermé (TG, IV, p. 29, prop. 1). D’autre part, soient $x, y$ deux points distincts de $A$, $z = \lambda x + (1 - \lambda) y$ un point de $Y$ tel que $0 < \lambda < 1$; comme $Y \subset X$ et $X \in \mathfrak{F}$, on a $x \in X$ et $y \in X$; d’autre part, comme $h$ est convexe, on a

mais comme $h(x) \leq \alpha, h(y) \leq \alpha$ et $h(z) = \alpha$, on a nécessairement $h(x) = h(y) = \alpha$, c’est-à-dire $x \in Y$ et $y \in Y$. Donc $Y \in \mathfrak{F}$.

Ces propriétés étant établies, soit $M$ l’ensemble des $x \in A$ où $f$ atteint sa borne supérieure dans $A$; en vertu de (iv), $M \in \mathfrak{F}$. D’autre part, en vertu de (iii) et du fait que les ensembles de $\mathfrak{F}$ sont fermés dans l’espace compact $A$, $\mathfrak{F}$ est inductif pour la relation d’ordre $\supset$. En vertu du th. 2 de E, III, p. 20, il existe donc un ensemble $N \subset M$ qui est un élément minimal de $\mathfrak{F}$. Montrons que $N$ est réduit à un seul point, ce qui démontrera la proposition. Puisque $E$ est un espace localement convexe séparé, il suffit de voir que pour toute forme linéaire continue $u$ sur $E$, $u$ est constante dans $N$ (II, p. 41, cor. 1). Or il résulte de (iv) que l’ensemble $N'$ des $x \in N$ où $u|N$ atteint sa borne supérieure dans $N$ appartient à $\mathfrak{F}$; puisque $N$ est minimal dans $\mathfrak{F}$, on a nécessairement $N' = N$.

En effet, si $f(x) = \alpha$ est une équation de $H$ telle que $f(x) \leq \alpha$ dans $A$, il suffit d’appliquer la prop. 1 à $f$.

Théorème 1 (Krein-Milman). — Dans un espace localement convexe séparé $E$, tout ensemble convexe compact $A$ est l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble de ses points extrémaux.

En effet, soit $C$ l’enveloppe fermée convexe de l’ensemble des points extrémaux de $A$; il est clair que $C \subset A$. Pour voir que $A \subset C$, il suffit de prouver que, pour toute fonction linéaire affine $u$ continue dans $E$, telle que $u(x) \geq 0$ dans $C$, on a aussi $u(x) \geq 0$ dans $A$ (II, p. 41, cor. 4); mais cela résulte de la prop. 1 appliquée à $-u$.

Pour tout demi-espace ouvert $D$ de $E$ contenant $x$, $A \cap \overline{D}$ est un voisinage compact de $x$ dans $A$, et l’intersection de tous ces voisinages est réduite à $x$ (deux points distincts étant séparés strictement par un hyperplan fermé (II, p. 41, prop. 4)). En vertu de TG, I, p. 60, prop. 1, il suffit de prouver que les ensembles $A \cap \overline{D}$ forment une base de filtre. Or, si l’on pose $L_D = A \cap (E - D)$, l’ensemble $L_D$ est convexe et compact et contenu dans l’ensemble convexe $A - \{x\}$; si $D_1, D_2$ sont deux demi-espaces ouverts de $E$ contenant $x$, l’enveloppe convexe $B$ de $L_{D_1} \cup L_{D_2}$ est donc contenue dans $A - \{x\}$; mais $B$ est un ensemble compact (II, p. 14, prop. 15) donc il existe un hyperplan fermé $H$ séparant strictement $x$ et $B$ (II, p. 41, prop. 4) et si $D$ est le demi-espace ouvert déterminé par $H$ et contenant $x$, on a $L_{D_1} \cup L_{D_2} \subset L_D$, donc $A \cap \overline{D} \subset (A \cap \overline{D_1}) \cap (A \cap \overline{D_2})$.

a) A est l’enveloppe fermée convexe de $K$.

b) K rencontre l’intersection de A et d’un quelconque de ses hyperplans d’appui. c) K contient l’ensemble des points extrémaux de A. a) ⇒ b). Supposons qu’il existe un hyperplan d’appui H de A d’équation $f(x) = \alpha$, tel que $(H \cap A) \cap K = \varnothing$ et supposons par exemple que $f(x) \geq \alpha$ dans A. Comme $f(x) - \alpha > 0$ pour tout $x \in K$ par hypothèse et que K est compact, on aurait

et K serait donc contenu dans le demi-espace fermé $f(x) \geq \beta$; il en serait donc de même de l’enveloppe fermée convexe A de K, ce qui est absurde. b) ⇒ c). Supposons qu’un point extrémal $x$ de A n’appartienne pas à K ; il y aurait donc un voisinage V de $x$ dans E tel que $V \cap A \cap K = \varnothing$. Mais en vertu de la prop. 2, on peut supposer que V est un demi-espace ouvert déterminé par un hyperplan H d’équation $f(z) = \alpha$. Si par exemple $f(x) > \alpha$, on aurait $f(y) \leq \alpha$ pour tout $y \in K$, donc K ne rencontrerait pas l’intersection de A et de l’hyperplan d’appui d’équation $f(z) = \gamma > \alpha$ parallèle à H (II, p. 40, prop. 2); ce qui est absurde. c) ⇒ a). C’est une conséquence évidente du th. de Krein-Milman.

La condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons-la satisfaite ; supposons qu’il existe une droite $D'$ ne contenant pas D, passant par $x_0$ et telle que $D' \cap C$ contienne un segment ouvert auquel appartienne $x_0$. Soit $y \neq 0$ un vecteur directeur de $D'$; les hypothèses entraînent que le point $(1 + \lambda)x_0 + \mu y$ appartient à C pour $|\lambda|$ et $|\mu|$ assez petits. Mais alors, dans le plan P déterminé par D et $D'$ et muni de sa topologie canonique, $x_0$ est point intérieur de $P \cap C$, et par suite la droite $P \cap H$ contient un segment ouvert contenu dans $H \cap C$ et auquel appartient $x_0$, ce qui contredit l’hypothèse.

a) Soit A un chapeau de C. Soit p la restriction à C de la jauge de A (II, p. 22). L’ensemble des $x \in C$ tels que $p(x) \leqslant 1$ est égal à A. La fonction p est semi-continue inférieurement et possède les propriétés suivantes : (i) Quels que soient x, y dans C, on a $p(x + y) = p(x) + p(y)$. (ii) Quels que soient $x \in C$ et $\lambda \in \mathbf{R}_+^*$, on a $p(\lambda x) = \lambda p(x)$. (iii) Si $x \in C$, la relation $p(x) = 0$ équivaut à $x = 0$.

b) Inversement, soit p une fonction définie dans C, à valeurs dans $[0, + \infty]$, satisfaisant aux conditions (i), (ii) de a). Soit A l’ensemble des $x \in C$ tels que $p(x) \leqslant 1$. Alors A et $C - A$ sont convexes. Pour que A soit un chapeau, il suffit donc que A soit compact et non vide.

L’assertion b) est évidente. Les propriétés énoncées dans a) sont des conséquences des remarques précédant la prop. 4, et des prop. 22 de II, p. 21 et 23 de II, p. 22, à l’exception de l’inégalité

Il suffit de démontrer cette dernière lorsque $x \neq 0$ et $y \neq 0$; on a donc $p(x) > 0$, $p(y) > 0$. Soient $\lambda, \mu$ deux nombres $> 0$ tels que $\lambda < p(x), \mu < p(y)$, et notons B le complémentaire de A dans C. On a $x \in \lambda B, y \in \mu B$, donc $x + y \in \lambda B + \mu B$; en vertu de la convexité de B, on a $\lambda B + \mu B \subset (\lambda + \mu) B$, d’où $p(x + y) > \lambda + \mu$, ce qui entraîne l’inégalité annoncée.

Il est clair que 0 est un point extrémal de A. Soit x un point situé sur une génératrice extrémale L de C et tel que $p(x) = 1$. Soient y, z deux points de A tels que $x = \frac{1}{2}(y + z)$. Comme L est extrémale, on a $y = \lambda x$ et $z = \mu x$, où $\lambda$ et $\mu$ sont des nombres $\geq 0$ tels que $\frac{1}{2}(\lambda + \mu) = 1$, $\lambda = \lambda p(x) = p(y) \leq 1$ et $\mu = \mu p(x) = p(z) \leq 1$, d’où $\lambda = \mu = 1$ et par suite $y = z = x$; ainsi, x est point extrémal de A. Réciproquement, soit $x \neq 0$ un point extrémal de A. Il est clair que $p(x) = 1$. Soient y, $y'$ deux points de C tels que $x = y + y'$, et montrons que y, $y'$ sont proportionnels à x. On peut se limiter au cas où les nombres $\lambda = p(y)$ et $\lambda' = p(y')$ sont finis et $> 0$. Alors $\lambda^{-1} y \in A, {\lambda'}^{-1} y' \in A, \lambda + \lambda' = 1$ en vertu de la prop. 4, (i), et l’égalité $x = \lambda (\lambda^{-1} y) + \lambda' ({\lambda'}^{-1} y')$ entraîne par hypothèse

Ceci résulte aussitôt du cor. 1, et du th. de Krein-Milman (II, p. 59, th. 1).

\* Exemple. — Soit X un espace localement compact dénombrable à l’infini. Soit C un cône convexe fermé de sommet 0 dans $\mathscr{M}_+(X)$ muni de la topologie vague. Montrons que C est réunion de ses chapeaux. Soit $(X_n)$ une suite croissante de parties ouvertes relativement compactes de X, de réunion X. Soit $\mu$ un élément $\neq 0$ de C. Il existe des $\alpha_n > 0$ tels que $\sum_n \alpha_n \mu(X_n) = 1$. Pour toute mesure $v \in C$, posons $p(v) = \sum_n \alpha_n v(X_n) \in [0, + \infty]$. La fonction p sur C satisfait aux conditions (i) et (ii) de la prop. 4. Elle est semi-continue inférieurement pour la topologie vague (INT, IV, 2e éd., § 1, n° 1, prop. 4). L’ensemble A des $\gamma \in C$ tels que $p(\gamma) \leq 1$ est donc fermé non vide. D’autre part, comme toute partie compacte de X est contenue dans l’un des $X_n$, A est vaguement borné, donc vaguement compact (INT, III, 2e éd., § 1, n° 9, prop. 15). L’ensemble A est donc un chapeau de C contenant $\mu$. \*

La seconde assertion est conséquence de la première et du cor. 2 de II, p. 62. Utilisant la prop. 11 de II, p. 56, on est ramené au cas où $E = \mathbf{R}^1$ et $C \subset \mathbf{R}_+^1$. Pour tout $\alpha \in I$, désignons par $f_\alpha$ la projection $pr_\alpha$ dans $E$, qui est une forme linéaire continue. Soit d’autre part $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0 dans $C$. Par définition de la topologie de $E$, pour chaque $n \in \mathbf{N}$, il existe une partie finie $J_n$ de $I$ et un nombre $\varepsilon_n > 0$ tels que $V_n$ contienne l’ensemble $W_n$ des $x \in C$ tels que $f_\alpha(x) \leq \varepsilon_n$ pour tout $\alpha \in J_n$; posons $J = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} J_n$. Soient $y \neq 0$ un point de $C$, et $p$ la fonction $\sum_{\alpha \in J} \lambda_\alpha (f_\alpha|C)$ où les $\lambda_\alpha > 0$ sont choisis de sorte que $p(y) = 1$; cela est possible, car si l’on avait $f_\alpha(y) = 0$ pour tout $\alpha \in J$, on en conclurait que $y \in V_n$ pour tout $n$, d’où $y = 0$, contrairement à l’hypothèse. Remarquons maintenant que pour tout $\alpha \in I$, $f_\alpha|C$ est continue au point 0, donc il y a un $n \in \mathbf{N}$ tel que $f_\alpha$ soit bornée dans un $W_n$, donc majorée dans $C$ par une combinaison linéaire d’un nombre fini de fonctions $f_\beta|C$, où $\beta \in J$. Il en résulte que si $A$ est l’ensemble des $x \in C$ tels que $p(x) \leq 1$, $f_\alpha$ est bornée dans $A$ pour tout $\alpha \in I$. Comme $p$ est semi-continue inférieurement dans $C$, $A$ est fermé non vide dans $C$, et par suite compact. Comme il est clair que $p$ vérifie les conditions (i) et (ii) de la prop. 4 de II, p. 61, $A$ est un chapeau dans $C$ et contient $y$.

En vertu de la prop. 4 de II, p. 41, il existe un hyperplan fermé $H$ qui sépare strictement 0 et $K$. D’autre part, l’enveloppe convexe $A$ de la réunion de $\{0\}$ et de $K$ est compacte (II, p. 14, prop. 15), et c’est la réunion des $\lambda K$ pour $0 \leq \lambda \leq 1$. Comme 0 et $K$ sont strictement de part et d’autre de $H$, pour tout $x \in K$ il existe un $\lambda$ tel que $0 < \lambda < 1$ et $\lambda x \in H$. Comme $C$ est la réunion des $\lambda A$ pour $\lambda \geq 1$, on voit déjà que $H$ rencontre toute demi-droite d’origine 0 contenue dans $C$ et que $H \cap A = H \cap C$ est compact. En outre, $C$ est aussi la réunion des $\lambda(H \cap C)$ pour $\lambda \geq 0$; soit $C_n$ la réunion des $\lambda(H \cap C)$ pour $0 \leq \lambda \leq n$. Il est clair que $C_n$ est l’enveloppe convexe de la réunion de $\{0\}$ et de $n(H \cap C)$, donc est compact. En outre, pour tout $x \in E$, il existe un voisinage fermé $V$ de $x$ dans $E$ et un entier $n$ tels que $V \cap C \subset C_n$ : en effet, si $H$ est défini par l’équation $f(z) = \alpha$, où $\alpha > 0$, il suffit de prendre pour $V$ le demi-espace fermé déterminé par $nH$ et contenant 0, où n est pris assez grand pour que $n\alpha > f(x)$. Ceci montre que C est localement compact (en prenant $x \in C$), et qu’il est fermé dans E. D’ailleurs, on peut aussi considérer K comme une partie du complété $\hat{E}$, donc C est aussi fermé dans $\hat{E}$, et par suite complet.

On appelle semelle d’un cône C dans un espace vectoriel topologique séparé E l’intersection de C et d’un hyperplan fermé H ne contenant pas le sommet s de C, tel que C soit le plus petit cône de sommet s contenant H $\cap$ C. La prop. 6 montre que dans un espace localement convexe séparé E, le plus petit cône de sommet 0 contenant un ensemble compact convexe K auquel 0 n’appartient pas, est un cône à semelle compacte, et que tout cône convexe ayant une semelle compacte S est localement compact et complet.