Dùng $\mathscr{F}$ để chỉ họ các tập con X của A không rỗng, đóng, và sao cho mọi đoạn thẳng mở được chứa trong A và cắt X thì nhất thiết nằm trong X. Nó có các tính chất sau; (i) A thuộc $\mathscr{F}$. (ii) Một điểm $a \in A$ là sao cho $\{a\} \in \mathscr{F}$ khi, và chỉ khi, $a$ là một điểm cực biên của A. (iii) Mọi giao không rỗng X của một họ $(X_\alpha)$ các tập hợp thuộc $\mathscr{F}$ cũng thuộc $\mathscr{F}$.

Các tính chất (i), (ii) và (iii) suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa.

(iv) Cho $X \in \mathscr{F}$, và cho $h$ là một hàm lồi và nửa liên tục trên trong A; khi đó tập hợp Y các điểm của X tại đó hạn chế $h|X$ đạt cận trên của nó trong X là sao cho Y thuộc $\mathscr{F}$.

Vì $h|X$ là nửa liên tục trên trong X nên đạt cận trên $\alpha$ của nó trên X tại ít nhất một điểm của X (GT, IV, § 6.2, th. 3); do đó Y không rỗng, và nó cũng đóng (GT, IV, § 6.2, prop. 1). Mặt khác, lấy $x, y$ là hai điểm phân biệt của A và lấy $z = \lambda x + (1 - \lambda) y$ là một điểm của Y sao cho $0 < \lambda < 1$; vì $Y \subset X$ và $X \in \mathscr{F}$, ta có $x \in X$ và $y \in X$; mặt khác, vì $h$ là lồi, ta có

nhưng vì $h(x) \leq \alpha, h(y) \leq \alpha$ và $h(z) = \alpha$, tất yếu $h(x) = h(y) = \alpha$, nghĩa là $x \in Y$ và $y \in Y$. Vậy $Y \in \mathscr{F}$.

Sau khi đã thiết lập các tính chất này, gọi M là tập hợp các $x \in A$ tại đó $f$ đạt cận trên của nó trên A; theo (iv), $M \in \mathscr{F}$. Mặt khác, theo (iii) và thực tế rằng các tập hợp của $\mathscr{F}$ là các tập con đóng của tập compact A, suy ra $\mathscr{F}$ là quy nạp đối với quan hệ thứ tự $\supset$. Theo th. 2 của S, III, § 2.4, M chứa một tập con N là một phần tử cực tiểu của $\mathscr{F}$. Ta sẽ chỉ ra rằng N chỉ gồm một điểm và điều đó sẽ hoàn tất chứng minh của mệnh đề. Vì E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, chỉ cần chỉ ra rằng mọi dạng tuyến tính liên tục $u$ trên E đều là hằng trên N (II, p. 38, cor. 1). Bây giờ từ (iv) suy ra rằng tập $N'$ gồm các $x \in N$ tại đó $u|N$ đạt cận trên của nó trên N là sao cho $N'$ thuộc $\mathscr{F}$; vì N là cực tiểu trong $\mathscr{F}$ nên tất yếu ta có $N' = N$.

Thật vậy, nếu $f(x) = \alpha$ là một phương trình của H và $f(x) \leq \alpha$ trên A, thì chỉ cần áp dụng prop. 1 cho $f$.

Thật vậy, gọi C là bao lồi đóng của tập hợp các điểm cực biên của A; rõ ràng $C \subset A$. Để thấy rằng $A \subset C$, chỉ cần chứng minh rằng, nếu $u$ là một hàm tuyến tính afin, liên tục trên E và nếu $u(x) \geq 0$ trên C thì cũng có $u(x) \geq 0$ trên A (II, p. 39, cor. 4); nhưng điều này suy ra từ prop. 1 áp dụng cho $-u$.

Với mọi nửa không gian mở D của E chứa x, tập $A \cap \overline{D}$ là một lân cận compact của x trong A, và giao của mọi lân cận như vậy chính xác là điểm x (hai điểm phân biệt bất kỳ đều có thể được tách chặt bởi một siêu phẳng đóng (II, p. 38, prop. 4). Theo prop. 1 của GT, I, § 9.2, chỉ cần chứng minh rằng các tập $A \cap \overline{D}$ lập thành một cơ sở lọc. Bây giờ nếu ta viết $L_D = A \cap (E - D)$, thì tập $L_D$ là lồi, compact và được chứa trong tập lồi $A - \{x\}$; nếu $D_1, D_2$ là hai nửa không gian mở của E chứa x, thì bao lồi B của $L_{D_1} \cup L_{D_2}$ vì thế được chứa trong $A - \{x\}$; nhưng B là một tập compact (II, p. 14, prop. 15), do đó tồn tại một siêu phẳng đóng H tách chặt x khỏi B (II, p. 38, prop. 4) và nếu nửa không gian mở được xác định bởi H và chứa x là D, thì ta có $L_{D_1} \cup L_{D_2} \subset L_D$, do đó $A \cap \overline{D} \subset (A \cap \overline{D_1}) \cap (A \cap \overline{D_2})$.

a) A là bao lồi đóng của K.

b) K gặp mọi tập hợp là giao của A với một siêu phẳng tựa của nó.

c) K chứa tập hợp các điểm cực biên của A.

a) $\Rightarrow$ b). Giả sử rằng tồn tại một siêu phẳng tựa H của A có phương trình là $f(x) = \alpha$, sao cho $(H \cap A) \cap K = \varnothing$ và giả sử chẳng hạn rằng $f(x) \geq \alpha$ trên A. Vì $f(x) - \alpha > 0$ với mọi $x \in K$ theo giả thiết và vì K compact nên ta có

và do đó K được chứa trong nửa không gian đóng $f(x) \geq \beta$; vì thế điều tương tự cũng đúng cho bao lồi đóng A của K và điều này là phi lý.

b) $\Rightarrow$ c). Giả sử rằng một điểm cực biên x của A không thuộc K; tồn tại một lân cận V của x trong E sao cho $V \cap A \cap K = \varnothing$. Nhưng theo mệnh đề 2, ta có thể giả sử rằng V là một nửa-không-gian mở được xác định bởi một siêu phẳng H có phương trình $f(z) = \alpha$. Chẳng hạn nếu $f(x) > \alpha$, thì với mọi $y \in K$, ta có $f(y) \leq \alpha$, do đó K không cắt giao của A với siêu phẳng tựa $f(z) = \gamma > \alpha$ song song với H (II, p. 37, mệnh đề 2); điều này là vô lý.

c) $\Rightarrow$ a). Đây là một hệ quả hiển nhiên của định lý Krein-Milman.

Điều kiện này rõ ràng là cần thiết. Ngược lại, giả sử nó được thỏa mãn; giả sử rằng tồn tại một đường thẳng D' không chứa D, đi qua x₀ và sao cho D' ∩ C chứa một đoạn mở mà x₀ thuộc vào. Cho y ≠ 0 là một vectơ chỉ phương của D'; các giả thiết suy ra rằng điểm (1 + λ)x₀ + μy thuộc C với |λ| và |μ| đủ nhỏ. Nhưng khi đó, trong mặt phẳng P được xác định bởi D và D' và mang tôpô chính tắc, x₀ là một điểm trong của P ∩ C, và suy ra đường thẳng P ∩ H chứa một đoạn mở nằm trong H ∩ C và mà x₀ thuộc vào. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

a) Cho A là một mũ của C. Cho p là hạn chế lên C của hàm Minkowski của A (II, p. 20). Tập hợp các x ∈ C sao cho p(x) ≤ 1 là tập A. Hàm p là nửa liên tục dưới và có các tính chất sau: (i) Với mọi x, y trong C, ta có p(x + y) = p(x) + p(y). (ii) Với mọi x ∈ C và λ ∈ R_+^*, ta có p(λx) = λp(x). (iii) Nếu x ∈ C, hệ thức p(x) = 0 tương đương với x = 0.

b) Ngược lại, cho p là một hàm xác định trên C với giá trị trong [0, +∞], thỏa mãn các điều kiện (i), (ii) của a). Cho A là tập hợp các x ∈ C sao cho p(x) ≤ 1. Khi đó A và C − A là lồi. A là một mũ khi và chỉ khi A compact và không rỗng.

Mệnh đề b) là hiển nhiên. Các tính chất được phát biểu trong a) là các hệ quả của các nhận xét đứng trước mệnh đề 4 và của mệnh đề 22 của II, p. 20 và mệnh đề 23 của II, p. 20, trừ

Chỉ cần chứng minh điều sau cùng này khi x ≠ 0 và y ≠ 0; do đó ta có p(x) > 0, p(y) > 0. Cho μ, λ là hai số > 0 sao cho λ < p(x), μ < p(y), và ký hiệu phần bù của A trong C là B. Ta có x ∈ λB, y ∈ μB, do đó x + y ∈ λB + μB; theo tính lồi của B, ta có λB + μB ⊂ (λ + μ)B, do đó p(x + y) > λ + μ, điều này suy ra bất đẳng thức đã nêu ở trên.

Hiển nhiên 0 là một điểm cực biên của A. Cho x là một điểm trên L, một tia sinh cực biên của C, và sao cho p(x) = 1. Cho y, z là hai điểm của A sao cho x = $\frac{1}{2}(y + z)$. Vì L là cực biên, ta có y = λx và z = μx, trong đó λ và μ là các số ≥ 0 sao cho $\frac{1}{2}(\lambda + \mu) = 1$, $\lambda = \lambda p(x) = p(y) \leq 1$ và $\mu = \mu p(x) = p(z) \leq 1$, từ đó suy ra $\lambda = \mu = 1$ và do đó y = z = x; vậy x là một điểm cực biên của A. Ngược lại, cho x ≠ 0 là một điểm cực biên của A. Hiển nhiên p(x) = 1. Cho y, y' là hai điểm của C sao cho x = y + y', và ta sẽ chứng minh rằng y, y' tỉ lệ với x. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng các số $\lambda = p(y)$ và $\lambda' = p(y')$ là hữu hạn và > 0. Khi đó $\lambda^{-1}y \in A, {\lambda'}^{-1}y' \in A, \lambda + \lambda' = 1$ theo mệnh đề 4, (i), và đẳng thức $x = \lambda(\lambda^{-1}y) + \lambda'({\lambda'}^{-1}y')$ suy ra, theo giả thiết, rằng

Điều này suy ra ngay lập tức từ hệ quả 1 và định lý Krein-Milman (II, p. 55, đl. 1).

\* Ví dụ. — Cho X là một không gian compact địa phương và σ-compact. Cho C là một nón lồi đóng có đỉnh 0 trong $\mathscr{M}_+(X)$ với tôpô mơ hồ. Ta sẽ chứng minh rằng C là hợp của các thiết diện của nó. Cho $(X_n)$ là một dãy tăng các tập mở, compact tương đối của X mà hợp là X. Cho μ là một phần tử $\neq 0$ của C. Tồn tại các $\alpha_n > 0$ sao cho $\sum_n \alpha_n \mu(X_n) = 1$.

Với mọi độ đo $v \in C$, đặt $p(v) = \sum_n \alpha_n v(X_n) \in [0, +\infty]$. Hàm p trên C thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) của mệnh đề 4. Nó nửa liên tục dưới đối với tôpô mơ hồ (INT, IV, 2nd ed., § 1, No. 1, prop. 4). Do đó tập A gồm các $\gamma \in C$ sao cho $p(\gamma) \leq 1$ là đóng và khác rỗng. Mặt khác, mọi tập compact của X đều được chứa trong một trong các $X_n$, vì vậy A bị chặn theo tôpô mơ hồ nên cũng compact theo tôpô mơ hồ (INT, III, 2nd ed., § 1, No. 9, prop. 15). Vậy A là một thiết diện của C chứa μ. \*

Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề thứ nhất và từ hệ quả 2 ở trên. Dùng mệnh đề 11 của II, p. 52 đưa mệnh đề này về trường hợp $E = \mathbf{R}^l$ và $C \subset \mathbf{R}_+^l$. Với mọi $\alpha \in I$, ký hiệu phép chiếu $pr_\alpha$ trong E bởi $f_\alpha$; khi đó $f_\alpha$ là một dạng tuyến tính liên tục. Mặt khác, cho $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của 0 trong C. Theo định nghĩa của tôpô của E, với mỗi $n \in \mathbf{N}$, tồn tại một tập con hữu hạn $J_n$ của I và một số $\varepsilon_n > 0$ sao cho $V_n$ chứa tập $W_n$ gồm các $x \in C$ sao cho $f_\alpha(x) \leq \varepsilon_n$ với mọi $\alpha \in J_n$; đặt $J = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} J_n$. Cho $y \neq 0$ là một điểm của C, và p là hàm $\sum_{\alpha \in J} \lambda_\alpha (f_\alpha|C)$ trong đó các $\lambda_\alpha > 0$ được chọn sao cho $p(y) = 1$; điều này là có thể, vì nếu $f_\alpha(y) = 0$ với mọi $\alpha \in J$, thì $y \in V_n$ với mọi $n$, kéo theo $y = 0$, trái với giả thiết. Bây giờ ta nhận thấy rằng với mọi $\alpha \in I$, hàm $f_\alpha|C$ liên tục tại điểm 0, do đó tồn tại một $n \in \mathbf{N}$ sao cho $f_\alpha$ bị chặn trên một $W_n$, vì thế bị chặn trên trong C bởi một tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm $f_\beta|C$, với $\beta \in J$. Suy ra rằng nếu A là tập các $x \in C$ sao cho $p(x) \leq 1$, thì $f_\alpha$ bị chặn trong A với mọi $\alpha \in I$. Vì p nửa liên tục dưới trong C, suy ra A là đóng và khác rỗng trong C và do đó là compact. Vì hiển nhiên p kiểm tra các điều kiện (i) và (ii) của mệnh đề 4 của II, p. 58, ta thấy rằng A là một thiết diện trong C và chứa y.

Theo mệnh đề 4 của II, p. 38, tồn tại một siêu phẳng đóng $H$ tách 0 ra khỏi $K$ một cách nghiêm ngặt. Bây giờ, bao lồi $A$ của hợp của $\{0\}$ và của $K$ là compact (II, p. 14, mệnh đề 15) và là hợp của các $\lambda K$ với $0 \leq \lambda \leq 1$. Vì 0 và $K$ nằm hẳn ở hai phía đối của $H$, với mọi $x \in K$ tồn tại $\lambda$ sao cho $0 < \lambda < 1$ và $\lambda x \in H$. Vì $C$ là hợp của các $\lambda A$ với $\lambda \geq 1$, ta thấy rằng $H$ cắt mọi nửa đường thẳng gốc 0 được chứa trong $C$ và rằng $H \cap A = H \cap C$ là compact. Hơn nữa, $C$ cũng là hợp của các $\lambda(H \cap C)$ với $\lambda \geq 0$; gọi $C_n$ là hợp của các $\lambda(H \cap C)$ với $0 \leq \lambda \leq n$. Rõ ràng $C_n$ là bao lồi của hợp của $\{0\}$ và của $n(H \cap C)$, do đó nó là compact. Mặt khác, với mọi $x \in E$, tồn tại một lân cận đóng $V$ của $x$ trong $E$ và một số nguyên $n$ sao cho $V \cap C \subset C_n$; thật vậy, nếu $H$ được xác định bởi phương trình $f(z) = \alpha$, trong đó $\alpha > 0$, thì chỉ cần lấy $V$ là nửa không gian đóng được xác định bởi $nH$ và chứa 0, với $n$ đủ lớn để $n\alpha > f(x)$. Điều này cho thấy rằng $C$ là compact địa phương (lấy $x \in C$), và rằng nó đóng trong $E$. Ta cũng có thể xem $K$ như một tập con của không gian đầy đủ hóa $\hat{E}$, do đó $C$ cũng đóng trong $\hat{E}$ và vì vậy đầy đủ.

Cho một nón $C$ và một siêu phẳng đóng $H$ trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff $E$, sao cho $H$ không chứa đỉnh $s$ của $C$ và $C$ là nón nhỏ nhất có đỉnh $s$ chứa $H \cap C$, thì ta gọi giao $H \cap C$ là một « đáy » của nón $C$. Mệnh đề 6 cho thấy rằng trong một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$, nón nhỏ nhất có đỉnh 0, chứa một tập lồi compắc $K$ mà 0 không thuộc, là một nón có đáy compắc, và mọi nón lồi có một đáy compắc $S$ đều là compact địa phương và đầy đủ.