là các ánh xạ tuyến tính từ G vào đối ngẫu $F^*$ của F và từ F vào đối ngẫu $G^*$ của G, liên kết tương ứng với vế phải và với vế trái của B (A, IX, § 1.1). Khi đó B đặt F và G vào một thế đối ngẫu phân ly trong G (ứng. trong F), khi và chỉ khi $d_B$ (ứng. $s_B$) là đơn ánh.*

Khi F và G được đặt vào thế đối ngẫu phân ly bởi B, ta thường đồng nhất F (ứng. G) với một không gian con của $G^*$ (ứng. $F^*$) nhờ $s_B$ (ứng. $d_B$). Khi ta xét F (ứng. G) như một không gian con của $G^*$ (ứng. $F^*$) mà không nói rõ việc đồng nhất này được thực hiện như thế nào, thì ta luôn dùng các phép đồng nhất nói trên; khi đó dạng song tuyến tính B được đồng nhất với hạn chế lên $F \times G$ của dạng song tuyến tính chính tắc :

Đây là một trường hợp riêng của II, p. 3, mệnh đề 2.

Thật vậy, nói rằng dạng tuyến tính $f$ trên $F$ liên tục đối với $\sigma(F, G)$ có nghĩa là tồn tại một tập hợp hữu hạn các điểm $y_i \in G$ ($1 \leq i \leq n$) sao cho, với mọi $x$ trong $F$, $|f(x)| \leq \sup_{1 \leq i \leq n} |\langle x, y_i \rangle|$ (II, p. 6, mệnh đề 5). Do đó $n$ hệ thức $\langle x, y_i \rangle = 0$ ($1 \leq i \leq n$) suy ra $f(x) = 0$, và vì thế (A, II, § 7.5, hệ quả 1), tồn tại một tổ hợp tuyến tính $y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i$ sao cho $f(x) = \langle x, y \rangle$ với mọi $x \in F$. Tính duy nhất suy ra từ (D$_\text{II}$).

Nói cách khác, khi ngẫu đôi là phân ly trên $G$, và $F$ mang tôpô $\sigma(F, G)$, thì ta có thể đồng nhất $G$ một cách chính tắc với đối ngẫu của $F$ đối với tôpô này (II, p. 42, định nghĩa 1).

Khi dùng mệnh đề 3 và I, p. 13, định lý 1, tính chất này biểu thị sự kiện là đối với $\sigma(F, G)$ không có siêu phẳng đóng nào chứa tất cả các $a_i$; do đó hệ quả suy ra từ hệ quả 3 của II, p. 38.

Điều đó có nghĩa là, với mọi $i$, tồn tại một siêu phẳng đóng trong $\sigma(F, G)$, chứa mọi $a_\kappa$ có chỉ số $\kappa \neq i$ nhưng không chứa $a_i$.

Điều kiện này hiển nhiên là đủ; ngược lại, nếu $\sigma(F, G_2)$ mịn hơn $\sigma(F, G_1)$, thì mọi dạng tuyến tính liên tục đối với $\sigma(F, G_1)$ cũng liên tục đối với $\sigma(F, G_2)$, do đó $G_1 \subset G_2$ theo mệnh đề 3.

Điều này suy ra từ hệ quả 1.

(ii) Nếu M là một nón đỉnh 0, thì $M^\circ$ là một nón đỉnh 0 và nó cũng là tập hợp các $y \in G$ sao cho $\langle x, y \rangle \geq 0$ với mọi $x \in M$.

(iii) Nếu M là một không gian con vectơ của F, thì $M^\circ$ là một không gian con vectơ của G, và nó cũng là tập hợp các $y \in G$ sao cho $\langle x, y \rangle = 0$ với mọi $x \in M$.

(i) Vì các dạng tuyến tính $y \mapsto \langle x, y \rangle$ là liên tục đối với $\sigma(G, F)$ nên mệnh đề suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa và từ sự kiện rằng một nửa-không gian được xác định bởi một siêu phẳng là lồi.

(ii) Nếu M là một nón đỉnh 0 và nếu $x \in M, y \in M^\circ$, thì vì $\lambda x \in M$, với mọi $\lambda > 0$, ta có $\langle \lambda x, y \rangle \geq -1$, tức là $\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$. Vì điều này đúng với mọi $\lambda > 0$, suy ra $\langle x, y \rangle \geq 0$, và (ii) được chứng minh.

(iii) Tương tự, nếu M là một không gian con vectơ của F, thì các quan hệ $x \in M, y \in M^\circ$ lần này kéo theo rằng $\lambda \langle x, y \rangle \geq -1$ với mọi $\lambda$ thực, điều này chỉ có thể xảy ra nếu $\langle x, y \rangle = 0$.

Nếu M là một không gian con vectơ của F, ta nói rằng $M^\circ$ là trực giao của M trong G; nếu $G \subset F^*$, thì $M^\circ$ là giao của G và không gian con trực giao với M trong đối ngẫu đại số $F^*$ của F (A, II, § 2.4, định nghĩa 4).

Với một không gian con vectơ M của F và một không gian con vectơ N của G, ta nói rằng M và N trực giao nếu $M \subset N^o$ (hay, tương đương, nếu $N \subset M^\circ$).

Ta đã thấy rằng chỉ cần xét trường hợp $M$ là lồi và $0 \in M$. Ký hiệu bao đóng của $M$ trong tôpô $\sigma(F, G)$ bởi $\overline{M}$, khi đó $\overline{M}$ là một tập hợp lồi trong $F$; mệnh đề 4 của II, p. 44 cho thấy rằng $M^{\circ\circ} \supseteq \overline{M}$. Mặt khác nếu $a \in F$ không thuộc $\overline{M}$ thì tồn tại một siêu phẳng đóng $H$ trong $F$ phân tách chặt $a$ khỏi $\overline{M}$ (II, p. 38, mệnh đề 4); vì $H$ không chứa 0, nên tồn tại $y \in G$ sao cho $H$ có phương trình $\langle x, y \rangle = -1$ (II, p. 43, mệnh đề 3); do đó $\langle x, y \rangle > -1$ với mọi $x \in \overline{M}$ và $\langle a, y \rangle < -1$. Điều này kéo theo $y \in M^\circ$ và $a \notin M^{\circ\circ}$, và quan hệ $M^{\circ\circ} = \overline{M}$ được suy ra.

Thật vậy, nếu $N$ là bao lồi đóng này, thì

do đó $N = N^{\circ\circ} = M^\circ$.

Kết luận của hệ quả 1 không nhất thiết còn đúng nếu các $M_\alpha$ không lồi.

(i) *Các tập lồi đóng trong E là như nhau đối với tôpô $\mathscr{T}$ và đối với tôpô yếu $\sigma(E, E')$.

(ii) *Với mọi tập con M của E, tập cực $M^{\circ\circ}$ trong E của tập cực $M^\circ$ của M trong $E'$, là bao lồi đóng của $M \cup \{0\}$ đối với tôpô $\mathscr{T}$.

Rõ ràng, (ii) suy ra từ (i) và đ.l. 1. Từ định nghĩa của đối ngẫu $E'$, suy ra từ II, p. 43, mệnh đề 3 rằng các dạng tuyến tính liên tục trên E đối với tôpô $\mathscr{T}$ cũng chính là các dạng tuyến tính liên tục đối với $\sigma(E, E')$. Vì vậy các nửa-không gian đóng trong E là như nhau đối với $\mathscr{T}$ và đối với $\sigma(E, E')$ (II, p. 15, mệnh đề 17) và do đó mệnh đề (i) suy ra từ II, p. 38, hệ quả 1.

a) u liên tục đối với các tôpô yếu $\sigma(F, G)$ và $\sigma(F_1, G_1)$;

b) tồn tại một ánh xạ $v : G_1 \to G$ sao cho

với mọi $y \in F$ và $z \in G_1$.

Nếu các tính chất này đúng và nếu đối ngẫu giữa F và G tách được trên G, thì ánh xạ v thỏa mãn (1) là duy nhất, và v là tuyến tính.

Nếu u liên tục đối với các tôpô yếu, thì với mọi $z_1 \in G_1$, dạng tuyến tính $y \mapsto \langle u(y), z_1 \rangle$ trên F là liên tục đối với $\sigma(F, G)$, do đó (II, p. 43, mệnh đề 3) có thể viết dưới dạng $y \mapsto \langle y, v(z_1) \rangle$ với $v(z_1) \in G$, điều này cho thấy a) kéo theo b). Ngược lại, nếu b) đúng, thì với mọi $z_1 \in G_1$, dạng tuyến tính

là liên tục đối với $\sigma(F, G)$: từ định nghĩa của các tôpô yếu suy ra rằng u liên tục đối với $\sigma(F, G)$ và $\sigma(F_1, G_1)$ (I, p. 10, hệ quả 1). Tính duy nhất của v suy ra từ (D_{II}) và tính duy nhất này kéo theo rằng v là tuyến tính.

Chỉ cần hoán đổi $F$ và $F_1$ với $G$ và $G_1$ trong mệnh đề 5.

(ii) Ta có ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset (u^{-1}(A_1))^{\circ}$; hơn nữa, nếu $A$ đóng, lồi (đối với $\sigma(F_1, G_1)$), và chứa gốc tọa độ, thì ta có ${}^t u(A_1^{\circ}) = (u^{-1}(A_1))^{\circ}$.

Cho $z_1 \in G_1$, quan hệ $z_1 \in (u(A))^{\circ}$ tương đương với $\langle u(y), z_1 \rangle \geq -1$ với mọi $y \in A$, và quan hệ ${}^t u(z_1) \in A^{\circ}$ tương đương với $\langle y, {}^t u(z_1) \rangle \geq -1$ với mọi $y \in A$ và mệnh đề (i) của chúng ta suy ra bằng cách dùng (1). Tiếp theo, đổi chỗ $u$ và ${}^t u$ và áp dụng (i) cho tập hợp $A_1^{\circ}$ của $G_1$ ta được

từ đó, khi lấy cực,

Ta có ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset ({}^t u(A_1^{\circ}))^{\circ \circ}$ theo định lý lưỡng cực (II, p. 44, định lý 1); mệnh đề cuối cùng suy ra từ (2) và định lý lưỡng cực vì khi đó $A_1^{\circ \circ} = A_1$ và ${}^t u(A_1^{\circ})$ là lồi và chứa gốc.

Thật vậy, quan hệ $u(A) \subset A_1$ tương đương với $A \subset u^{-1}(A_1)$, do đó kéo theo

và ngược lại quan hệ ${}^t u(A_1^{\circ}) \subset A^{\circ}$ kéo theo

theo (2). Khi $A_1 = A_1^{\circ \circ}$, ta suy ra rằng $A \subset u^{-1}(A_1)$.

(3)

(4)

Giả sử rằng các đối ngẫu giữa $F$ và $G$ và giữa $F_1$ và $G_1$ là phân ly; khi đó $u(F)$ trù mật trong $F_1$ (đối với $\sigma(F_1, G_1)$), khi và chỉ khi ${}^t u$ là đơn ánh.

Áp dụng mệnh đề 6 với $A = F$ và $A_1 = \{0\}$, dùng thực tế rằng các tôpô yếu $\sigma(G, F)$ và $\sigma(F_1, G_1)$ là Hausdorff. Khẳng định cuối cùng suy ra từ (4), bằng cách đổi chỗ $u$ và $^t u$.

(i) *Tôpô $\sigma(M, G/N)$ đối với đối ngẫu này được cảm sinh bởi $\sigma(F, G)$ (và đặc biệt ta có $\sigma(F, G) = \sigma(F, G/F^\circ)$).

(ii) *Tôpô $\sigma(G/N, M)$ đối với đối ngẫu này thô hơn tôpô thương của $\sigma(G, F)$ theo $N$; các tôpô này đồng nhất khi và chỉ khi $M + G^\circ = N^\circ$.

(i) Mọi phần tử của $G/N$ là một lớp mod. $N$ của một phần tử của $G$; nếu $z_i (1 \leq i \leq n)$ là các phần tử của $G$ và $\dot{z}_i (1 \leq i \leq n)$ là lớp của $z_i$ trong $G/N$ thì tập các $y \in M$ sao cho $|\langle y, \dot{z}_i \rangle| \leq \alpha$ với $1 \leq i \leq n$ là vết trên $M$ của tập các $x \in F$ sao cho $|\langle x, z_i \rangle| \leq \alpha$ với $1 \leq i \leq n$; kết luận suy ra từ định nghĩa các lân cận của 0 đối với tôpô yếu.

(ii) Cho $p : G \to G/N$ là toàn cấu chính tắc. Ta chỉ ra rằng tôpô thương $\mathscr{T}$ của $\sigma(G, F)$ theo $N$ trùng với $\sigma(G/N, N^\circ)$. Vì với $z \in G, y \in N^\circ$, ta có $\langle y, p(z) \rangle = \langle y, z \rangle$, nên suy ra mọi lân cận của 0 đối với $\sigma(G/N, N^\circ)$ đều có dạng $p(V)$, trong đó $V$ là một lân cận của 0 đối với $\sigma(G, F)$ bão hòa theo quan hệ $z - z' \in N$, do đó $\mathscr{T}$ mịn hơn $\sigma(G/N, N^\circ)$. Ngược lại, cho $U = W(y_1, ..., y_n; \alpha)$ là một lân cận của 0 trong $G$ đối với $\sigma(G, F)$, trong đó $y_i \in F$ với $1 \leq i \leq n$ và $\alpha > 0$; ta sẽ thấy rằng với $1 \leq i \leq n$, tồn tại các phần tử $t_i \in N^\circ$ sao cho nếu đặt $U' = W(t_1, ..., t_n; \alpha)$, thì $p(U') \subset p(U)$; điều này sẽ chỉ ra rằng $\sigma(G/N, N^\circ)$ mịn hơn $\mathscr{T}$ và do đó thực ra trùng với $\mathscr{T}$. Bây giờ, gọi $L$ là không gian con vectơ của $F$ sinh bởi $N^\circ$ và các $y_i$, và ký hiệu bởi $P$ không gian con bù của $N^\circ$ trong $L$; nó có số chiều hữu hạn, giả sử bằng $m$. Gọi $(x_j)_{1 \leq j \leq m}$ là một cơ sở của $P$; các hạn chế lên $N$ của các dạng tuyến tính $x \mapsto \langle x_j, z \rangle$ là độc lập tuyến tính, vì nếu không thì tồn tại $x \neq 0$ trong $P$ sao cho $\langle x, z \rangle = 0$ với mọi $z \in N$, nghĩa là $x \in N^\circ$, điều này mâu thuẫn với định nghĩa của $P$. Vậy ta kết luận rằng với mọi $z' \in G$, tồn tại $s \in N$ sao cho $\langle x_j, z' \rangle = \langle x_j, s \rangle$ với mọi $j$; nếu $z' = z + s$, ta có $\langle x, z \rangle = 0$ với mọi $x \in P$. Như vậy, đặt $y_i = t_i + w_i$, trong đó $t_i \in N^\circ$ và $w_i \in P$; ta có $\langle y_i, z \rangle = \langle t_i, z \rangle = \langle t_i, z' \rangle$ với $1 \leq i \leq n$; do đó, với mọi $z' \in U'$, tồn tại $z \in U$ sao cho $z' - z \in N$, nghĩa là ta có $p(U') \subset p(U)$.

Trở lại trường hợp M là một không gian con bất kỳ của $N^\circ$, chú ý rằng hiển nhiên $\sigma(G/N, M) = \sigma(G/N, M + G^\circ)$; hơn nữa, từ mệnh đề 3 của II, p. 43, ta thấy rằng, nếu $y \in N^\circ$ sao cho dạng tuyến tính $\dot{z} \mapsto \langle y, \dot{z} \rangle$ liên tục đối với $\sigma(G/N, M)$, thì tất yếu $y \in M + G^\circ$. Ta kết luận rằng điều kiện $M + G^\circ = N^\circ$ là cần và đủ để tôpô thương $\mathscr{T}$ bằng $\sigma(G/N, M)$.

Điều này suy ra từ mệnh đề 7 khi đặt $N = M^\circ$, và nhớ lại rằng $M^{\circ \circ}$ là bao đóng của M đối với $\sigma(F, G)$ (II, p. 45, hệ quả 2).

Thật vậy, $G/M^0$ ở trong đối ngẫu phân ly với M; do đó nếu M có số chiều n thì $G/M^\circ$ cũng vậy (II, p. 41, ví dụ 1). Nếu M đóng, $F/M = F/M^{\circ \circ}$ ở trong đối ngẫu phân ly với $M^\circ$; do đó nếu F/M có số chiều n thì $M^\circ$ cũng vậy (II, p. 41, ví dụ 1).

Đặt $N = \operatorname{Im}(^t u) \subset G$; ta biết rằng $N^0 = \operatorname{Ker}(u)$ trong F (II, p. 47, công thức (3)). Cho $p : F \to F/N^\circ$ là ánh xạ chính tắc để u phân tích thành

trong đó w là đơn ánh. Các không gian $F/N^\circ$ và N ở trong đối ngẫu phân ly và theo công thức (1) của II, p. 48, ta có $\langle w(\dot{y}), z_1 \rangle = \langle \dot{y}, ^t u(z_1) \rangle$ với mọi $\dot{y} \in F/N^\circ$ và $z_1 \in G_1$. Quan hệ này cho thấy rằng w là một đẳng cấu của $F/N^\circ$, mang tôpô $\sigma(F/N^\circ, N)$, lên $u(F)$ với tôpô cảm sinh bởi $\sigma(F_1, G_1)$. Do đó kết luận suy ra từ hệ quả 1 và định nghĩa của một cấu xạ ngặt.

Thật vậy, nói rằng $u(F) = F_1$ tương đương với nói rằng $u(F)$ là đóng và trù mật khắp nơi trong $F_1$ đối với $\sigma(F_1, G_1)$; khi đó hệ quả 4 suy ra từ hệ quả 3 áp dụng cho $^t u$ và từ II, p. 47, hệ quả 2.