§ 8. Espaces localement convexes complexes

1. Espaces vectoriels topologiques sur C

Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps C des nombres complexes ; la topologie de E est aussi compatible avec la structure d’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ obtenue en restreignant à $\mathbf{R}$ le corps des scalaires. Nous désignerons par $E_0$ l’espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ sous-jacent à E (I, p. 2). On notera que, dans $E_0$ , l’application $x \mapsto ix$ (qui n’est pas une homothétie) est un automorphisme u de la structure d’espace vectoriel topologique de $E_0$ tel que $u^2(x) = -x$ .

Inversement, soit F un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ , et supposons qu’il existe un automorphisme u de F tel que $u^2 = -1_F$ ( $1_F$ automorphisme identique de F). On sait (A, IX, § 3, no 2) qu’on peut alors définir sur F une structure d’espace vectoriel par rapport à C, en posant, pour tout $\lambda = \alpha + i\beta \in C$ et tout $x \in F$ , $\lambda x = \alpha x + \beta u(x)$ . En outre, l’application $(\alpha, \beta, x) \mapsto \alpha x + \beta u(x)$ de $\mathbf{R}^2 \times F$ dans F étant continue, la topologie de F est compatible avec la structure d’espace vectoriel par rapport à C ainsi définie ; si E désigne l’espace vectoriel topologique sur C défini de cette manière, F est l’espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ sous-jacent à E.

Remarque

Étant donné un espace vectoriel topologique F sur $\mathbf{R}$ , il n’existe pas toujours d’automorphisme u de F de carré $-1_F$ : par exemple, on ne peut pas définir de structure d’espace vectoriel par rapport à C sur un espace vectoriel de dimension finie impaire par rapport à $\mathbf{R}$ .

Soient E un espace vectoriel topologique sur C, $E_0$ l’espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ sous-jacent à E. Toute variété linéaire M dans E est aussi une variété linéaire dans $E_0$ , la réciproque étant inexacte. Pour éviter toute confusion, on dira qu’une variété linéaire pour une structure d’espace vectoriel par rapport à $\mathbf{C}$ (resp. par rapport à $\mathbf{R}$ ) est une variété linéaire complexe (resp. réelle). Une variété linéaire complexe de dimension finie $n$ (resp. de codimension finie $n$ ) est une variété linéaire réelle de dimension $2n$ (resp. de codimension $2n$ ). Pour qu’un sous-espace vectoriel réel $M$ de $E$ soit aussi un sous-espace vectoriel complexe, il faut et il suffit que $iM \subset M$ .

Rappelons que, si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels topologiques sur $\mathbf{C}$ , une application de $E$ dans $F$ est dite $\mathbf{C}$ -linéaire (resp. $\mathbf{R}$ -linéaire) si elle est une application linéaire pour les structures d’espace vectoriel de $E$ et de $F$ par rapport à $\mathbf{C}$ (resp. $\mathbf{R}$ ) ; toute application $\mathbf{C}$ -linéaire est évidemment $\mathbf{R}$ -linéaire, la réciproque étant inexacte. Par abus de langage, une forme $\mathbf{C}$ -linéaire sur $E$ sera dite forme linéaire complexe, et une forme $\mathbf{R}$ -linéaire sur $E$ (c’est-à-dire une forme linéaire sur $E_0$ ) sera dite forme linéaire réelle. Si $f$ est une forme linéaire complexe sur $E$ , il est clair que la partie réelle $g = \Re f$ et la partie imaginaire $h = \Im f$ de $f$ sont des formes linéaires réelles ; en outre, la relation $f(ix) = if(x)$ entraîne l’identité $h(x) = -g(ix)$ ; autrement dit, on a

f(x) = (\Re f)(x) - i(\Re f)(ix).

Inversement, si $g$ est une forme linéaire réelle sur $E$ , $f(x) = g(x) - ig(ix)$ est l’unique forme linéaire complexe sur $E$ telle que $\Re f = g$ ; pour que $f$ soit continue dans $E$ , il faut et il suffit évidemment que $g$ le soit.

Soit maintenant $H$ un hyperplan complexe dans $E$ , d’équation $f(x) = \alpha + i\beta$ , $f$ étant une forme linéaire complexe sur $E$ ; en posant $g = \Re f$ , on voit que $H$ est l’intersection des deux hyperplans réels $H_1$ , $H_2$ d’équations respectives $g(x) = \alpha$ et $g(ix) = -\beta$ ; si $H$ est fermé, il en est de même de $H_1$ et $H_2$ (I, p. 13, th. 1). Inversement, soit $H_0$ un hyperplan réel homogène, d’équation $g(x) = 0$ (g forme linéaire réelle sur $E$ ) ; l’intersection $H$ de $H_0$ et de $iH_0$ est un hyperplan complexe homogène, et si $f$ est la forme linéaire complexe telle que $\Re f = g$ , $f(x) = 0$ est une équation de $H$ ; si $H_0$ est fermé, il en est de même de $H$ .

Soit $G$ un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{R}$ , et soit $G_{(C)}$ l’espace vectoriel sur $\mathbf{C}$ déduit de $G$ par extension à $\mathbf{C}$ du corps des scalaires (A, II, p. 82). Identifions $G$ à un sous-ensemble de $G_{(C)}$ par l’application $x \mapsto 1 \otimes x$ . L’application $\mathbf{R}$ -linéaire $(x, y) \mapsto x + i.y$ est alors une bijection de $G \times G$ sur $G_{(C)}$ , par laquelle on transporte à $G_{(C)}$ la topologie produit de $G \times G$ . Muni de cette topologie, $G_{(C)}$ est alors un espace vectoriel topologique sur $\mathbf{C}$ . On dira que $G_{(C)}$ est l’*espace vectoriel topologique complexifié de* $G$ .

2. Espaces localement convexes complexes

Dans un espace vectoriel complexe $E$ , dire qu’une partie $A$ de $E$ est équilibrée signifie que, pour tout $x \in A$ , on a $\rho x \in A$ pour $0 \leq \rho \leq 1$ , et $e^{i\vartheta}x \in A$ pour tout $\vartheta$ réel.

On dit qu’une partie A de E est convexe si elle est convexe dans l’espace vectoriel réel $E_0$ sous-jacent à E. Pour qu’une partie convexe $A \neq \varnothing$ de E soit équilibrée, il suffit que l’on ait $e^{i\theta}A \subset A$ pour tout $\theta$ réel ; en effet, cela entraîne d’abord $-A = A$ ; comme A est symétrique, 0 appartient à A, et par suite $\rho A \subset A$ pour $0 \leq \rho \leq 1$ .

Soit E un espace vectoriel topologique complexe. Le plus petit ensemble convexe équilibré (resp. fermé, convexe et équilibré) contenant une partie A de E est appelé l'*enveloppe convexe équilibrée* (resp. l'*enveloppe fermée convexe équilibrée*) de A ; l’enveloppe fermée, convexe et équilibrée de A est l’adhérence de l’enveloppe convexe équilibrée de A. Cette dernière est l’enveloppe convexe de la réunion des ensembles $e^{i\theta}A$ ; on peut donc la définir comme l’ensemble des combinaisons linéaires $\sum_i \lambda_i x_i$ , où $(x_i)$ est une famille finie quelconque de points de A, et $(\lambda_i)$ une famille de nombres complexes telle que $\sum_i |\lambda_i| \leq 1$ . Si A est précompact, il en est de même de son enveloppe équilibrée (I, p. 6, prop. 3).

On dit qu’un espace vectoriel topologique complexe E est localement convexe si l’espace vectoriel topologique réel sous-jacent $E_0$ est localement convexe, c’est-à-dire si tout voisinage de 0 dans E contient un voisinage convexe de 0 ; une topologie $\mathscr{T}$ sur E est dite localement convexe si elle est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E (par rapport à $\mathbf{C}$ ) et si E, muni de $\mathscr{T}$ , est localement convexe. Comme tout voisinage fermé convexe V de 0 contient alors un voisinage équilibré W de 0 (I, p. 7, prop. 4), il contient aussi son enveloppe fermée, convexe et équilibrée U ; autrement dit, les voisinages de 0 fermés, convexes et équilibrés forment un système fondamental de voisinages de 0 dans E, invariant par toute homothétie de rapport $\neq 0$ .

Réciproquement, soit E un espace vectoriel complexe, et soit $\mathfrak{S}$ une base de filtre sur E formée de parties convexes, équilibrées et absorbantes. On sait alors (II, p. 25, prop. 1) que l’ensemble $\mathfrak{B}$ des transformés des ensembles de $\mathfrak{S}$ par les homothéties de rapport $> 0$ est un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie localement convexe $\mathscr{T}$ sur l’espace vectoriel réel $E_0$ sous-jacent à E. En outre, comme les ensembles de $\mathfrak{B}$ sont équilibrés, ils sont invariants par toute homothétie $x \mapsto e^{i\theta}x$ , ce qui prouve que $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure d’espace vectoriel de E (sur $\mathbf{C}$ ) (I, p. 7, prop. 4).

Toute topologie localement convexe sur un espace vectoriel complexe E peut être définie par un ensemble de semi-normes, car la jauge d’un voisinage ouvert, convexe et équilibré de 0 est une semi-norme sur E.

Les notions et résultats relatifs aux espaces localement convexes réels exposés dans II, p. 27 à p. 38, s’étendent aux espaces localement convexes complexes, sans autre modification que le remplacement des ensembles convexes symétriques par les ensembles convexes équilibrés.

On dit qu’un espace localement convexe complexe est un espace de Fréchet lorsqu’il est métrisable et complet.

3. Le théorème de Hahn-Banach et ses applications

Théorème 1 (Hahn-Banach)

Soient $p$ une semi-norme sur un espace vectoriel complexe $E$ , $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ , $f$ une forme linéaire (complexe) sur $V$ telle que $|f(y)| \leq p(y)$ pour tout $y \in V$ . Alors il existe une forme linéaire $f_1$ sur $E$ prolongeant $f$ et telle que $|f_1(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$ .

En effet, $g = \Re f$ est une forme linéaire réelle définie dans $V$ et satisfaisant à $|g(y)| \leq p(y)$ en tout point de $V$ ; il existe donc une forme linéaire réelle $g_1$ définie dans $E$ , prolongeant $g$ et telle que $|g_1(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$ (II, p. 24, cor. 1). Soit $f_1(x) = g_1(x) - ig_1(ix)$ la forme linéaire complexe sur $E$ dont $g_1$ est la partie réelle (II, p. 65). Pour tout $\vartheta$ réel, on a

|\Re(e^{i\vartheta}f_1(x))| = |\Re(f_1(e^{i\vartheta}x))| = |g_1(e^{i\vartheta}x)| \leq p(e^{i\vartheta}x) = p(x)

puisque $p$ est une semi-norme sur l’espace complexe $E$ ; ceci entraîne la relation $|f_1(x)| \leq p(x)$ , ce qui démontre le théorème.

Corollaire 1

Soient $E$ un espace vectoriel topologique complexe, $x_0$ un point de $E$ , $p$ une semi-norme continue dans $E$ ; il existe une forme linéaire continue (complexe) $f$ définie dans $E$ , telle que $f(x_0) = p(x_0)$ et que $|f(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$ .

Corollaire 2

Soient $E$ un espace localement convexe complexe, $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ , $f$ une forme linéaire (complexe) définie et continue dans $V$ ; il existe alors une forme linéaire continue $f_1$ définie dans $E$ et prolongeant $f$ . Si $E$ est normé, il existe une telle forme $f_1$ telle que $\|f_1\| = \|f\|$ .

Corollaire 3

Soient $E$ un espace localement convexe complexe séparé, $M$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Il existe alors un sous-espace vectoriel fermé $N$ de $E$ , supplémentaire topologique de $M$ dans $E$ .

Les démonstrations à partir du th. 1 sont les mêmes que celles de II, p. 24, cor. 2, p. 25, cor. 3, p. 26, prop. 2 et p. 27, cor. 2.

Proposition 1

Soient $E$ un espace vectoriel topologique complexe, $A$ un ensemble ouvert convexe non vide dans $E$ , $M$ une variété linéaire (complexe) non vide ne rencontrant pas $A$ . Il existe alors un hyperplan complexe fermé $H$ contenant $M$ et ne rencontrant pas $A$ .

On peut se borner au cas où $0 \in M$ . Alors il existe un hyperplan réel fermé $H_0$ contenant $M$ et ne rencontrant pas $A$ (II, p. 39, th. 1). Comme $M = iM$ , l’hyperplan complexe fermé $H = H_0 \cap (iH_0)$ répond à la question.

Corollaire

Dans un espace localement convexe complexe $E$ , toute variété linéaire complexe fermée $M$ est l’intersection des hyperplans complexes fermés qui la contiennent.

En effet, pour tout $x \notin M$ , il existe un voisinage ouvert convexe $V$ de $x$ ne rencontrant pas M, donc un hyperplan complexe fermé H contenant M et ne rencontrant pas V ; a fortiori H ne contient pas x.

Proposition 2

Soient E un espace vectoriel topologique complexe, A un ensemble ouvert convexe équilibré non vide, B un ensemble convexe non vide ne rencontrant pas A. Il existe alors une forme linéaire complexe continue f sur E et un nombre α > 0 tels que l’on ait |f(x)| < α dans A et |f(y)| ≥ α dans B.

En effet, il existe une forme linéaire continue réelle g sur E et un nombre réel α tels que g(x) < α dans A et g(y) ≥ α dans B (II, p. 40, prop. 1). Comme 0 ∈ A, on a α > 0. Montrons que la forme linéaire complexe continue f(x) = g(x) − ig(ix) et le nombre α répondent à la question. En effet, comme $\Re f = g$ , on a $|f(y)| \geq \alpha$ dans B. D’autre part, pour tout $x \in A$ et tout θ réel, $e^{i\theta}x$ appartient à A, puisque A est équilibré, et l’on a $f(x) = e^{-i\theta}f(e^{i\theta}x)$ ; il existe alors un nombre θ tel que $|f(x)| = \Re(e^{i\theta}f(x)) = g(e^{i\theta}x) < \alpha$ , d’où la proposition.

Proposition 3

Soient E un espace localement convexe complexe, A un ensemble fermé convexe équilibré dans E, K un ensemble convexe compact non vide dans E, ne rencontrant pas A. Il existe alors une forme linéaire complexe continue f sur E et un nombre α > 0 tels que l’on ait |f(x)| < α dans A et |f(y)| > α dans K.

La proposition se déduit de II, p. 41, prop. 4 comme la prop. 2 se déduisait de II, p. 40, prop. 1.

4. Topologies faibles sur les espaces vectoriels complexes

Les définitions et résultats du § 6, n°s 1 et 2 (II, p. 43 à 47), s’appliquent sans changement aux espaces vectoriels complexes. Si F et G sont deux espaces vectoriels complexes en dualité par une forme bilinéaire B, les espaces réels sous-jacents $F_0, G_0$ sont en dualité par $\Re B$ , et il résulte de II, p. 65, formule (1) que les topologies faibles $\sigma(F, G)$ et $\sigma(F_0, G_0)$ sont identiques.

Définition 1

Soient F et G deux espaces vectoriels complexes en dualité. Pour toute partie M de F, on appelle polaire de M dans G et on note $M^\circ$ l’ensemble des $y \in G$ tels que l’on ait $\Re(\langle x, y \rangle) \geq -1$ pour tout $x \in M$ .

Si l’on note $M^\circ$ le polaire de $M \subset F$ dans G, on a encore $(\lambda M)^\circ = \lambda^{-1}M^\circ$ pour tout $\lambda \in \mathbf{C}^*$ .

Si M est un sous-espace vectoriel (complexe) de E, $M^\circ$ est un sous-espace vectoriel fermé (pour $\sigma(G, F)$ ), la relation $\Re(\lambda \langle x, y \rangle) \geq -1$ pour tout scalaire $\lambda \in \mathbf{C}$ entraînant $\langle x, y \rangle = 0$ ; on dit encore que $M^\circ$ est le sous-espace de G orthogonal à M.

Si M est une partie équilibrée de F, $M^\circ$ est une partie équilibrée de G ; c’est dans ce cas l’ensemble des $y \in G$ tels que $|\langle x, y \rangle| \leq 1$ pour tout $x \in M$ ; en effet, cette relation équivaut à $\Re(\langle \zeta x, y \rangle) \leq 1$ pour tout $x \in M$ et tout $\zeta \in \mathbf{C}$ tel que $|\zeta| = 1$ .

Les résultats de II, p. 47 à p. 55 sont alors valables sans restriction pour les espaces vectoriels complexes.

Exercises

Exercices

See the exercises for § 8.