Rõ ràng $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc thỏa mãn (EV_I) và (EV_{II}) của I, p. 7, mệnh đề 4; nó cũng thỏa mãn (EV_{III}) vì nếu $V \in \mathfrak{S}$ thì $\frac{1}{2}V + \frac{1}{2}V = V$.

Chú ý rằng nếu $\mathscr{T}$ là tôpô lồi địa phương trên E có $\mathfrak{B}$ làm hệ lân cận cơ bản của 0, thì các tập hợp $(1/n) \ V$, trong đó $n$ biến thiên trong các số nguyên $> 0$ và V biến thiên trong $\mathfrak{S}$, tạo thành một hệ lân cận cơ bản của 0 đối với tôpô $\mathscr{T}$. Khi đó $\mathscr{T}$ là Hausdorff khi và chỉ khi, với mọi $x \neq 0$ trong E, tồn tại một số nguyên $n$ và một tập hợp $V \in \mathfrak{S}$, sao cho $nx \notin V$; hơn nữa, nếu $\mathfrak{S}$ là đếm được, thì tôpô $\mathscr{T}$ là một tôpô lồi địa phương có thể mêtric hóa. Ngược lại, rõ ràng rằng nếu $\mathscr{T}$ là một tôpô lồi địa phương có thể mêtric hóa, thì tồn tại một hệ lân cận cơ bản đếm được gồm các lân cận đóng, đối xứng, lồi của 0 đối với $\mathscr{T}$.

Điều kiện là cần thiết vì mọi nửa chuẩn trên E đều là một hàm lồi, và do đó, với $\alpha > 0$, tập hợp các $x \in E$ sao cho $p(x) \leq \alpha$, là lồi (II, p. 17, hệ quả). Ngược lại, nếu V là một lân cận đối xứng, đóng, lồi của 0 trong E, thì hàm gauge $p$ của V là một nửa chuẩn trên E sao cho V là tập hợp các điểm $x$ của E thỏa mãn $p(x) \leq 1$ (II, p. 20, mệnh đề 23).

Điều này còn cho thấy rằng một tôpô lồi địa phương $\mathscr{T}$ được xác định bởi tập hợp tất cả các nửa chuẩn liên tục đối với $\mathscr{T}$. Hơn nữa, nếu $\mathscr{T}$ có thể mêtric hóa, thì nó được xác định bởi một tập hợp đếm được các nửa chuẩn.

Từ hệ quả của mệnh đề 1, tất cả các kết quả của § 1 về các tôpô được xác định bởi các tập hợp nửa chuẩn đều áp dụng đặc biệt cho các tôpô lồi địa phương trên các không gian vectơ thực. Một không gian Hausdorff lồi địa phương E có một phép hoàn thành $\hat{E}$ cũng lồi địa phương. Một không gian lồi địa phương đầy đủ, có thể mêtric hóa được gọi là một không gian Fréchet; mọi không gian Banach đều là một không gian Fréchet.

Từ hệ quả trên và II, p. 7, hệ quả 2, tồn tại một nửa chuẩn liên tục $p$ trên E, sao cho $|f(y)| \leq p(y)$ với mọi $y \in M$. Theo định lý Hahn-Banach (II, p. 23, hệ quả 1), tồn tại một dạng tuyến tính $h$ trên E mở rộng $f$ và sao cho $|h(x)| \leq p(x)$ với mọi $x \in E$, và điều này suy ra rằng $h$ liên tục (II, p. 6, mệnh đề 5).

Áp dụng mệnh đề 2 cho không gian vectơ một chiều M sinh bởi $x_0$ và cho dạng tuyến tính $\xi x_0 \mapsto \xi$ xác định trên M, mà theo I, p. 12, mệnh đề 2, là liên tục.

Tồn tại một phần bù tôpô của M trong E nếu, và chỉ nếu, ánh xạ đồng nhất của M lên chính nó có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục của E lên M, và ánh xạ đó khi ấy tất yếu là một phép chiếu liên tục (GT, III, § 6.2, hệ quả). Điều này suy ra từ nhận xét trên vì M đẳng cấu với một không gian $\mathbf{R}^n$ (I, p. 13, định lý 2).

Cho A là một tập tiền compact trong E. Với V, một lân cận lồi cân bằng của 0 trong E, tồn tại hữu hạn nhiều điểm $a_i \in A$ ($1 \leq i \leq n$) sao cho A được chứa trong S, là hợp của các lân cận $a_i + V$ ($1 \leq i \leq n$). Do đó C, bao lồi cân bằng của A, được chứa trong T, bao lồi cân bằng của S; nhưng T được chứa trong B + V, trong đó B ký hiệu bao lồi của tập hữu hạn các điểm $a_i, -a_i$ ($1 \leq i \leq n$). Bây giờ B là tiền compact (II, p. 14, hệ quả 2); suy ra tồn tại hữu hạn nhiều điểm $b_k \in B$ ($1 \leq k \leq m$) sao cho $B_k$ được chứa trong hợp của các lân cận $b_k + V$. Khi đó C được chứa trong hợp của các lân cận $b_k + 2V$, và mệnh đề được chứng minh.

Chú ý rằng, trong một không gian Hausdorff lồi địa phương vô hạn chiều, bao lồi của một tập compact không nhất thiết đóng (II, p. 74, bài tập 3).

Vì bao này là một tập con đóng của một không gian đầy đủ, nên nó đầy đủ, nhưng nó cũng tiền compact và Hausdorff.

Tuy nhiên, trong một không gian Hausdorff lồi địa phương không đầy đủ, bao lồi đóng của một tập compact không nhất thiết compact (II, p. 87, bài tập 2).

Dùng II, p. 24, hệ quả, đây là một trường hợp riêng của tính chất tương ứng đối với các tôpô được xác định bởi nửa chuẩn (II, p. 5).

Đặc biệt, mọi không gian con vectơ của một không gian lồi địa phương, và mọi không gian tích của các không gian lồi địa phương, đều lồi địa phương. Mọi giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa phương đều lồi địa phương.

Mọi tích đếm được của các không gian Fréchet (và đặc biệt mọi tích đếm được của các không gian Banach) đều là một không gian Fréchet.

Mọi không gian Hausdorff lồi địa phương E đều đẳng cấu với một không gian con của một tích các không gian Banach và không gian con này đóng nếu E đầy đủ (II, p. 5, mệnh đề 3). Mọi không gian Fréchet đều đẳng cấu với một không gian con đóng của một tích đếm được các không gian Banach (loc. cit.).

(i) Ký hiệu $\mathfrak{B}$ là họ các tập con hấp thụ, đối xứng, lồi V của E sao cho $g_\alpha^{-1}(V)$ là một lân cận của 0 trong $F_\alpha$ với mọi $\alpha$; họ $\mathfrak{B}$ là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong E đối với một tôpô $\mathscr{T}$ tương thích với cấu trúc không gian vectơ.

(ii) Một ánh xạ tuyến tính f của E vào một không gian lồi địa phương G (tương ứng, một nửa chuẩn p trên E) là liên tục đối với $\mathscr{T}$ khi và chỉ khi, với mọi chỉ số $\alpha$, $f \circ g_\alpha$ (tương ứng, $p \circ g_\alpha$) là liên tục trên $F_\alpha$.

(iii) Tôpô $\mathscr{T}$ là tôpô mịn nhất trong các tôpô lồi địa phương trên E sao cho các $g_\alpha$ liên tục.

Hơn nữa, tôpô $\mathscr{T}$ là tôpô lồi địa phương duy nhất trên E thỏa mãn điều kiện (ii) đối với các ánh xạ tuyến tính (tương ứng, đối với các nửa chuẩn).

Vì $\mathfrak{B}$ là một cơ sở lọc bất biến đối với các phép vị tự có tỉ số > 0, mệnh đề (i) suy ra ngay lập tức từ II, p. 23, mệnh đề 1. Theo định nghĩa của $\mathfrak{B}$, tôpô $\mathscr{T}$ là tôpô lồi địa phương mịn nhất trên E làm cho các $g_\alpha$ liên tục; do đó (iii). Cuối cùng, rõ ràng rằng nếu $f$ liên tục thì $f \circ g_\alpha$ cũng liên tục; ngược lại, nếu các $f \circ g_\alpha$ liên tục với mọi $\alpha$, thì với mỗi lân cận lồi đối xứng W của 0 trong G, tập $g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$ là một lân cận của 0 trong $F_\alpha$ với mỗi $\alpha$. Khi đó $f^{-1}(W)$ là hấp thụ, đối xứng và lồi, do đó $f^{-1}(W)$ là một lân cận của 0 trong $\mathscr{T}$, và $f$ liên tục. Tương tự, nếu $p$ là một nửa chuẩn trên E sao cho $p \circ g_\alpha$ liên tục với mọi $\alpha$, và nếu U là tập hợp các điểm $x \in E$ sao cho $p(x) < 1$, thì, với mọi $\alpha$, tập $g_\alpha^{-1}(U)$ là một lân cận lồi của 0 trong $E_\alpha$ đối xứng và hấp thụ; do đó U là một lân cận của 0 trong E và $p$ liên tục (II, p. 2, mệnh đề 1).

Mệnh đề cuối cùng suy ra từ S, IV, § 2.5, tiêu chuẩn CST 18.

Ta nói rằng $\mathscr{T}$ là tôpô cuối lồi địa phương của họ các tôpô $\mathscr{T}_\alpha$ của các $F_\alpha$, đối với họ các ánh xạ tuyến tính $g_\alpha$.

Có thể xảy ra rằng $\mathscr{T}$ không phải là tôpô mịn nhất trong các tôpô trên E tương thích với cấu trúc không gian vectơ của nó và làm cho các $f_\alpha$ liên tục (II, p. 75, bài tập 15; xem thêm II, p. 75, bài tập 14).

Trong trường hợp quan trọng nhất $E = \sum_{\alpha \in A} g_\alpha(F_\alpha)$, ta có một hệ cơ sở các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$ như sau; với mỗi $\alpha \in A$, lấy $V_\alpha$ là một lân cận đối xứng của 0 đối với $\mathscr{T}_\alpha$, lập hợp của các $g_\alpha(V_\alpha)$ với $\alpha \in A$ và ký hiệu bao lồi trong E của hợp này bởi $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$; vì mọi phần tử của E đều có dạng $\sum_{\alpha \in J} x_\alpha$, trong đó J là một tập con hữu hạn của I và $x_\alpha \in g_\alpha(F_\alpha)$, nên ngay lập tức $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$ là một tập lồi đối xứng hấp thụ trong E (mỗi $V_\alpha$ đều hấp thụ trong $F_\alpha$); vì $\Gamma((g_\alpha(V_\alpha)))$ chứa tất cả các $g_\alpha(V_\alpha)$, nên nó là một lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$. Mặt khác, rõ ràng rằng với mọi lân cận lồi đối xứng V của 0 đối với $\mathscr{T}$, ta có $V \supset \Gamma((V \cap g_\alpha(F_\alpha)))$, từ đó suy ra mệnh đề của chúng ta.

Nhắc lại I, p. 9, Mệnh đề 6, lập luận tương tự như lập luận của (ii) Mệnh đề 5. Cho W là một lân cận lồi đối xứng của 0 trong G và chú ý rằng nếu họ $f \circ g_\alpha$, trong đó $f \in H$ là liên tục đều, thì giao $\bigcap_{f \in H} g_\alpha^{-1}(f^{-1}(W))$ là một lân cận lồi đối xứng của 0 trong $F_\alpha$. Vì giao này chính là $g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$ và tập hợp $\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W)$ là đối xứng và lồi, nên mọi việc quy về việc chứng minh rằng nó còn hấp thụ. Theo giả thiết, mọi $x \in E$ đều có thể viết dưới dạng $\sum_{i=1}^n g_{\alpha_i}(z_{\alpha_i})$, trong đó $z_{\alpha_i} \in F_{\alpha_i}$. Để chứng minh rằng tồn tại $\lambda > 0$ sao cho $f(\lambda x) \in W$ với mọi $f \in H$, chỉ cần xét trường hợp $x = g_\alpha(z_\alpha)$ với $z_\alpha \in F_\alpha$ (vì có thể chuyển sang trường hợp tổng quát bằng cách thay thế W bởi $W/n$). Nhưng trường hợp này suy ra từ việc $g_\alpha^{-1}(\bigcap_{f \in H} f^{-1}(W))$ là một lân cận của 0 trong $F_\alpha$.

Đây là một trường hợp riêng của tiêu chuẩn CST 19, S, IV, § 2.5, và cũng có thể được chứng minh trực tiếp bằng Mệnh đề 5.

Các tôpô cuối lồi địa phương.

I. Không gian thương.

Cho M là một không gian con của không gian lồi địa phương F, và φ là ánh xạ chính tắc từ F lên F/M. Vì tôpô thương trên F/M là lồi địa phương và là mịn nhất trong tất cả các tôpô (lồi địa phương hay không) làm cho φ liên tục, nên nó cũng là tôpô cuối lồi địa phương đối với họ gồm ánh xạ duy nhất φ.

II. Giới hạn quy nạp của các không gian lồi địa phương.

Cho A là một tập hợp có thứ tự có hướng sang phải và $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$ là một hệ quy nạp các không gian vectơ tương ứng với tập A (A, II, § 6.2); cho $E = \varinjlim E_\alpha$ và với mỗi $\alpha \in A$, cho $f_\alpha : E_\alpha \to E$ là ánh xạ tuyến tính chính tắc. Giả sử mỗi $E_\alpha$ mang một tôpô lồi địa phương $\mathscr{T}_\alpha$, và hơn nữa giả sử rằng với $\alpha \leq \beta$, ánh xạ $f_{\beta\alpha} : E_\alpha \to E_\beta$ là liên tục. Khi đó ta nói rằng tôpô cuối lồi địa phương $\mathscr{T}$ của họ $(\mathscr{T}_\alpha)$ tương ứng với các ánh xạ tuyến tính $f_\alpha$ (tương ứng, không gian E mang tôpô $\mathscr{T}$) là giới hạn quy nạp của họ $(\mathscr{T}_\alpha)$ (tương ứng, không gian giới hạn quy nạp của hệ $(E_\alpha, f_{\beta\alpha})$, hay đơn giản là của các không gian lồi địa phương $E_\alpha$). Nhắc lại rằng E là hợp của các không gian con vectơ $f_\alpha(E_\alpha)$ và rằng khi $\alpha \leq \beta$, ta có $f_\alpha(E_\alpha) \subset f_\beta(E_\beta)$; nếu ta trang bị cho $f_\alpha(E_\alpha)$ tôpô cuối đối với ánh xạ $f_\alpha$ (điều đó tương đương với việc đồng nhất $f_\alpha(E_\alpha)$ với không gian thương $E_\alpha/f_\alpha^{-1}(0)$), thì tôpô $\mathscr{T}$ cũng là tôpô cuối của họ các tôpô của các $f_\alpha(E_\alpha)$, tương ứng với các đơn ánh chính tắc (II, hệ quả 2 ở trên). Hơn nữa, tính liên tục của $f_{\beta\alpha}$ với $\alpha \leq \beta$ suy ra rằng đơn ánh chính tắc $j_{\beta\alpha} : f_\alpha(E_\alpha) \to f_\beta(E_\beta)$ là liên tục, do đó E cũng là giới hạn quy nạp của $f_\alpha(E_\alpha)$ mang các tôpô nói trên tương ứng với đơn ánh $j_{\beta\alpha}$.

đối với mọi không gian lồi địa phương $G$.

Đây là một trường hợp riêng của II, p. 28, hệ quả 2, nhớ đến II, p. 29, Ví dụ I.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ sự kiện rằng các đơn ánh chính tắc $E_\kappa \to \prod_{\iota \in I} E_\iota$ là liên tục với mỗi $\kappa \in I$. Nếu $I$ hữu hạn thì $j$ là ánh xạ đồng nhất, và chỉ cần chứng minh rằng tôpô tích $\mathscr{T}'$ mịn hơn tôpô tổng trực tiếp $\mathscr{T}$. Bây giờ, gọi $V$ là một lân cận lồi của 0 đối với $\mathscr{T}$; mỗi tập hợp $V \cap E_\iota$ là một lân cận lồi của 0 trong $E_\iota$; nếu $n$ là số phần tử của $I$, thì tập hợp $V$ chứa tập hợp $\frac{1}{n} \sum_n (V \cap E_\iota)$, là một lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}'$, và mệnh đề được chứng minh.

Khi $I$ vô hạn, nếu, với mỗi tập con hữu hạn $J$ của $I$, ta ký hiệu bởi $E_J$ không gian $\prod_{\iota \in J} E_\iota$, được trang bị tôpô tích, thì $E$ là giới hạn quy nạp của các $E_J$ (được đồng nhất như các không gian con của $E$).

(i) Tôpô cảm sinh trên $N = \sum_\iota N_\iota$ bởi tôpô tổng trực tiếp $\mathscr{T}$ trên $E$ là đồng nhất với tổng trực tiếp của các tôpô của các $N_\iota$.

(ii) Ánh xạ chính tắc $h$ từ không gian tổng trực tiếp tôpô của các $E_\iota / N_\iota$ lên $E/N$ (A, II, § 1.6, công thức (26)) là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ tôpô.

(i) Với các ký hiệu đã đưa vào ở trên, ta xét $x = \sum_\iota \lambda_\iota x_\iota$ thuộc $N \cap \Gamma((V_\iota))$ ($(\lambda_\iota)$ là một họ các số $\geqslant 0$ trong đó chỉ có hữu hạn nhiều số khác không, sao cho $\sum_\iota \lambda_\iota = 1$, và $x_\iota \in V_\iota$, với mọi $\iota \in I$). Vì tổng của các $N_\iota$ là trực tiếp, ta có $\lambda_\iota x_\iota \in N_\iota$ với mọi $\iota \in I$; do đó, với mọi $\iota$ sao cho $\lambda_\iota > 0$ ta cũng có $x_\iota \in N_\iota \cap V_\iota$, và $x$ thuộc bao lồi $\Gamma((N_\iota \cap V_\iota))$, vậy (i) được chứng minh.

(ii) Ký hiệu các ánh xạ chính tắc như sau: $f_\iota : E_\iota \to E, h_\iota : E_\iota / N_\iota \to E/N, p_\iota : E_\iota \to E_\iota / N_\iota$ và $p : E \to E/N$. Với mọi $\iota \in I$, $h_\iota \circ p_\iota = p \circ f_\iota$ và mệnh đề suy ra từ II, p. 28, hệ quả 2 và p. 29 Ví dụ I.

Thật vậy, ánh xạ chính tắc $p_\iota : E \to E_\iota$ là liên tục (II, § 4.5, mệnh đề 6) với mọi $\iota \in I$, do đó $p_\iota^{-1}(N_\iota)$ là đóng trong $E$, và vì thế điều tương tự cũng đúng đối với giao $N = \bigcap_{\iota \in I} p_\iota^{-1}(N_\iota)$.

Để chứng minh mệnh đề thứ nhất, áp dụng hệ quả 1 bằng cách lấy $N_\iota = \{0\}$ với mọi $\iota \in I$; đối với mệnh đề thứ hai, áp dụng hệ quả 1 với $N_\iota = E_\iota$ và $N_\kappa = \{0\}$ với mọi $\kappa \neq \iota$.

Ta sẽ chỉ ra trong III, p. 21, hệ quả 2 rằng nếu các $E_\iota$ là Hausdorff và đầy đủ thì tổng trực tiếp tôpô của chúng $E$ cũng vậy.

Ta giả sử điều ngược lại và đi đến một mâu thuẫn. Giả sử rằng với mọi $k$ tồn tại một lân cận lồi $V_k$ của $0$ và một tập hợp $M_k \in \mathfrak{F}$ sao cho

Rõ ràng ta có thể giả sử rằng $V_{k+1} \subset V_k$ với mọi $k$. Gọi $V$ là bao lồi của $\bigcup_k (E_k \cap V_k)$, rõ ràng đây là một lân cận của $0$ đối với $\mathscr{T}$. Với mọi $n$ ta có $V \subset V_n + E_n$; thật vậy, mọi $x \in V$ có thể viết dưới dạng $\sum_i \lambda_i x_i$ trong đó $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ và $x_i \in V_i \cap E_i$ với mọi $i$; với $i < n$ ta có $x_i \in E_n$, do đó $\sum_{i < n} \lambda_i x_i \in E_n$; còn với $i \geq n$ ta có $x_i \in V_n$, do đó $\sum_{i \geq n} \lambda_i x_i \in V_n$ vì $V_n$ là lồi, chứa $0$ và $\sum_{i \geq n} \lambda_i \leq 1$. Suy ra $V + E_n \subset V_n + E_n$ với mọi $n$. Vì vậy, lấy $M \in \mathfrak{F}$ là một tập hợp $V$-nhỏ. Với một số nguyên $m$, $E_m \cap M$ không rỗng; và ta kết luận rằng vì $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc, tập hợp $M_m$ gặp $M$ và do đó gặp $E_m + V_m$; ta có một mâu thuẫn, chứng minh được bổ đề.

(i) Để chứng minh mệnh đề đầu tiên, chỉ cần chứng minh rằng tôpô $\mathscr{T}'_n$ cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ trên $E_n$ mịn hơn $\mathscr{T}_n$. Với mục đích này, cho $V_n$ là một lân cận lồi của $0$ trong $E_n$ đối với tôpô $\mathscr{T}_n$; ta sẽ xây dựng một dãy tăng các lân cận lồi của $0$ trong $E_{n+p}$ đối với $\mathscr{T}_{n+p}$, ký hiệu là $(V_{n+p})_{p \geq 1}$, sao cho $V_{n+p} \cap E_n = V_n$ đối với mọi chỉ số $p \geq 1$. Khi đó hợp $V$ của dãy tăng $(V_{n+p})$ sẽ là một tập hợp lồi sao cho $V \cap E_k$ là một lân cận của $0$ trong $E_k$ (sử dụng $\mathscr{T}_k$), đối với mọi chỉ số $k$; do đó $V$ sẽ là một lân cận của $0$ trong $E$ đối với $\mathscr{T}$ và vì $V \cap E_n = V_n$, ta đã chứng minh rằng $\mathscr{T}'_n$ mịn hơn $\mathscr{T}_n$.

Để định nghĩa $V_{n+p}$ ta tiến hành bằng quy nạp theo $p$ sử dụng bổ đề sau:

Thực vậy, theo giả thiết tồn tại một lân cận lồi $U$ của 0 trong $F$ sao cho $U \cap M \subset V$. Hiển nhiên, bao lồi $W$ của $U \cup V$ trong $F$ là một lân cận của 0 trong $F$; ta chứng minh rằng $W \cap M = V$. Vì, mọi điểm $z \in W$ đều có dạng $\lambda x + (1-\lambda) y$ với $x \in V, y \in U$, và $0 \leq \lambda \leq 1$ (II, p. 9, Mệnh đề 8); nếu $z \in M$, và $\lambda \neq 1$ thì tất nhiên $y \in M$, do đó $y \in U \cap M \subset V$ và suy ra $z \in V$; điều này hiển nhiên đúng nếu $\lambda = 1$. Nếu $M$ là đóng trong $F$, thì không gian $F/M$ là Hausdorff, do đó tồn tại một lân cận lồi $U_0 \subset U$ của 0 trong $F$ sao cho $U_0$ không giao với $x_0 + M$; khi ấy bao lồi $W_0$ của $U_0 \cup V$ thỏa các điều kiện yêu cầu.

Quay lại định lý, để chứng minh phần thứ hai của (i) chú ý rằng nếu $x \in E$ thì $x \in E_n$ với một $n$ nào đó; nếu $x \neq 0$ và $\mathscr{T}_n$ là Hausdorff thì có một lân cận $V_n$ của 0 đối với $\mathscr{T}_n$, không chứa $x$. Ta thấy có một lân cận $V$ của 0 đối với $\mathscr{T}$ sao cho $V \cap E_n = V_n$, suy ra $x \notin V$, và do đó $\mathscr{T}$ là Hausdorff.

(ii) Cho $x \in E - E_n$; tồn tại $m > n$ sao cho $x \in E_m$, do đó, vì $E_n$ là đóng trong $E_m$ đối với $\mathscr{T}_m$ (do giả thiết rằng $\mathscr{T}_{n+1}$ cảm sinh $\mathscr{T}_n$ trên $E_n$ với mọi $n$) tồn tại trong tôpô $\mathscr{T}_m$ một lân cận lồi $V_m$ của 0 trong $E_m$ sao cho $(x + V_m) \cap E_n$ là rỗng. Như đã thấy trong (i) tồn tại một lân cận lồi $V$ của 0 đối với $\mathscr{T}$ sao cho $V \cap E_m = V_m$; và do đó $(x + V) \cap E_m = x + V_m$, suy ra $(x + V) \cap E_n = \varnothing$, điều này chứng minh (ii).

(iii) Từ bổ đề 1, nếu $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc Cauchy cực tiểu cho $\mathscr{T}$ (GT, II, § 3.2) thì tồn tại một $k$ sao cho vết của $\mathfrak{F}$ trên $E_k$ là một bộ lọc $\mathfrak{F}_k$; từ (i) bộ lọc sau này là một bộ lọc Cauchy cho $\mathscr{T}_k$ và do đó $\mathfrak{F}_k$ hội tụ trong $E_k$ theo giả thiết; nhưng vì bộ lọc trên $E$ sinh bởi $\mathfrak{F}_k$ mịn hơn $\mathfrak{F}$, ta thấy rằng $\mathfrak{F}$ có một điểm tụ đối với $\mathscr{T}$ và do đó hội tụ đối với $\mathscr{T}$.

Khi với mọi $n$ tôpô cảm sinh trên $E_n$ bởi $\mathscr{T}_{n+1}$ chỉ là $\mathscr{T}_n$ ta nói rằng $\mathscr{T}$ là giới hạn quy nạp ngặt của dãy $(\mathscr{T}_n)$ và rằng không gian $E$ với tôpô $\mathscr{T}$ là giới hạn quy nạp ngặt của dãy các không gian lồi địa phương $E_n$.