Corollaire 3
Étiquette 0E4N, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E4N].
Topological Vector Spaces, chapter II, § 3. Le théorème de Hahn-Banach (forme analytique)
Soient E un espace normé, V un sous-espace vectoriel de E, f une forme linéaire continue dans V ; il existe une forme linéaire continue h définie dans E, prolongeant f, et de même norme (TG, X, p. 23).
On applique le cor. 1 en prenant , ce qui donne ; d’autre part, on a évidemment , d’où le corollaire.
La conclusion du cor. 3 ne s’étend pas aux applications linéaires continues d’un espace normé dans un espace normé quelconque (IV, p. 55, exerc. 16, c) et V, p. 64, exerc. 22).
Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.
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Rien.