Remarque 2

Conservons les notations de la prop. 12. Soit $p$ une semi-norme continue sur $E$ ; pour tout $y \in F$, posons $q(y) = \inf_{u(x) = y} p(x)$, de sorte que $q$ est une semi-norme continue sur $F$ (II, p. 4). Soit $\varphi$ une application semi-continue inférieurement de $F$ dans l’intervalle $]0, +\infty[$ de $\overline{\mathbf{R}}$. Montrons qu’il existe une section continue $s$ de $u$ telle que $p \circ s < q + \varphi$.

Soient $s_0$ une section continue de $u$ (prop. 12) et $N$ le noyau de $u$. Soit $y_0 \in F$; il existe $z_0 \in N$ tel que $p(s_0(y_0) + z_0) < q(y_0) + \varphi(y_0)$. Il existe un voisinage ouvert $W$ de $y_0$ dans $F$ tel que $p(s_0(y) + z_0) < q(y) + \varphi(y)$ pour tout $y \in W$. Par suite, il existe un recouvrement ouvert $(W_i)_{i \in I}$ de $F$ et des applications constantes $t_i : F \to N$ telles que $p(s_0(y) + t_i(y)) < q(y) + \varphi(y)$ pour tout $y \in W_i$. Comme $F$ est métrisable, il existe une partition continue localement finie de l’unité subordonnée au recouvrement $(W_i)_{i \in I}$, soit $(g_i)_{i \in I}$ (TG, IX, p. 51, prop. 6 et p. 46, prop. 3). L’application $s$ de $F$ dans $E$ définie par $s(y) = s_0(y) + \sum_{i \in I} g_i(y) \cdot t_i(y)$ répond aux conditions exigées.