Exemple 3

Compte tenu de la transitivité des topologies localement convexes finales (II, p. 30, cor. 2), on déduit aussitôt de la condition (ii bis) que si (E_i)_{i \in I} est une famille d’espaces localement convexes bornologiques et si E est muni de la topologie localement convexe la plus fine rendant continues des applications linéaires u_i : E_i → E (pour i ∈ I), alors E est bornologique. En particulier, une limite inductive, une somme directe, un espace quotient d’espaces bornologiques sont des espaces bornologiques.

Par contre, un sous-espace fermé d’un espace bornologique n’est pas nécessairement bornologique (IV, p. 63, exerc. 8).