Exemple 2

Soit $E$ l’espace des fonctions numériques continues dans $\mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence compacte. Soit $K$ un compact de $\mathbf{R}$ et soit $(\mu_n)$ une suite de mesures sur $\mathbf{R}$ à support dans $K$. Supposons $\|\mu_n\| \leq 1$ pour tout $n$. L’ensemble des $\mu_n$ est alors une partie équicontinue de $E'$. Alors, si pour toute fonction $f \in E$, on a $\lim_{n \to \infty} \mu_n(f) = 0$, la suite des fonctions $x \mapsto \int e^{itx} d\mu_n(t)$ converge vers $0$, uniformément dans toute partie compacte de $\mathbf{R}$ (car l’ensemble des fonctions $t \mapsto e^{itx}$, où $x$ parcourt un compact de $\mathbf{R}$, est compact dans $E$). \*