Remarque 3

Notons $E_\sigma$ l’espace E muni de la topologie $\sigma(E, F)$. Les tonneaux (III, p. 24) dans $E_\sigma$ sont les parties de E qui sont convexes, équilibrées, fermées pour $\sigma(E, F)$ et absorbantes. Ce ne sont autres que les polaires des parties de F qui sont convexes, équilibrées et bornées pour $\sigma(F, E)$. Par suite, l’ensemble des tonneaux dans $E_\sigma$ est un système fondamental de voisinages de 0 pour la topologie $\beta(E, F)$ dans E. Autrement dit, une semi-norme sur E est continue pour $\beta(E, F)$ si et seulement si elle est semi-continue inférieurement pour $\sigma(E, F)$ (cf. III, p. 24, prop. 1).