(ii) Les parties bornées de E sont les mêmes pour toutes les topologies localement convexes sur E compatibles avec la dualité entre E et F.

Soit $\mathscr{T}$ une topologie sur E compatible avec la dualité entre E et F, donc plus fine que $\sigma(E, F)$. Si une partie convexe de E est fermée pour $\mathscr{T}$, elle est intersection de demi-espaces réels fermés (II, p. 41, cor. 1), donc fermée pour $\sigma(E, F)$. Ceci prouve (i). L’assertion (ii) a été démontrée au cor. 3 de III, p. 28.

Notons $F_\sigma$ l’espace vectoriel $F$ muni de la topologie faible $\sigma(F, E)$. Alors l’application linéaire $s_B$ applique $E$ sur le dual $(F_\sigma)'$ de $F_\sigma$ (II, p. 46, prop. 3). Soit $\mathscr{S}$ un ensemble de parties bornées de $F_\sigma$. Par abus de langage, on appelle $\mathscr{S}\text{-topologie sur } E$ l’image réciproque par $s_B$ de la $\mathscr{S}\text{-topologie sur } (F_\sigma)'$. Elle est définie par la famille des semi-normes

où $A$ parcourt $\mathscr{S}$. En particulier, lorsque $\mathscr{S}$ est l’ensemble des parties finies de $F$, la $\mathscr{S}\text{-topologie}$ n’est autre que la topologie faible $\sigma(E, F)$.

Identifions $F$ à son image par $d_B$ dans $E^*$. Notons $\mathscr{S}_0$ l’ensemble des parties de $F$ qui sont convexes, équilibrées et compactes pour $\sigma(F, E)$. Par définition, $\tau(E, F)$ est la $\mathscr{S}_0$-topologie sur $E$, donc est plus fine que $\sigma(E, F)$.

Lemme 1. — Le sous-espace $F$ de $E^*$ se compose des formes linéaires sur $E$ continues pour $\tau(E, F)$.

Tout élément de F est une application continue pour $\sigma(E, F)$, donc pour $\tau(E, F)$.

Réciproquement, soit $f \in E^*$ continue pour $\tau(E, F)$. Il existe un voisinage U de 0 dans E (pour $\tau(E, F)$), tel que $|f| \leq 1$ sur U ; on peut supposer qu’il existe un ensemble $A \in \mathscr{S}_0$ tel que $U = A^\circ$. Autrement dit, $f$ appartient au bipolaire $A^{\circ\circ}$ de A pour la dualité entre $E^*$ et E. Or la topologie $\sigma(F, E)$ sur F est induite par $\sigma(E^*, E)$; par suite, A est convexe, équilibré et compact pour $\sigma(E^*, E)$, et le th. des bipolaires (II, p. 48, th. 1) entraîne l’égalité $A = A^{\circ\circ}$. On a donc $f \in F$, d’où le lemme 1.

Soit $\mathscr{U}$ l’ensemble des voisinages convexes et équilibrés de 0 pour $\mathscr{T}$. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des polaires dans F des éléments de $\mathscr{U}$. On a $\mathscr{S} \subset \mathscr{S}_0$ d’après le cor. 2 de III, p. 17, et, d’après le cor. 1 de la prop. 7 de III, p. 19, $\mathscr{T}$ est identique à la $\mathscr{S}'$-topologie, où $\mathscr{S}'$ est l’ensemble des polaires des ensembles de $\mathscr{U}$ dans le dual $E'$ de E. Mais on a par hypothèse $E' \subset F$, donc tout ensemble de $\mathscr{S}'$ est contenu dans un ensemble de $\mathscr{S}$; d’où le lemme 2.

Soit $\mathscr{T}$ une topologie sur E compatible avec la dualité entre E et F. Alors $\mathscr{T}$ est moins fine que $\tau(E, F)$ d’après le lemme 2, et il est évident que $\mathscr{T}$ est plus fine que $\sigma(E, F)$. Réciproquement, F est le dual de E pour la topologie $\tau(E, F)$ (lemme 1) et pour la topologie $\sigma(E, F)$ (II, p. 46, prop. 3), donc aussi pour toute topologie intermédiaire entre $\tau(E, F)$ et $\sigma(E, F)$.

(i) $p$ est continue pour la topologie $\tau(E, F)$; (ii) toute forme linéaire $f$ sur E, telle que $|f| \leq p$, provient d’un élément de F.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : si $p$ est continue pour $\tau(E, F)$, toute forme linéaire $f$ sur E telle que $|f| \leq p$ est continue pour $\tau(E, F)$, donc provient d’un élément de F d’après le lemme 1.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : soit $\mathscr{T}$ la topologie sur E définie par la semi-norme $p$. Si la condition (ii) est satisfaite, les formes linéaires sur E continues pour $\mathscr{T}$ appartiennent à F. D’après le lemme 2, $\mathscr{T}$ est moins fine que $\tau(E, F)$, donc $p$ est continue pour $\tau(E, F)$.

Remarquons d’abord que la topologie de Mackey de $E$ est identique à la topologie initiale si et seulement si toute partie convexe de $E'$, compacte pour $\sigma(E', E)$, est équicontinue. C’est certainement le cas si $E$ est tonnelé (III, p. 24, corollaire).

Supposons $E$ bornologique, et soit $V$ un voisinage convexe et équilibré de 0 dans $E$ pour la topologie $\tau(E, E')$. Soit $B$ une partie de $E$ bornée pour la topologie initiale. Comme $B$ est bornée pour la topologie de Mackey, $V$ absorbe $B$, et comme $E$ est bornologique, $V$ est un voisinage de 0 pour la topologie initiale.

Dans le cas c), l’espace $E$ est bornologique (III, p. 12, prop. 2).

(i) Si $E_1$ et $E_2$ sont séparés, pour que $u$ soit injective, il faut et il suffit que l’image de $^t u$ soit dense dans $E'_1$ muni de la topologie faible $\sigma(E'_1, E_1)$.

(ii) Pour que $^t u$ soit injective, il faut et il suffit que l’image de $u$ soit dense dans $E_2$.

Un sous-espace vectoriel de $E_2$ est dense pour la topologie initiale si et seulement s’il l’est pour la topologie affaiblie (IV, p. 4, prop. 2). La prop. 5 résulte alors de II, p. 51, cor. 2.

C’est une conséquence immédiate de la prop. 2 de III, p. 15.

Le seul point qui demande une démonstration est le cas c), lorsque les topologies de $E_1$ et $E_2$ ne sont pas nécessairement séparées. Alors pour toute forme linéaire $f \in E'_1*$, $f \circ ^t u$ est une forme linéaire sur $E'_2$; donc il y a une application linéaire $v : E'_1* \to E'_2*$, continue pour les topologies $\sigma(E'_1*, E'_1)$ et $\sigma(E'_2*, E'_2)$ et telle que $d_{B_2} \circ u = v \circ d_{B_1}$, où $d_{B_i}$ est l’application canonique de $E_i$ dans $E'_i*$ ($i = 1, 2$). Par suite, si $A$ est une partie de $E_1$ telle que $d_{B_1}(A)$ soit convexe, équilibrée et compacte pour $\sigma(E'_1*, E'_1)$, $d_{B_2}(u(A)) = v(d_{B_1}(A))$ est convexe, équilibrée et compacte pour $\sigma(E'_2*, E'_2)$, les topologies $\sigma(E'_1*, E'_1)$ et $\sigma(E'_2*, E'_2)$ étant séparées.

^1 Autrement dit, $u(\mathscr{S}_1)$ est contenu dans la plus petite bornologie adaptée contenant $\mathscr{S}_2$ (III, p. 3).

(i) L’application $u$ est continue si l’on munit $E_1$ et $E_2$ de leurs topologies de Mackey.

(ii) Si $E_1$ est bornologique ou tonnelé, $u$ est continue pour les topologies initiales de $E_1$ et $E_2$.

(iii) Pour que $u$ soit continue pour les topologies initiales de $E_1$ et $E_2$, il faut et il suffit que l’image par $'u$ de toute partie équicontinue de $E_2'$ soit équicontinue dans $E_1'$.

L’hypothèse entraîne que $'u$ est continue pour les topologies faibles $\sigma(E_2', E_2)$ et $\sigma(E_1', E_1)$ (II, p. 50, corollaire); donc l’image par $'u$ d’une partie convexe, équilibrée et compacte pour $\sigma(E_2', E_2)$ est convexe, équilibrée et compacte pour $\sigma(E_1', E_1)$, les topologies $\sigma(E_2', E_2)$ et $\sigma(E_1', E_1)$ étant séparées. L’assertion (i) résulte alors de TG, X, p. 5, prop. 3, b). L’assertion (ii) est conséquence de (i): en effet, si $E_1$ est bornologique ou tonnelé, sa topologie initiale est celle de Mackey, et la topologie de Mackey de $E_2$ est de toute façon plus fine que la topologie initiale de $E_2$. Enfin, la topologie initiale de $E_i$ est celle de la convergence uniforme dans les parties équicontinues de $E_i'$ (III, p. 19, cor. 1 de la prop. 7), d’où (iii).

a) $u$ est continue; b) $u$ est continue pour les topologies affaiblies; c) l’image par $u$ de la boule unité dans $E_1$ est bornée dans $E_2$; d) pour toute suite $(x_n)$ de points de $E_1$ tendant vers 0 pour la topologie initiale, la suite $(u(x_n))$ est bornée pour la topologie affaiblie de $E_2$.

Comme $E_1$ est bornologique, l’équivalence de a) et b) résulte de la prop. 7. Celle de a) et c) est immédiate. L’équivalence de a) et d) résulte de la prop. 1 de IV, p. 1 et de la prop. 1 de III, p. 11.

Prouvons (ii). D’après la formule (3) et la définition de la transposée, on a

(5)

Soit $B'$ la boule unité du dual $E'$ de E, munie de la topologie faible $\sigma(E', E)$. C’est un espace compact métrisable (III, p. 19, cor. 2); il existe donc une partie dénombrable dense $D'$ de $B'$. Posons $D = D' \cap (E' - \{0\})$. Soit $x \in E$; l’application $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ de $B'$ dans K est continue, d’où

Soient A une partie de $(E/M)'$ et $B = 'p(A) \subset E'$. Posons

pour tout $\xi \in E/M$. Pour que A soit équicontinue, il faut et il suffit que l’application q de E/M dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ soit une semi-norme continue. Ceci signifie que $q \circ p$ est une semi-norme continue sur E (II, p. 29, prop. 5, (ii)). Comme on a

pour tout $x \in E$, ceci signifie encore que B est équicontinu dans $E'$, d’où (i).

Soient $A \in \mathscr{S}$ et $f$ une forme linéaire continue sur E/M. Pour tout $\lambda \in \mathbf{R}_+$, on a $|f| \leq \lambda$ sur $p(A)$ si et seulement si l’on a $|'p(f)| \leq \lambda$ sur A ; d’où (ii).

Prouvons enfin (iii). Soit $y'$ dans $(E/M)'$. Pour qu’un élément de E/M soit de norme < 1, il faut et il suffit qu’il soit l’image par p d’un élément de norme < 1 dans E. On a donc

et $'p$ induit une isométrie de $(E/M)'$ sur $M^\circ$.

(ii) Supposons M fermé dans E. Soit $\mathscr{S}$ un recouvrement de E formé de parties bornées et soit $\mathscr{S}_1$ l’ensemble des parties de M de la forme $M \cap A$ pour A dans $\mathscr{S}$. L’application linéaire bijective $i$ de $E'_\mathscr{S}/M^\circ$ sur $M'_{\mathscr{S}_1}$ est continue. C’est un homéomorphisme si $\mathscr{S}$ est filtrant pour la relation $\subset$ et se compose d’ensembles convexes fermés et compacts pour $\sigma(E, E')$.

(iii) Supposons E normé. Alors $i$ est une isométrie de $E'/M^\circ$ sur $M'$.

L’image par $'i$ d’une partie équicontinue de $E'$ est une partie équicontinue de $M'$ (IV, p. 47, prop. 7). Réciproquement, soit A une partie équicontinue de $M'$. La topologie de M est définie par l’ensemble des restrictions à M des semi-normes continues sur E. Il existe donc une semi-norme continue p sur E telle que $|f(x)| \leq p(x)$ pour $f \in A$ et $x \in M$. Soit B l’ensemble des formes linéaires g sur E, telles que $|g| \leq p$ et dont la restriction à M appartient à A. L’ensemble B est équicontinu dans $E'$; d’après le th. de Hahn-Banach (II, p. 24, cor. 1), on a $'i(B) = A$, d’où (i).

Prouvons (ii). D’après la prop. 6 de IV, p. 6, l’application linéaire $'i$ de $E'_\mathscr{S}$ dans $M'_{\mathscr{S}_1}$ est continue, et définit donc par passage au quotient une application linéaire continue $i$ de $E'_\mathscr{S}/M^\circ$ sur $M'_{\mathscr{S}_1}$. Soit $\mathscr{T}$ la topologie sur $M'$ obtenue en transportant celle de $E'_\mathscr{S}/M^\circ$ par $i$; elle est plus fine que la $\mathscr{S}_1$-topologie.

Supposons maintenant que $\mathscr{S}$ soit filtrant pour $\subset$ et se compose d’ensembles convexes, équilibrés, fermés et compacts pour $\sigma(E, E')$. Pour montrer que $i$ est un homéomorphisme, c’est-à-dire que $\mathscr{T}$ est moins fine que la $\mathscr{S}_1$-topologie sur $M'$, il suffit de prouver que $\mathscr{T}$ est compatible avec la dualité entre $M'$ et M et que tout ensemble équicontinu dans M (considéré comme dual de $M'$ muni de $\mathscr{T}$) est contenu dans l’homothétique d’un ensemble appartenant à $\mathscr{S}_1$. Comme $\mathscr{T}$ est plus fine que la $\mathscr{S}_1$-topologie et que $\mathscr{S}_1$ est un recouvrement de $M$, la forme linéaire $y' \mapsto \langle y, y' \rangle$ sur $M'$ est continue pour $\mathscr{T}$ quel que soit $y \in M$. Soit $f$ une forme linéaire sur $M'$, continue pour $\mathscr{T}$; alors $f \circ 'i$ est une forme linéaire continue sur $E'_\mathscr{S}$. La $\mathscr{S}$-topologie sur $E'$ est moins fine que la topologie de Mackey $\tau(E', E)$; en effet, l’application $d_B : E \to {E'}^*$ est continue pour les topologies $\sigma(E, E')$ et $\sigma({E'}^*, E')$, et comme cette dernière est séparée, l’image par $d_B$ d’un ensemble compact pour $\sigma(E, E')$ est compacte pour $\sigma({E'}^*, E')$. D’après le lemme 1 de IV, p. 2, il existe $x_0 \in E$ tel que $f('i(x')) = \langle x_0, x' \rangle$ pour tout $x' \in E'$. En particulier, on a $\langle x_0, x' \rangle = 0$ pour tout $x' \in M^\circ$, et comme $M$ est fermé dans $E$, on a donc $x_0 \in M$ (II, p. 48, cor. 2), et finalement $f(y') = \langle x_0, y' \rangle$ pour tout $y' \in M'$, ce qui prouve que $\mathscr{T}$ est compatible avec la dualité entre $M$ et $M'$.

Soit maintenant $A$ une partie de $M$ équicontinue pour la topologie $\mathscr{T}$ sur $M'$. Par définition de $\mathscr{T}$, et en vertu de l’hypothèse que $\mathscr{S}$ est filtrant, cela signifie qu’il existe un ensemble $B \in \mathscr{S}$ contenant $0$ et tel que la borne supérieure $\lambda$ des nombres $|\langle y, x' \rangle|$, pour $y \in A$ et $x' \in B^\circ$, soit finie (III, p. 19, prop. 7). Comme $B$ est fermé dans $E$, le th. des bipolaires (II, p. 48, th. 1) montre que l’on a $A \subset \lambda(B \cap M)$, ce qui achève de prouver (ii).

Prouvons (iii). Soit $y' \in M'$. Il s’agit d’établir la formule

L’assertion (i) résulte de la prop. 7 de II, p. 51.

L’injection canonique $i : M \to E$ est continue pour les topologies affaiblies, donc pour les topologies de Mackey $\tau(M, M')$ et $\tau(E, E')$ (IV, p. 7, prop. 7). De même, la projection canonique $p : E \to E/M$ est continue pour les topologies de Mackey. On voit aussitôt que la topologie quotient sur $E/M$ de $\tau(E, E')$ est compatible avec la dualité entre $E/M$ et $(E/M)'$, donc est moins fine que la topologie de Mackey de $E/M$ d’après le th. de Mackey (IV, p. 2, th. 1). Ceci prouve (ii).