Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và F, do đó mịn hơn $\sigma(E, F)$. Nếu một tập con lồi của E là đóng đối với $\mathscr{T}$, thì nó là giao của các nửa-không gian thực đóng (II, p. 38, hệ quả 1), do đó nó đóng đối với $\sigma(E, F)$. Điều này chứng minh (i). Mệnh đề (ii) đã được chứng minh trong hệ quả 3 của III, p. 27.

Ký hiệu $F_\sigma$ là không gian vectơ F được trang bị tôpô yếu $\sigma(F, E)$. Khi đó ánh xạ tuyến tính $s_B$ ánh xạ E lên đối ngẫu $(F_\sigma)'$ của $F_\sigma$ (II, p. 43, mệnh đề 3). Cho $\mathfrak{S}$ là một họ các tập con bị chặn của $F_\sigma$. Lạm dụng ngôn ngữ, ảnh ngược theo $s_B$ của tôpô-$\mathfrak{S}$ trên $(F_\sigma)'$ được gọi là $\mathfrak{S}\text{-tôpô trên } E$. Nó được định nghĩa bởi họ các nửa chuẩn

trong đó A chạy qua $\mathfrak{S}$. Đặc biệt, khi $\mathfrak{S}$ là họ các tập con hữu hạn của F, $\mathfrak{S}$-tôpô chính xác là tôpô yếu $\sigma(E, F)$.

Mọi phần tử của F đều là một ánh xạ liên tục đối với $\sigma(E, F)$, nên cũng đối với $\tau(E, F)$.

Ngược lại, cho $f \in E^*$ liên tục đối với $\tau(E, F)$. Tồn tại một lân cận U của 0 trong E (đối với $\tau(E, F)$), sao cho $|f| \leq 1$ trên U; ta có thể giả sử rằng tồn tại một tập hợp $A \in \mathscr{S}_0$ sao cho $U = A^\circ$. Nói cách khác, $f$ thuộc cực song đối $A^{\circ\circ}$ của A đối với đối ngẫu giữa $E^*$ và E. Nhưng tôpô $\sigma(F, E)$ trên F được cảm sinh bởi $\sigma(E^*, E)$; do đó A lồi, cân bằng và compact đối với $\sigma(E^*, E)$, và định lý các cực song đối (II, p. 44, đl. 1) suy ra đẳng thức $A = A^{\circ\circ}$. Vì vậy ta có $f \in F$, từ đó suy ra bổ đề.

Cho $\mathscr{U}$ là tập hợp các lân cận lồi, cân bằng của 0 đối với $\mathscr{T}$. Cho $\mathscr{S}$ là tập hợp các cực trong F của các phần tử của $\mathscr{U}$. Theo hq. 2 của III, p. 17, ta có $\mathscr{S} \subset \mathscr{S}_0$, và theo hq. 1 của mđ. 7 của III, p. 19, $\mathscr{T}$ đồng nhất với tôpô $\mathscr{S}'$, trong đó $\mathscr{S}'$ là tập hợp các cực của các tập hợp của $\mathscr{U}$ trong đối ngẫu $E'$ của E. Nhưng $E' \subset F$, theo giả thiết, nên mọi tập hợp của $\mathscr{S}'$ đều được chứa trong một tập hợp của $\mathscr{S}$; và bổ đề được chứng minh.

Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô trên E tương thích với đối ngẫu giữa E và F. Khi đó $\mathscr{T}$ thô hơn $\tau(E, F)$ theo bổ đề 2, và hiển nhiên $\mathscr{T}$ mịn hơn $\sigma(E, F)$. Ngược lại, F là đối ngẫu của E đối với tôpô $\tau(E, F)$ (bổ đề 1) và đối với tôpô $\sigma(E, F)$ (II, p. 43, mđ. 3), nên cũng là đối ngẫu đối với mọi tôpô trung gian giữa $\tau(E, F)$ và $\sigma(E, F)$.

(i) p là liên tục đối với tôpô $\tau(E, F)$; (ii) mọi dạng tuyến tính f trên E, sao cho $|f| \leq p$, đều xuất phát từ một phần tử của F.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : nếu p là liên tục đối với $\tau(E, F)$, mọi dạng tuyến tính f trên E sao cho $|f| \leq p$ đều liên tục đối với $\tau(E, F)$, do đó xuất phát từ một phần tử của F theo bổ đề 1.

(ii) $\Rightarrow$ (i) : gọi $\mathscr{T}$ là tôpô trên E được xác định bởi nửa chuẩn p. Nếu điều kiện (ii) được thỏa mãn, các dạng tuyến tính trên E liên tục đối với $\mathscr{T}$ đều thuộc F. Theo bổ đề 2, $\mathscr{T}$ thô hơn $\tau(E, F)$, do đó p là liên tục đối với $\tau(E, F)$.

a) E là thùng; b) E là bornological; c) E là mêtriz được.

Trước hết ta nhận thấy rằng tôpô Mackey trên E đồng nhất với tôpô ban đầu khi và chỉ khi mọi tập con lồi của $E'$ compắc đối với $\sigma(E', E)$, đều đẳng liên tục. Điều này chắc chắn đúng nếu E là thùng (III, p. 24, hệ quả).

Giả sử E là bornological; cho V là một lân cận lồi và cân bằng của 0 trong E đối với tôpô $\tau(E, E')$. Cho B là một tập con của E, bị chặn đối với tôpô ban đầu. Vì B bị chặn đối với tôpô Mackey, V hấp thụ B, và vì E là bornological, V là một lân cận của 0 đối với tôpô ban đầu.

Trong trường hợp c), không gian E là bornological (III, p. 12, mệnh đề 2).

(i) Nếu $E_1$ và $E_2$ là Hausdorff thì $u$ là đơn ánh khi và chỉ khi ảnh của $^t u$ trù mật trong $E'_1$ đối với tôpô yếu $\sigma(E'_1 : E_1)$.

(ii) Để $^t u$ là đơn ánh, điều kiện cần và đủ là ảnh của $u$ trù mật trong $E_2$.

Một không gian con vectơ của $E_2$ là trù mật đối với tôpô ban đầu khi và chỉ khi nó trù mật đối với tôpô yếu (IV, p. 4, mệnh đề 2). Khi đó Mệnh đề 5 suy ra từ II, p. 47, hệ quả 2.

Đây là một hệ quả ngay lập tức của mệnh đề 2 ở III, p. 15.

Điểm duy nhất cần chứng minh là trường hợp c), khi các tôpô của $E_1$ và $E_2$ không nhất thiết là Hausdorff. Khi đó với mọi dạng tuyến tính $f \in E'_1*$, $f \circ ^t u$ là một dạng tuyến tính trên $E'_2$; do đó tồn tại một ánh xạ tuyến tính $v : E'_1* \to E'_2*$ liên tục đối với các tôpô $\sigma(E'_1*, E'_1)$ và $\sigma(E'_2*, E'_2)$ và sao cho $d_{B_2} \circ u = v \circ d_{B_1}$, trong đó $d_{B_i}$ là ánh xạ chính tắc từ $E_i$ vào $E'_i*$ ($i = 1, 2$). Do đó, nếu $A$ là một tập con của $E_1$ sao cho $d_{B_1}(A)$ là lồi, cân bằng và compắc đối với $\sigma(E'_1*, E'_1)$ thì $d_{B_2}(u(A)) = v(d_{B_1}(A))$ là lồi, cân bằng và compắc đối với $\sigma(E'_2*, E'_2)$ vì các tôpô $\sigma(E'_1*, E'_1)$ và $\sigma(E'_2*, E'_2)$ là Hausdorff.

(i) Ánh xạ $u$ là liên tục nếu $E_1$ và $E_2$ được trang bị các tôpô Mackey của chúng.

(ii) Nếu $E_1$ là bornological hoặc barrelled, thì $u$ liên tục đối với các tôpô ban đầu của $E_1$ và $E_2$.

(iii) Để $u$ liên tục đối với các tôpô ban đầu của $E_1$ và $E_2$, điều kiện cần và đủ là ảnh dưới $'u$ của mọi tập con đẳng liên tục của $E_2'$ là đẳng liên tục trong $E_1'$.

Giả thiết kéo theo rằng $'u$ liên tục đối với các tôpô yếu $\sigma(E_2', E_2)$ và $\sigma(E_1', E_1)$ (II, p. 46, hệ quả) do đó ảnh dưới $'u$ của một tập con lồi, cân bằng và compact đối với $\sigma(E_2', E_2)$ là lồi, cân bằng và compact đối với $\sigma(E_1', E_1)$, vì các tôpô $\sigma(E_2', E_2)$ và $\sigma(E_1', E_1)$ là Hausdorff. Bởi vậy, mệnh đề (i) suy ra từ GT, X, § 1, No. 4, mệnh đề 3, b). Mệnh đề (ii) là một hệ quả của (i): thật vậy, nếu $E_1$ là bornô hoặc thùng, thì tôpô ban đầu của nó là tôpô Mackey, và tôpô Mackey của $E_2$ mịn hơn tôpô ban đầu của $E_2$. Sau hết, tôpô ban đầu của $E_i$ là tôpô hội tụ đều trên các tập con đẳng liên tục của $E_i'$ (III, p. 19, hệ quả 1 của mệnh đề 7). Điều này chứng minh (iii).

a) $u$ liên tục;

b) $u$ liên tục đối với các tôpô yếu;

c) ảnh của quả cầu đơn vị trong $E_1$ dưới $u$ bị chặn trong $E_2$;

d) với mọi dãy $(x_n)$ các điểm của $E_1$ hội tụ đến 0 đối với tôpô ban đầu, dãy $(u(x_n))$ bị chặn đối với tôpô yếu của $E_2$.

Vì $E_1$ là bornô nên tính tương đương của a) và b) suy ra từ mệnh đề 7; tính tương đương của a) và c) là ngay lập tức. Tính tương đương của a) và d) suy ra từ mệnh đề 1 của IV, p. 1, và từ mệnh đề 1 của III, p. 11.

(ii) Cho $E_1$ và $E_2$ là hai không gian chuẩn và $u$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E_1$ vào $E_2$. Ta có

Cho $x \in E$. Với mọi $x' \in E'$ sao cho $\|x'\| \leq 1$, ta có

Theo định lý Hahn-Banach (II, p. 23, hệ quả 2), tồn tại một phần tử $x'$ trong $E'$ sao cho $\|x'\| \leq 1$ và $\langle x, x' \rangle = \|x\|$. Điều này chứng minh (i).

Bây giờ chứng minh (ii). Theo công thức (3) và định nghĩa của chuyển vị, ta có

đối với mọi $x \in E$.

Cho B' là quả cầu đơn vị của đối ngẫu $E'$ của E được trang bị tôpô yếu $\sigma(E', E)$. Khi đó B' là một không gian compắc mêtriz được (III, p. 19, hệ quả 2); do đó tồn tại một tập con trù mật đếm được D' trong B'. Đặt $D = D' \cap (E' - \{0\})$. Cho $x \in E$; ánh xạ $x' \mapsto \langle x, x' \rangle$ từ B' vào K là liên tục, do đó

Công thức (5) bây giờ suy ra từ (3).

(ii) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập hợp các tập con bị chặn của $E$, và $\mathfrak{S}_1$ tập hợp các ảnh của các tập con $A \in \mathfrak{S}$ trong $E/M$. Khi đó $\pi$ là một đẳng cấu từ $(E/M)'_{\mathfrak{S}_1}$ lên $M^\circ$, trong đó $M^\circ$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của $E'_{\mathfrak{S}}$.

(iii) Giả sử $E$ là một không gian định chuẩn thì $\pi$ là một đẳng cự từ không gian định chuẩn $(E/M)'$ lên không gian con định chuẩn $M^\circ$ của $E'$.

Cho $A$ là một tập con của $(E/M)'$ và $B = {}^t p(A) \subset E'$. Đặt

đối với mọi $\xi \in E/M$. Để $A$ là đồng liên tục, điều kiện cần và đủ là ánh xạ $q$ từ $E/M$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ là một nửa chuẩn liên tục. Điều này kéo theo rằng $q \circ p$ là một nửa chuẩn liên tục trên $E$ (II, p. 27, mệnh đề 5, (ii)). Vì ta có đối với mọi $x \in E$, điều này đến lượt nó kéo theo rằng $B$ là đồng liên tục trong $E'$, và (i) được chứng minh.

Cho $A \in \mathfrak{S}$ và cho $f$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $E/M$. Với mọi $\lambda \in \mathbf{R}_+$, ta có $|f| \leq \lambda$ trên $p(A)$ khi và chỉ khi $|{}^t p(f)| \leq \lambda$ trên $A$; do đó (ii).

Cuối cùng ta chứng minh (iii). Cho $y'$ thuộc $(E/M)'$. Một phần tử của $E/M$ có chuẩn $< 1$ khi và chỉ khi nó là ảnh qua $p$ của một phần tử có chuẩn $< 1$ trong $E$. Do đó

và ${}^t p$ cảm sinh một đẳng cự từ $(E/M)'$ lên $M^\circ$.

(ii) Giả sử $M$ đóng trong $E$. Cho $\mathfrak{S}$ là một phủ của $E$ gồm các tập con bị chặn và cho $\mathfrak{S}_1$ là tập hợp các tập con của $M$ có dạng $M \cap A$ với $A$ thuộc $\mathfrak{S}$. Ánh xạ tuyến tính song ánh $i$ từ $E'_{\mathfrak{S}}/M^\circ$ lên $M'_{\mathfrak{S}_1}$ là liên tục. Nó là một đồng phôi nếu $\mathfrak{S}$ là một tập có hướng đối với quan hệ $\subset$ và gồm các tập đóng, lồi và compắc đối với $\sigma(E, E')$.

(iii) Nếu giả sử thêm rằng $E$ là có chuẩn, thì $i$ là một đẳng cự từ $E'/M^\circ$ lên $M'$.

Ảnh qua ${}^t i$ của một tập con đồng liên tục của $E'$ là một tập con đồng liên tục của $M'$ (IV, p. 7, mệnh đề 7). Ngược lại, cho $A$ là một tập con đồng liên tục của $M'$. Tôpô của $M$ được xác định bởi tập hợp các hạn chế lên $M$ của các nửa chuẩn liên tục trên $E$. Do đó tồn tại một nửa chuẩn liên tục $p$ trên $E$ sao cho $|f(x)| \leq p(x)$ với mọi $f \in A$ và mọi $x \in M$. Gọi $B$ là tập hợp mọi dạng tuyến tính $g$ trên $E$ sao cho $|g| \leq p$ và hạn chế của chúng lên $M$ thuộc $A$. Tập hợp $B$ là đồng liên tục trong $E'$; theo định lý Hahn-Banach (II, p. 23, hệ quả 1), ta có ${}^t i(B) = A$, do đó suy ra (i).

Bây giờ ta chứng minh (ii). Theo mệnh đề 6 của IV, p. 6, ánh xạ tuyến tính ${}^t i$ từ $E'_{\mathfrak{S}}$ vào $M'_{\mathfrak{S}_1}$ là liên tục, và xác định, bằng cách chuyển qua thương, một ánh xạ tuyến tính liên tục $\iota$ từ $E'_\mathscr{S}/M^\circ$ lên $M'_{\mathscr{S}_1}$. Gọi $\mathscr{T}$ là tôpô trên $M'$ thu được bằng cách chuyển tôpô của $E'_\mathscr{S}/M^\circ$ qua $\iota$; tôpô này mịn hơn tôpô $\mathscr{S}_1$.

Bây giờ giả sử rằng $\mathscr{S}$ là một tập có hướng đối với $\subset$ và gồm các tập đóng, lồi, cân bằng và compact đối với $\sigma(E, E')$. Để chỉ ra rằng $\iota$ là một đồng phôi, tức là rằng $\mathscr{T}$ thô hơn tôpô $\mathscr{S}_1$ trên $M'$, chỉ cần chứng minh rằng $\mathscr{T}$ tương thích với đối ngẫu giữa $M'$ và $M$ và rằng mọi tập đồng liên tục trong $M$ (được xét như đối ngẫu của $M$ với $\mathscr{T}$) đều được chứa trong một vị tự của một tập hợp thuộc $\mathscr{S}_1$. Vì $\mathscr{T}$ mịn hơn tôpô $\mathscr{S}_1$ và $\mathscr{S}_1$ là một phủ của $M$, dạng tuyến tính $y' \mapsto \langle y, y' \rangle$ trên $M'$ là liên tục đối với $\mathscr{T}$ với mọi $y \in M$. Gọi $f$ là một dạng tuyến tính trên $M'$ liên tục đối với $\mathscr{T}$; khi đó $f \circ \iota$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $E'_\mathscr{S}$. Tôpô $\mathscr{S}$ trên $E'$ thô hơn tôpô Mackey $\tau(E', E)$; thật vậy, ánh xạ $d_B : E \to {E'}^*$ là liên tục đối với các tôpô $\sigma(E, E')$ và $\sigma({E'}^*, E')$, và vì tôpô sau là Hausdorff, ảnh qua $d_B$ của một tập hợp compact đối với $\sigma(E, E')$ là compact đối với $\sigma({E'}^*, E')$. Theo bổ đề 1 của IV, p. 3, tồn tại $x_0 \in E$ sao cho $f(\iota(x')) = \langle x_0, x' \rangle$ với mọi $x' \in E'$. Đặc biệt, $\langle x_0, x' \rangle = 0$ với mọi $x' \in M^\circ$, và vì $M$ đóng trong $E$, ta có $x_0 \in M$ (II, p. 45, hệ quả 2); và cuối cùng, $f(y') = \langle x_0, y' \rangle$ với mọi $y' \in M'$. Điều này chứng minh rằng $\mathscr{T}$ tương thích với đối ngẫu giữa $M$ và $M'$.

Bây giờ cho $A$ là một tập con của $M$ đẳng liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}$ trên $M'$. Theo định nghĩa của $\mathscr{T}$, và xét đến giả thiết rằng $\mathscr{S}$ có hướng, điều đó có nghĩa là tồn tại một tập hợp $B \in \mathscr{S}$ chứa 0 sao cho cận trên $\lambda$ của các số $|\langle y, x' \rangle|$ với $y \in A$ và $x' \in B^\circ$, là hữu hạn (III, p. 19, mệnh đề 7). Vì $B$ đóng trong $E$, định lý đối cực kép (II, p. 44, định lý 1) cho thấy rằng ta có $A \subset \lambda(B \cap M)$; điều này hoàn tất chứng minh của (ii).

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh (iii). Cho $y' \in M'$. Chúng ta sẽ chứng minh công thức

Theo mệnh đề 8, (ii) của IV, p. 7, ta có $\|\iota\| = \|i\|$, và do đó $\|\iota\| \leq 1$, và

Theo định lý Hahn-Banach (II, p. 23, hệ quả 3), tồn tại một dạng tuyến tính $x'_0$ trên $E$ kéo dài $y'$ và có cùng chuẩn; do đó ta thu được bất đẳng thức đối với (7), vì $\iota(x'_0) = y'$.

(ii) Tôpô Mackey trên E/M là tôpô thương của tôpô ấy trên E; tôpô Mackey trên M mịn hơn tôpô cảm sinh bởi τ(E, E').

Mệnh đề (i) suy ra từ mệnh đề 7 của II, p. 48.

Đơn ánh chính tắc $i : M \to E$ là liên tục đối với các tôpô yếu, nên cũng liên tục đối với các tôpô Mackey $\tau(M, M')$ và $\tau(E, E')$ (IV, p. 7, mệnh đề 7). Tương tự, phép chiếu chính tắc $p : E \to E/M$ là liên tục đối với các tôpô Mackey. Ta thấy ngay lập tức rằng tôpô thương trên $E/M$ thu được từ $\tau(E, E')$ là tương thích với đối ngẫu giữa $E/M$ và $(E/M)'$, nên thô hơn tôpô Mackey trên $E/M$, theo định lý của Mackey (IV, p. 2, định lý 1). Điều này chứng minh (ii).

(ii) Với mọi $i \in I$, cho $\mathfrak{J}_i$ là một bornology thích nghi trên không gian $E_i$ được trang bị tôpô yếu $\sigma(E_i, F_i)$, không cái nào bằng $\{ \varnothing \}$. Gọi $\mathfrak{J}$ là họ các tập con $A$ của $E = \prod_{i \in I} E_i$ sao cho $\operatorname{pr}_i(A) \in \mathfrak{J}_i$ với mọi $i \in I$. Khi đó tôpô $\mathfrak{J}$ trên $F$ là tổng trực tiếp của các tôpô $\mathfrak{J}_i$ trên các $F_i$.

Gọi $\mathscr{T}$ là tích của các tôpô $\mathfrak{S}_i$. Các tập hợp có dạng

trong đó $J \subset I$ là hữu hạn và $A_i \in \mathfrak{S}_i$ với mọi $i \in J$, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$. Ta có $A = (\bigcup_{i \in J} A_i)^\circ$, do đó $\mathscr{T}$ đồng nhất với tôpô $\mathfrak{S}$. Điều này chứng minh (i).

Ta gán tôpô $\mathfrak{J}$ cho $F$ và tôpô $\mathfrak{J}_i$ cho mỗi $F_i$. Với mọi tập con $A$ của $E$, ta có $F_i \cap A^\circ = \operatorname{pr}_i(A)^\circ$, do đó đơn ánh từ $F_i$ vào $F$ là liên tục. Gọi $q$ là một nửa chuẩn trên $F$; ta giả sử rằng hạn chế $q_i$ của $q$ lên $F_i$ là liên tục với mọi $i \in I$. Khi đó ta có thể tìm được các tập con không rỗng $A_i \in \mathfrak{J}_i$ sao cho ta có

Đặt $A = \prod_{i \in I} A_i$; khi đó $A \in \mathfrak{J}$. Với $y = (y_i)_{i \in I}$ trong $F$, ta có

trong đó đẳng thức cuối cùng suy ra từ (8) vì họ $(y_i)_{i \in I}$ có giá hữu hạn và các $A_i$ là không rỗng và có thể giả thiết là cân bằng (GT, IV, § 5, No. 7, cor. 2 to prop. 12). Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng $q$ là liên tục trên $F$, và do đó (ii).