Par construction, le noyau de $c_E$ est l’intersection des noyaux des formes linéaires continues sur $E$, c’est-à-dire l’adhérence de $\{0\}$ dans $E$ (II, p. 26, cor. 1).

Lorsque $E$ est séparé, on identifie $E$ à un sous-espace de $E''$ grâce à $c_E$.

La topologie forte sur $E''$ est la $\mathscr{S}$-topologie, où $\mathscr{S}$ est l’ensemble des parties fortement bornées de $E'$. Comme toute partie équicontinue de $E'$ est fortement bornée (III, p. 22, prop. 9), la topologie initiale sur $E$ est moins fine que la topologie image réciproque par $c_E$ de la topologie forte de $E''$; elle peut être strictement moins fine (IV, p. 52, exerc. 1). Toutefois :

En effet, toute partie de $E'$ qui est fortement bornée est équicontinue (III, p. 22, prop. 10 et III, p. 24).

En effet, les parties équicontinues de $E''$ sont les parties contenues dans le bipolaire (pour la dualité entre $E''$ et $E'$) d’une partie bornée du sous-espace E de $E''$. Il suffit donc d’appliquer le th. des bipolaires (II, p. 49, cor. 3) et la définition d’un espace tonnelé (III, p. 24).

La deuxième assertion résulte de la prop. 3 (IV, p. 15), et de l’identité entre ensembles bornés pour la topologie initiale et pour la topologie affaiblie de E (III, p. 28, cor. 3).

Dire que E est semi-réflexif signifie que la topologie de $E'_b$ est compatible avec la dualité entre E et $E'$, autrement dit, par le th. de Mackey (IV, p. 2, th. 1) que la topologie de $E'_b$ est moins fine que $\tau(E', E)$ (et en fait lui est identique) ; par définition (IV, p. 2), cela signifie que toute partie convexe fermée et bornée de E est compacte pour $\sigma(E, E')$, et cela équivaut à dire que toute partie bornée de E est relativement compacte pour $\sigma(E, E')$, puisque l’enveloppe convexe fermée d’une partie bornée de E est bornée (III, p. 3, prop. 1).

Soit B une partie bornée de M. Comme B est bornée dans E, et que la topologie affaiblie $\sigma(M, M')$ est induite par $\sigma(E, E')$ sur M (IV, p. 10, prop. 11), l’adhérence de B dans M muni de $\sigma(M, M')$ est compacte. Donc M est semi-réflexif d’après le th. 1. La dernière assertion du corollaire résulte de la prop. 10 de IV, p. 9, appliquée à l’ensemble $\mathfrak{S}$ de toutes les parties convexes, fermées et bornées de E.

D’après la formules (1) et (2), la boule unité dans E'' est le bipolaire $B^{\circ \circ}$ de B. La prop. 5 résulte alors du th. des bipolaires (II, p. 49, cor. 3).

On notera qu’un espace normé réflexif est complet, donc un espace de Banach, et que son dual est un espace de Banach réflexif d’après la prop. 4 de IV, p. 16.

Soient E' le dual de E et M° l’orthogonal de M dans E'. On peut identifier comme espace normé E'/M° au dual M' de M (IV, p. 9, prop. 10). Comme M est semi-réflexif (IV, p. 15, corollaire), il est réflexif, donc aussi E'/M° ; de même M° est réflexif, ainsi que son dual $E/M^{\circ \circ} = E/M$.

Supposons d’abord qu’il existe dans $\mathfrak{F}$ un ensemble borné B. L’adhérence $\overline{B}$ de B pour la topologie initiale de E est bornée ; de plus, $\overline{B}$ est compacte car E est un espace de Montel. La topologie induite sur $\overline{B}$ par $\sigma(E, E')$ est séparée et moins fine que la topologie induite par la topologie initiale ; elles coïncident donc (TG, I, p. 63). La proposition est démontrée dans ce cas.

Supposons maintenant que $\mathscr{F}$ soit à base dénombrable. Il suffit (TG, I, p. 43, prop. 11) de considérer le cas d’une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ tendant vers $x_0$ pour $\sigma(E, E')$. Soit B l’ensemble des $x_n$ pour $n \geq 0$. Il est borné pour $\sigma(E, E')$, donc aussi pour la topologie initiale (III, p. 28, cor. 3). On est donc ramené au premier cas de la démonstration.

Tout espace de Montel est réflexif : cela résulte de la déf. 4 et du th. 2 de IV, p. 16. En outre :

Soient E un espace de Montel et $E'_b$ son dual fort. Comme E est réflexif, $E'_b$ est tonnelé (IV, p. 15, th. 1). Comme toute partie bornée de E est relativement compacte, la topologie forte sur $E'$ coïncide avec la topologie de la convergence compacte. Soit B une partie bornée de $E'_b$ ; elle est bornée pour la topologie faible $\sigma(E', E)$, donc équicontinue puisque E est tonnelé. Le th. d’Ascoli (TG, X, p. 17, corollaire, et p. 18, cor. 1) entraîne alors que l’adhérence de B pour $\sigma(E', E)$ est compacte pour la topologie de la convergence compacte, donc B est relativement compact dans $E'_b$.

Soit E un espace de Montel métrisable. On sait (II, p. 5) que E s’identifie à un sous-espace d’un produit $F = \prod_{n \in \mathbf{N}} F_n$ d’une suite d’espaces normés, et l’on peut même supposer que l’on a $\mathrm{pr}_n(E) = F_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Si chacun des espaces métrisables $F_n$ est de type dénombrable, il en est de même de F (TG, IX, p. 19, corollaire), donc de E.

Raisonnons par l’absurde, en supposant par exemple que $F_0$ ne soit pas de type dénombrable. Notons $B_0$ la boule unité (fermée) dans $F_0$ ; c’est un espace métrique qui n’est pas de type dénombrable. Nous utiliserons le lemme suivant :

Pour tout entier $n \geq 1$, soit $\mathscr{F}_n$ l’ensemble (ordonné par inclusion) des parties D de X tels que l’on ait $d(x, y) \geq \frac{1}{n}$ pour $x, y$ distincts dans D. L’ensemble $\mathscr{F}_n$ est de caractère fini, donc possède un élément maximal $D_n$ (E, III, p. 35). Pour tout $y \in X$, il existe alors un point $x$ de $D_n$ tel que $d(x, y) < \frac{1}{n}$, vu le caractère maximal de $D_n$. Posons $D = \bigcup_n D_n$ ; l’ensemble D est donc dense dans X, et comme X n’est pas de type dénombrable, D n’est pas dénombrable, et l’un des $D_n$ n’est pas dénombrable.

C.Q.F.D.

D’après le lemme 1 appliqué à $B_0$, il existe une partie non dénombrable $A_0$ de $F_0$ et un nombre $\varepsilon > 0$ tels que l’on ait $\|x\| \leq 1$ et $\|x - y\| \geq \varepsilon$ pour $x, y$ distincts dans $A_0$. On a $\mathrm{pr}_0(E) = F_0$, et il existe donc une partie A de E telle que $\mathrm{pr}_0$ induise une bijection de A sur $A_0$.

Nous allons construire par récurrence une suite $(x_m)_{m \geq 0}$ de points de $A$, et une suite décroissante $(C_m)_{m \geq 0}$ de parties de $A$ satisfaisant aux conditions suivantes : a) Aucun des ensembles $C_m$ n’est dénombrable. b) Pour tout $m \geq 0$, l’ensemble $\operatorname{pr}_k(C_m)$ est borné dans $F_k$ pour $0 \leq k \leq m$. c) On a $x_m \in C_m - C_{m+1}$ pour tout $m \geq 0$.

On pose $C_0 = A$. Supposons définis les ensembles $C_m$ pour $0 \leq m \leq n$, satisfaisant à a) et b) pour $0 \leq m \leq n$, et les points $x_m$ de $C_m - C_{m+1}$ pour $0 \leq m < n$. Pour tout entier $r \geq 1$, soit $C_{n,r}$ l’ensemble des $x \in C_n$ tels que

Comme $C_n$ n’est pas dénombrable, il existe un entier $r \geq 1$ tel que $C_{n,r}$ ne soit pas dénombrable. Choisissons alors un point $x_n$ de $C_{n,r}$ et posons $C_{n+1} = C_{n,r} - \{ x_n \}$. On a évidemment $C_{n+1} \subset C_n$ et $x_n \in C_n - C_{n+1}$, l’ensemble $C_{n+1}$ n’est pas dénombrable, et $\operatorname{pr}_k(C_{n+1})$ est borné dans $F_n$ pour $0 \leq k \leq n + 1$.

On a $x_m \in C_m$, d’où $x_m \in C_n$ dès que $m \geq n$. La projection de la suite $(x_m)_{m \geq 0}$ sur $F_n$ est donc bornée pour tout $n \geq 0$; autrement dit, la suite $(x_m)_{m \geq 0}$ est bornée dans $E$, et ceci établit le lemme 2.

C.Q.F.D.

Avec les notations du lemme 2, la suite bornée $(x_m)_{m \geq 0}$ admet une valeur d’adhérence $y$ dans $E$. La suite $(\operatorname{pr}_0(x_m))_{m \geq 0}$ admet donc la valeur d’adhérence $\operatorname{pr}_0(y)$ dans $F_0$, mais ceci contredit la construction de $A_0$.

Sur le dual $E'$ de $E$, la topologie forte est identique à celle de la convergence compacte, puisque $E$ est un espace de Montel. Il suffit donc d’appliquer le cor. 1 de la prop. 6 de III, p. 19.

On peut montrer que le dual fort d’un espace de Montel métrisable $E$ n’est pas métrisable si $E$ est de dimension infinie (IV, p. 58, exerc. 1).