(ii) Pour tout espace localement convexe F, toute partie bornée de $\mathscr{L}_b(E; F)$, qui est réunion d’une famille dénombrable de parties équicontinues, est équicontinue.

(iii) Dans le dual fort $E'_b$ de E, toute partie bornée qui est réunion d’une famille dénombrable de parties équicontinues, est équicontinue.

Il est clair que (iii) est un cas particulier de (ii).

(i) $\Rightarrow$ (ii) : soit H une partie bornée de $\mathscr{L}_b(E; F)$, et soit $(H_n)$ une suite de parties équicontinues de $\mathscr{L}_b(E; F)$ telle que $H = \bigcup_n H_n$. Soit V un voisinage convexe, équilibré et fermé de 0 dans F. Pour tout n, l’ensemble $W_n = \bigcap_{u \in H_n} u^{-1}(V)$ est un voisinage convexe, équilibré et fermé de 0 dans E puisque $H_n$ est équicontinue. L’ensemble $W = \bigcap_{u \in H} u^{-1}(V)$ absorbe toute partie bornée de E, puisque H est borné dans $\mathscr{L}_b(E; F)$ (III, p. 22), et l’on a $W = \bigcap_n W_n$. Si E satisfait à (i), l’ensemble W est un voisinage de 0 dans E, donc H est équicontinu.

(iii) $\Rightarrow$ (i) : soit $(U_n)$ une suite de voisinages convexes, équilibrés et fermés de 0 dans E. On suppose que l’ensemble $U = \bigcap_n U_n$ absorbe toute partie bornée de E, donc que son polaire $U^\circ$ est borné dans $E'_b$. Alors l’ensemble $B = \bigcup_n U_n^\circ$ est contenu dans $U^\circ$, donc est borné dans $E'_b$. Si E satisfait à (iii), l’ensemble B est équicontinu dans $E'$; par suite, le polaire $B^\circ = \bigcap_n (U_n^\circ)^\circ = \bigcap_n U_n = U$ de B dans E est un voisinage de 0 dans E.

(DB) Il existe une suite $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de parties bornées de F telle que toute partie bornée de F soit contenue dans l’une des $A_n$.

L’espace E est bornologique (III, p. 12, prop. 2), donc son dual fort est complet (III, p. 24, cor. 1).

Soit $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante de voisinages de 0 dans E, telle que tout voisinage de 0 dans E contienne l’un des $V_n$. Soit $A_n$ le polaire de $V_n$ dans F. Comme E est bornologique, toute partie bornée de F est équicontinue (III, p. 22, prop. 10), donc contenue dans l’un des $A_n$. Autrement dit, l’espace F satisfait à la condition (DB).

Montrons que F est semi-tonnelé. Soit $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite de voisinages convexes, équilibrés et fermés de 0 dans F. On suppose que l’ensemble $U = \bigcap_n U_n$ absorbe toute partie bornée de F. Il s’agit de démontrer que U est un voisinage de 0 dans F. Nous allons construire, par récurrence sur l’entier $n \geqslant 0$, des nombres réels $\lambda_n > 0$

et des voisinages convexes et équilibrés $W_n$ de 0 dans F, fermés pour $\sigma(F, E)$, et satisfaisant aux relations (1)

(2)

Supposons construits les nombres $\lambda_i$ et les ensembles $W_i$ pour $0 \leq i < n$. Par hypothèse, l’ensemble U absorbe les parties bornées de F ; de plus, pour $0 \leq i < n$, $W_i$ est un voisinage de 0 dans F, donc absorbe les parties bornées de F. On peut donc trouver un nombre $\lambda_n > 0$ satisfaisant à (1). Notons C l’enveloppe fermée convexe équilibrée, pour $\sigma(F, E)$, de $\bigcup_{0 \leq i \leq n} \lambda_i A_i$; l’ensemble C est équicontinu, donc compact pour $\sigma(F, E)$ (III, p. 17, cor. 2). Comme $U_n$ est un voisinage de 0 dans F, il existe une partie bornée B de E telle que $B^\circ \subset \frac{1}{2} U_n$. Posons $W_n = C + B^\circ$. Comme $B^\circ$ est un voisinage de 0 dans F, on voit que $W_n$ est un voisinage convexe et équilibré de 0 dans F. De plus, C est compact et $B^\circ$ fermé pour $\sigma(F, E)$; d’après le cor. 1 de TG, III, p. 28, $W_n$ est fermé pour $\sigma(F, E)$. Enfin, on a $C \subset \frac{1}{2} U \subset \frac{1}{2} U_n$ et $B^\circ \subset \frac{1}{2} U_n$, donc $W_n \subset U_n$ puisque $U_n$ est convexe. On a donc établi (2).

Posons $W = \bigcap^n W_n$, d’où $W \subset U$. D’après (1) et (2), on a $\lambda_i A_i \subset W_j$ quels que soient $i$ et $j$ dans $\mathbf{N}$, d’où $\lambda_i A_i \subset W$ pour tout $i \in \mathbf{N}$. En particulier, W est absorbant, donc c’est un tonneau pour $\sigma(F, E)$. D’après la remarque 3 de IV, p. 4, W est un voisinage de 0 dans F. A fortiori, U est un voisinage de 0 dans F, et F est semi-tonnelé.

Le corollaire suivant étend le th. de Banach-Steinhaus au dual d’un espace de Fréchet (cf. III, p. 26, cor. 2).

Comme F est complet, l’ensemble des $u_n$, qui est borné pour la topologie de la convergence simple, est borné dans $\mathscr{L}_b(F; G)$ (III, p. 27, cor. 1). Comme l’espace F est semi-tonnelé (prop. 2), toute partie dénombrable et bornée de $\mathscr{L}_b(F; G)$ est équi-continue d’après la prop. 1 de IV, p. 20. L’ensemble des $u_n$ est donc équicontinu, et le corollaire résulte alors de III, p. 18, corollaire.

D’après la prop. 2 (IV, p. 21), il existe une suite $(A_n)$ de parties bornées de $E'_b$ telle que toute partie bornée de $E'_b$ soit contenue dans l’une des $A_n$. Soit $(V_n)$ un système fondamental dénombrable de voisinages de 0 dans G. Soit $H_{mn}$ l’ensemble des applications linéaires $u$ de $E'_b$ dans G telles que $u(A_m) \subset V_n$. Alors $(H_{mn})$ est un système fondamental de voisinages de 0 dans $\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$, et ce dernier espace est donc métrisable.

Pour montrer que $\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$ est complet, il suffit de prouver que toute suite de Cauchy $(u_n)$ dans cet espace est convergente ; comme G est complet, il existe une application linéaire $u : E'_b \to G$ telle que $(u_n)$ converge simplement vers $u$. D’après IV, p. 22, corollaire, on a $u \in \mathscr{L}(E'_b ; G)$. Il résulte alors de la prop. 5 de TG, X, p. 6, que $(u_n)$ converge vers $u$ dans $\mathscr{L}_b(E'_b ; G)$.

Soit $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite décroissante de voisinages convexes, équilibrés et fermés de 0 dans E, telle que tout voisinage de 0 dans E contienne l’un des $V_n$. Soit $A_n$ le polaire de $V_n$ dans $E'$. Alors $A_n$ est convexe, équilibré, et compact pour $\sigma(E', E)$; d’après III, p. 8, corollaire, l’espace $E'_{A_n}$ est un espace de Banach. Nous allons prouver que $E'_b$ est limite inductive des espaces $E'_{A_n}$, autrement dit que toute partie convexe et équilibrée U de $E'$ qui absorbe chacun des $A_n$ est un voisinage de 0 dans $E'_b$. Pour tout $n \in \mathbf{N}$, choisissons un nombre réel $\lambda_n > 0$ tel que $\lambda_n A_n \subset U$. Soit $B_n$ l’enveloppe convexe de l’ensemble $\bigcup_{0 \leq i \leq n} \lambda_i A_i$; posons $V = \bigcup_n B_n$, d’où $V \subset U$. Pour tout $n \in \mathbf{N}$, l’ensemble $B_n$ est convexe, équilibré et compact pour $\sigma(E', E)$ (II, p. 14, prop. 15).

Montrons que l’on a $\frac{1}{2} V^{oo} \subset V$. Soit $x \in E'_b - V$; pour tout $n \in \mathbf{N}$, on a $x \notin B_n$, et comme $B_n$ est fermée pour $\sigma(E', E)$, il existe un élément $y_n$ de $B_n^o$ tel que $\langle y_n, x \rangle = 1$ (II, p. 41, prop. 4). Comme E est réflexif, toute partie bornée de E est relativement compacte pour $\sigma(E, E')$ (IV, p. 16, th. 2). D’après la définition de $B_n$, on a

donc la suite $(y_n)$ est bornée. Soit $y$ une valeur d’adhérence de $(y_n)$ pour la topologie $\sigma(E, E')$. On a $y \in V^o = \bigcap_n B_n^o$ et $\langle y, x \rangle = 1$. On a donc $x \notin \frac{1}{2} V^{oo}$, d’où l’inclusion $\frac{1}{2} V^{oo} \subset V$ et a fortiori $\frac{1}{2} V^{oo} \subset U$.

Comme toute partie bornée de $E'_b$ est contenue dans l’un des ensembles $A_n$, l’ensemble $V = \bigcup_n B_n$ absorbe toute partie bornée de $E'_b$. Par suite, $V^o$ est borné dans E, donc $\frac{1}{2} V^{oo}$ est un voisinage de 0 dans $E'_b$. A fortiori U est un voisinage de 0 dans $E'_b$.

Une limite inductive d’espaces de Banach est bornologique par définition. Par ailleurs, un espace de Banach est tonnelé (III, p. 25, corollaire) et toute limite inductive d’espaces tonnelés est un espace tonnelé (III, p. 25, cor. 3).

Remarquons d’abord qu’une partie A de E' est fermée pour $\mathscr{T}_f$ si et seulement si $A \cap H$ est fermé pour $\sigma(E', E)$ quelle que soit la partie H de E', équicontinue et fermée pour $\sigma(E', E)$. Sur toute partie équicontinue de E', la topologie faible $\sigma(E', E)$ et $\mathscr{T}_{pc}$ induisent la même topologie (III, p. 17, prop. 5). Par suite, chacune des topologies $\mathscr{T}_{\mathfrak{N}}, \mathscr{T}_c, \mathscr{T}_{pc}, \mathscr{T}_f$ est moins fine que la suivante. Il suffit donc de prouver que $\mathscr{T}_{\mathfrak{N}}$ est plus fine que $\mathscr{T}_f$. De plus, toute translation dans E' est un homéomorphisme pour $\mathscr{T}_f$. Il suffit donc de prouver que, si F est une partie de E' fermée pour $\mathscr{T}_f$, ne contenant pas 0, il existe un ensemble $S \in \mathfrak{N}$ tel que $S^\circ \cap F = \varnothing$.

Soit $(U_n)_{n \geq 0}$ une suite décroissante de voisinages de 0 dans E, formant un système fondamental de voisinages de 0. Nous allons construire, par récurrence sur $n \geq 0$, des ensembles finis $X_n$ tels que l’on ait

(4)

(5)

pour tout entier $n \geq 0$. Soit $m \geq 0$ un entier tel que $X_n$ soit déjà construit pour $0 \leq n < m$ et satisfasse à (4) et (5) pour $0 \leq n < m$. Pour tout $x \in U_m$, posons

La formule (5), où l’on fait $n = m - 1$ entraîne $\bigcap_{x \in U_m} F_x = \varnothing$. Par ailleurs, l’ensemble $U_{m+1}^\circ$ est équicontinu, et compact pour $\sigma(E', E)$. Vu la définition de $\mathscr{T}_f$, chacun des ensembles $F_x$ est compact pour $\sigma(E', E)$; il existe donc une partie finie $X_m$ de $U_m$ telle que $\bigcap_{x \in X_m} F_x = \varnothing$, c’est-à-dire que la relation (5) est satisfaite pour $n = m$.

Posons $S = \bigcup_{n \geq 0} X_n$. On a $X_n \subset U_p$ pour $n \geq p$, donc S est l’ensemble des points d’une suite qui converge vers 0 dans E. De (5), on déduit $S^\circ \cap U_{n+1}^\circ \cap F = \varnothing$, d’où $S^\circ \cap F = \varnothing$ car E' est réunion de la suite des ensembles $U_{n+1}^\circ$.

Cela résulte de l’identité des topologies $\mathscr{T}_{pc}$ et $\mathscr{T}_\mathfrak{K}$, compte tenu de la prop. 2 de III, p. 15.

Puisque E est complet, la topologie $\mathscr{T}_c$ sur E’ est compatible avec la dualité entre E’ et E (IV, p. 3, Exemple); par suite les parties convexes fermées dans E’ sont les mêmes pour $\mathscr{T}_c$ et $\sigma(E', E)$ (IV, p. 1, prop. 1). Le corollaire résulte alors de l’identité des topologies $\mathscr{T}_c$ et $\mathscr{T}_f$.

Rappelons (I, p. 13) que les hyperplans de E’ fermés pour $\sigma(E', E)$ sont les noyaux des formes linéaires sur E’ associées aux éléments de E. Le cor. 2 fournit donc une autre démonstration (pour les espaces de Fréchet) du cor. 1 de III, p. 21.

Soit $(U_n)_{n \in \mathbf{N}}$ (resp. $(V_n)_{n \in \mathbf{N}}$) un système fondamental de voisinages de 0 dans E (resp. F). On suppose que les ensembles $U_n$ sont équilibrés et forment une suite décroissante. Comme u est continue, il existe pour tout $n \in \mathbf{N}$ un ensemble borné $B_n$ dans E tel que $u(B_n^\circ) \subset V_n$. Comme $B_n$ est borné, il existe un nombre réel $\lambda_n > 0$ tel que $\lambda_n B_n \subset U_n$. Posons $B = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} \lambda_n B_n$.

Nous allons prouver que l’ensemble B est borné dans E, autrement dit que pour tout entier $m \geqslant 0$, il existe un nombre réel $\mu > 0$ tel que $\mu B \subset U_m$. Comme les ensembles $B_n$ sont bornés, il existe un nombre réel $\mu$ tel que $0 < \mu \leqslant 1$ et que $\mu (\lambda_n B_n) \subset U_m$ pour $0 \leqslant n \leqslant m$; on a par ailleurs $\lambda_n B_n \subset U_n \subset U_m$ si $n > m$, d’où $\mu B \subset U_m$ puisque $U_m$ est équilibré.

Soit U le polaire de B dans $E'_b$. C’est un voisinage de 0 dans $E'_b$ et l’on a $\lambda_n B^\circ \subset B_n^\circ$, d’où $\lambda_n u(U) \subset V_n$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Par suite $u(U)$ est borné dans F.

L’espace $G$ est isomorphe à un sous-espace d’un produit d’espaces de Banach (II, p. 5, prop. 3). Il suffit donc de prouver le théorème sous l’hypothèse supplémentaire que $G$ est un espace de Banach. Or $F_1$ est tonnelé et $F_2$ bornologique (IV, p. 23, corollaire), et $\mathscr{L}_b(F_2 ; G)$ est un espace de Fréchet (IV, p. 22, prop. 3). Notons $v$ l’application linéaire de $F_1$ dans $\mathscr{L}_b(F_2 ; G)$ associée à $u$ par la relation

Comme $F_1$ est tonnelé et $u$ séparément continue, $v$ est continue (III, p. 32, prop. 6).

Comme $v$ est continue, le lemme 1 entraîne l’existence d’un voisinage $U_1$ de 0 dans $F_1$ dont l’image par $v$ soit bornée dans $\mathscr{L}_b(F_2 ; G)$. Autrement dit, pour tout ensemble borné $B_2$ dans $F_2$, l’ensemble $u(U_1 \times B_2)$ est borné dans l’espace de Banach $G$. Soit $U_2$ l’ensemble des $x_2 \in F_2$ tels que l’on ait $\|u(x_1, x_2)\| \leq 1$ pour tout $x_1 \in U_1$. L’ensemble $U_2$ absorbe donc tout ensemble borné ; comme $F_2$ est bornologique, $U_2$ est donc un voisinage de 0 dans $F_2$, ce qui prouve que $u$ est continue.