§ 3. Đối ngẫu của một không gian fréchet

1. Không gian nửa thùng

Mọi không gian thùng đều là nửa thùng. Điều này cũng đúng đối với mọi không gian bornological (III, p. 22, mệnh đề 10).

2. Đối ngẫu của một không gian lồi địa phương mêtric hóa được

3. Song đối ngẫu của một không gian lồi địa phương mêtric hóa được

4. Đối ngẫu của một không gian Fréchet phản xạ

5. Tôpô hội tụ compắc trên đối ngẫu của một không gian Fréchet

6. Ánh xạ song tuyến tính liên tục riêng

Bài tập

T 1) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương khả mêtric, và $E'_b$ là đối ngẫu mạnh của nó. Nếu $E'_b$ là khả mêtric, hãy chứng minh rằng tôpô của $E$ có thể được xác định bởi một chuẩn duy nhất (dùng III, p. 37, bài tập 2 và p. 38, bài tập 5 và cả sự kiện rằng $E$ là bornological).

T 2) Một không gian infra-barrelled là nửa barrelled. Một không gian lồi địa phương được gọi là một (DF) không gian nếu nó là nửa barrelled và nếu bornology chính tắc (III, p. 3, định nghĩa 5) có một cơ sở đếm được. Mọi không gian định chuẩn và mọi giới hạn quy nạp ngặt của một dãy các không gian định chuẩn (II, p. 33) đều là một (DF) không gian. Mọi đối ngẫu mạnh của một không gian Fréchet đều là một (DF) không gian. a) Đối ngẫu mạnh của một (DF) không gian là một không gian Fréchet. b) Cho $E$ là một (DF) không gian và cho $(A_n)$ là một dãy tăng các tập con bị chặn, lồi, cân bằng và đóng của $E$ sao cho mọi tập con bị chặn của $E$ đều bị một trong các $A_n$ hấp thụ.

Gọi U là hợp của các $A_n$; hãy chứng tỏ rằng bao đóng $\overline{U}$ của U trong E chính xác là tập hợp tất cả $x \in E$ sao cho $\lambda x \in U$ với $0 \leq \lambda < 1$. (Nếu $x \notin \lambda U$ với một $\lambda > 1$, thì với mọi $n$, tồn tại một dạng tuyến tính $x'_n \in E'$ sao cho $x'_n \in A_n^\circ$ và $\langle x, x'_n \rangle = \lambda$, và dãy $(x'_n)$ là equicontinuous, do đó có một điểm giới hạn yếu.) c) Hãy chứng tỏ rằng nếu một (DF) không gian là barrelled thì nó cũng là bornological ($cf.$ III, p. 44, exerc. 13, b)). Hãy cho các ví dụ về những (DF) không gian không ultrabornological, nhưng bornological và barrelled (III, p. 46, exerc. 22) và cả những (DF) không gian không barrelled nhưng bornological.

¶ 3) Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric, và $E'_b$ là đối ngẫu mạnh của nó. a) Hãy chỉ ra rằng mọi tập con lồi cân bằng $V'$ của $E'_b$ hút các tập con bị chặn mạnh của $E'_b$ đều chứa một thùng (đối với tôpô mạnh) hút các tập con bị chặn mạnh của $E'_b$. (Lấy $(K'_n)$ là một cơ sở đếm được của bornology chính tắc của $E'_b$ và lấy $\lambda_n$ sao cho $\lambda_n K'_n \subset \frac{1}{2}V'$; áp dụng bài tập 2, b) cho dãy $A'_n$, trong đó $A'_n$ là bao lồi của hợp của các $\lambda_j K'_j$ với $j \leq n$.) b) Suy ra từ a) rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha)$ E là distinguished (IV, p. 52, bài tập 4). $\beta)$ $E'_b$ là infrabarrelled (III, p. 44, bài tập 7). $\gamma)$ $E'_b$ là bornological. $\delta)$ $E'_b$ là barrelled. $\varepsilon)$ $E'_b$ là ultrabornological (III, p. 45, bài tập 19). c) Hãy chỉ ra rằng nếu $E'_b$ là phản xạ, thì $\hat{E} = E''$ (khi đó hiển nhiên là phản xạ) ($cf.$ IV, p. 52, bài tập 4 và p. 53, bài tập 11).

4) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, E' là đối ngẫu của nó. Nếu M là một không gian con vectơ đóng của E, khả mêtric và distinguished (IV, p. 52, bài tập 4), thì tôpô mạnh $\beta(E'/M^\circ, M)$ là tôpô thương theo $M^\circ$ của tôpô mạnh $\beta(E', E)$ (dùng bài tập 3, b) và IV, p. 51, bài tập 22, b)).

¶ 5) Với mọi số nguyên $n > 0$, đặt $a^{(n)}$ là dãy kép $(a_{pq}^{(n)})$ ($p \in \mathbf{N}, q \in \mathbf{N}$) sao cho $a_{pq}^{(n)} = q$ nếu $p \leq n$ và $a_{pq}^{(n)} = 1$ nếu $p > n$. Gọi E là không gian vectơ của mọi dãy kép $x = (x_{pq})_{(p,q) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ gồm các số thực sao cho, với mọi số nguyên $n > 0$, số $r_n(x) = \sum_{p,q} a_{pq}^{(n)} |x_{pq}|$ là hữu hạn. Nếu E được trang bị tôpô xác định bởi các nửa chuẩn $r_n$, thì E là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất (IV, p. 47, bài tập 1, c)); đối ngẫu E' của E có thể được đồng nhất với không gian của mọi dãy kép $x' = (x'_{pq})$ gồm các số thực sao cho với ít nhất một chỉ số $n$, tồn tại $k_n > 0$ sao cho $|x'_{pq}| \leq k_n a_{pq}^{(n)}$ với mọi cặp $(p, q)$; và $\langle x, x' \rangle = \sum_{p,q} x_{pq} x'_{pq}$ (IV, p. 47, bài tập 1, c)). Với mọi số nguyên $p_0 > 0$ và mọi dãy $(m_p)$ các số nguyên $> 0$, gọi $J(p_0; (m_p))$ là tập hợp các cặp số nguyên $p > 0, q > 0$ sao cho $p \geq p_0$ và $q \geq m_p$; gọi $\mathscr{B}$ là cơ sở lọc trên $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ gồm các tập hợp $J(p_0; (m_p))$ và gọi $\mathfrak{F}$ là một siêu lọc mịn hơn bộ lọc có cơ sở là $\mathscr{B}$. a) Chứng minh rằng với mọi $x' = (x'_{pq}) \in E'$, dãy kép $(x'_{pq})$ có một giới hạn $u(x')$ đối với siêu lọc $\mathfrak{F}$; nếu $V_n$ là một lân cận của 0 trong E xác định bởi $r_n(x) \leq 1$, thì $|u(x')| \leq 1$ với mọi $x' \in V_n^\circ$. b) Gọi $U'$ là một lân cận của 0 trong $E'$, đối với tôpô mạnh, lồi, cân bằng và đóng yếu, và với mọi $n$, gọi $\alpha_n > 0$ sao cho $\alpha_n V_n^\circ \subset U'$. Với mọi số nguyên $p > 0$, gọi $m_p$ là một số nguyên sao cho $2^{p+1} \leq \alpha_p m_p$, và gọi $x' = (x'_{pq})$ là dãy kép với $x'_{pq} = 0$ nếu $q < m_p$, $x'_{pq} = 2$ nếu $q \geq m_p$. Chứng minh rằng $x' \in U'$ nhưng $u(x') = 2$; suy ra rằng $u$ không liên tục mạnh trên $E'$, trong khi bị chặn trên mọi tập con bị chặn của $E'$. Kết luận (IV, p. 58, bài tập 3) rằng E không phân biệt, và do đó đối ngẫu mạnh $E'_b$ là một không gian (DF) không infra-thùng. c) Dùng b) để xây dựng một ví dụ về một không gian con đóng M của một không gian Fréchet F sao cho tôpô mạnh $\beta(F'/M^\circ, M)$ phân biệt với tôpô thương theo $M^\circ$ của tôpô mạnh $\beta(F', F)$ (nhúng E vào một tích đếm được các không gian Banach).

T 6) a) Cho E là một không gian (DF) (IV, p. 57, exerc. 2), và cho U là một tập lồi sao cho với mọi tập con bị chặn, lồi và cân bằng A của E, $U \cap A$ là một lân cận của 0 đối với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô của E. Chứng minh rằng U là một lân cận của 0 trong A. (Cho $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của sinh cấu chính tắc của E (III, p. 3, def. 5). Chứng minh rằng, bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$ và một dãy $(V_n)$ các lân cận đóng, lồi và cân bằng của 0 trong E sao cho $\lambda_n A_n \subset \frac{1}{3} U, \lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j, V_n \cap A_n \subset U$ với mọi $n$.

Trước hết chứng minh rằng nếu $\lambda_j$ và $V_j$ đã được xây dựng với $j \leq n$, thì ta có thể tìm được $\lambda_{n+1}$ sao cho $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset \frac{1}{3} U$ và $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ với $j \leq n$. Tiếp theo chứng minh rằng ta có thể tìm được $V_{n+1}$ sao cho $\lambda_j A_j \subset V_{n+1}$ với $j \leq n + 1$ và $V_{n+1} \cap A_{n+1} \subset U$; để làm điều đó, ký hiệu A là bao lồi của các $\lambda_j A_j$ với $j \leq n + 1$, hãy chứng minh rằng ta có thể lấy $V_{n+1} = \overline{A + V}$ với một lân cận lồi cân bằng V thích hợp của 0; ta nhận xét rằng để làm việc này, chỉ cần chứng minh rằng, nếu $B = A_{n+1} \cap \complement U$, thì 0 không thuộc bao đóng của tập $B + 2A$. b) Suy ra từ a) rằng nếu $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương F, sao cho hạn chế của $u$ lên mọi tập con bị chặn của E là liên tục, thì $u$ là liên tục ($cf.$ IV, p. 50, exerc. 15).

T 7) a) Cho E là một không gian (DF), U một tập lồi, cân bằng và đóng trong E, hấp thụ các tập con bị chặn của E, và cho $(x_n)$ là một dãy các điểm của $\complement U$. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận V của 0 trong E không chứa điểm nào trong các $x_n$. (Cho $(A_n)$ là một cơ sở đếm được của sinh cấu chính tắc của E. Chứng minh rằng, bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa một dãy $(\lambda_n)$ các số $> 0$ và một dãy $(V_n)$ các lân cận lồi, cân bằng và đóng của 0 sao cho $\lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j, \lambda_n A_n \subset U$ và $x_n \in \complement V_n$ với mọi $n$. Để làm điều đó, nếu các $\lambda_j$ và $V_j$ đã được xây dựng với $j \leq n$, hãy lấy $\lambda_{n+1}$ sao cho $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset U$ và $\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$ với mọi $j \leq n$, rồi lấy $V_{n+1}$ chứa bao đóng của bao lồi của hợp các $\lambda_j A_j$ với $j \leq n + 1$. b) Suy ra từ a) rằng nếu M là một tập con của E chứa một tập đếm được trù mật mọi nơi, thì tôpô cảm sinh trên M bởi tôpô mạnh của song đối ngẫu $E''$ của E là đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E. Đặc biệt, các dãy hội tụ trong E là như nhau đối với tôpô của E và đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh của $E''$; với mọi tập con mêtric hóa được M của E, tôpô cảm sinh trên M bởi tôpô của E là đồng nhất với tôpô cảm sinh bởi tôpô mạnh của $E''$. c) Suy ra từ a) rằng nếu tồn tại một tập đếm được trù mật mọi nơi trong E, thì E là infra-barrelled. d) Suy ra từ b) và từ exerc. 6 rằng nếu mọi tập con bị chặn của E đều mêtric hóa được đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E, thì E là infrabarrelled.

**T 8) Cho E là một không gian Fréchet, $E'_b$ là đối ngẫu mạnh của nó. Giả sử rằng tồn tại một dãy $(x'_n)$ trù mật trong $E'_b$. Chứng minh rằng E thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. (Lấy $(K'_n)$ là một cơ sở đếm được của bornology chính tắc của $E'_b$ gồm các tập đóng lồi cân bằng. Đối với mỗi hệ $\alpha$ gồm một điểm $x'_n$, một số hữu hạn tùy ý các số hữu tỉ $\lambda_k > 0 (1 \leq k \leq m)$ và m chỉ số $n_k$ sao cho $x'_n \notin 2 \sum_{k=1}^m \lambda_k K'_{n_k} = 2H'_\alpha$, lấy $x_\alpha \in E$ sao cho siêu phẳng có phương trình $\langle x_\alpha, y' \rangle = 1$ phân cách nghiêm ngặt hai tập compắc yếu $H'_\alpha$ và $x'_n + H'_\alpha$. Chứng minh rằng với mọi $x' \neq 0$ trong $E'$, tồn tại một hệ $\alpha$ sao cho $\langle x_\alpha, x' \rangle \neq 0$. Để làm điều đó, xét một lân cận $V'$ của 0 trong $E'_b$ sao cho $V' \cap (x' + V') = \varnothing$, rồi với mỗi số nguyên m, lấy một số hữu tỉ $\lambda_m > 0$ sao cho $\lambda_m K'_m \subset V'$; dùng sự kiện rằng hợp $U' \subset V'$ của các $\lambda_m K'_m$ là một lân cận của 0 (bài tập 7, và IV, p. 58, bài tập 3, b)) và rằng tồn tại $n$ sao cho $x'_n \in x' + U'$.)

T 9) a) Cho E là một không gian Hausdorff nửa thùng, M là một không gian con vectơ đóng của E và $E'$ là đối ngẫu của E. Chứng minh rằng $E/M$ là nửa thùng và tôpô mạnh $\beta(M^\circ, E/M)$ trùng với tôpô cảm sinh trên $M^\circ$ bởi tôpô mạnh $\beta(E', E)$. (Chú ý rằng chỉ cần chứng minh rằng một dãy $(x'_n)$ trong $M^\circ$ hội tụ đến 0 đối với $\beta(E', E)$ thì bị chặn đối với $\beta(M^\circ, E/M)$.) Suy ra rằng nếu E là một không gian (DF), thì $E/M$ cũng vậy ($cf.$ IV, p. 63, exerc. 8).

b) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, M là một không gian con vectơ của E (không nhất thiết đóng). Chứng minh rằng nếu M là một không gian nửa thùng, thì tôpô mạnh $\beta(E'/M^\circ, M)$ trùng với tôpô thương theo $M^\circ$ của tôpô mạnh $\beta(E', E)$. (Lập luận như trong a).) c) Chứng minh rằng một không gian Hausdorff, gần đầy đủ và nửa thùng E là đầy đủ (dùng b) áp dụng cho E và $\hat{E}$). Đặc biệt, một không gian nửa thùng, nửa phản xạ là đầy đủ (cf. IV, p. 52, exerc. 6). d) Chứng minh rằng hoàn bị hóa của một không gian Hausdorff nửa thùng (tương ứng, (DF)) là nửa thùng (tương ứng, một không gian (DF)). e) Cho $(E_n)$ là một dãy các không gian nửa thùng (tương ứng, (DF)), E là một không gian vectơ, và với mỗi n, lấy $f_n$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_n$ vào E. Giả sử rằng E là hợp của các $f_n(E_n)$; chứng minh rằng E là nửa thùng (tương ứng, một không gian (DF)) đối với tôpô lồi địa phương mịn nhất mà theo đó mọi $f_n$ đều liên tục (trước hết hãy xét trường hợp E là tổng trực tiếp tôpô của các $E_n$). Nếu các $E_n$ là nửa phản xạ (tương ứng, phản xạ) và nếu E là Hausdorff, thì E là nửa phản xạ (tương ứng, phản xạ).

10) Cho E là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Chứng minh rằng nếu trong đối ngẫu $E'$ của E, mọi dãy hội tụ đối với tôpô yếu $\sigma(E', E)$ cũng hội tụ đối với tôpô mạnh $\beta(E', E)$, thì E là một không gian Montel. (Chứng minh rằng mọi tập con bị chặn của $E'$ đều tương đối compắc đối với tôpô mạnh; dùng GT, II, § 4, bài tập 6; rồi dùng IV, p. 53, bài tập 11, b).)

11) Cho $(c_{mn})$ là một dãy kép các số $> 0$ sao cho $c_{m,n} \leq c_{m+1,n}$ và gọi E là không gian của mọi dãy $x = (x_n)$ các số thực sao cho $p_m(x) = \sum_n c_{mn} |x_n| < +\infty$ với mọi số nguyên m. Ta trang bị cho E tôpô xác định bởi các nửa chuẩn $p_m$ và đối với tôpô này, E là một không gian Fréchet thỏa mãn tiên đề thứ nhất về tính đếm được; đối ngẫu $E'$ của E có thể được đồng nhất với không gian của mọi dãy $x' = (x'_n)$ sao cho $\sup_n c_{mn}^{-1} |x'_n| < +\infty$ đối với ít nhất một m, dạng song tuyến tính chính tắc $\langle x, x' \rangle$ được đồng nhất với $\sum_n x_n x'_n$ (IV, p. 47, bài tập 1, c)). Giả sử không tồn tại dãy con nào $(n_k)$ mà đối với nó có một dãy $(a_m)$ các số $\geq 0$ và một chỉ số $m_0$ sao cho $c_{m,n_k} \leq a_m c_{m_0,n_k}$ với mọi $m \geq m_0$ và với mọi k. Trong các điều kiện đó, mọi dãy hội tụ yếu trong $E'$ đều hội tụ mạnh và do đó (IV, p. 60, bài tập 10) E là một không gian Montel. (Lập luận bằng phản chứng; nếu cần thì thực hiện một phép biến đổi dạng $(x_n) \mapsto (a_n x_n)$ để rút gọn về trường hợp $c_{m_0 n} = 1$ với mọi n và một $m_0$ nào đó, và trong đó tồn tại một dãy $(x^{(p)})_{p \geq 0}$ hội tụ yếu đến 0 trong E', sao cho $|x^{(p)}_n| \leq 1$ với mọi cặp $(p, n)$, và thêm nữa tồn tại một tập hợp bị chặn B trong E, được xác định bởi $p_m(x) \leq b_m$ với mọi $m \geq 0$ và sao cho $\sup_{x \in B} |\langle x, x^{(p)} \rangle| \geq 2\delta > 0$ với mọi số nguyên p. Theo các giả thiết này, hãy chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng ngặt $(r_q)$ các số nguyên, và một dãy $(x^{(q)})$ các điểm của B sao cho

với mỗi chỉ số q. Sau đó hãy chỉ ra, bằng phản chứng, rằng với mọi q, tồn tại ít nhất một chỉ số $s_q$ sao cho $r_q < s_q \leq r_{q+1}$ và rằng với mọi số nguyên m, ta có $c_{m,s_q} \leq b_m 2^{m+2}/\delta$, điều này mâu thuẫn với giả thiết.)

12) a) Cho F là một không gian (DF) Hausdorff, và $F'_b$ là đối ngẫu mạnh của nó. Hãy chỉ ra rằng nếu $F'_b$ là phản xạ, thì đầy đủ hóa $\hat{F}$ của F là phản xạ và bằng song đối ngẫu $F''$ của F (xem IV, p. 52, bài tập 4 và p. 53, bài tập 11). b) Cho E là một không gian Fréchet. Hãy chỉ ra rằng nếu song đối ngẫu $E''$ của E là phản xạ, thì E là phản xạ.

13) a) Cho E, F là hai không gian Fréchet, G là một không gian lồi địa phương Hausdorff và E', F', G' lần lượt là các đối ngẫu của E, F, G. Cho $u$ là một ánh xạ song tuyến tính từ $E' \times F'$ vào $G'$, liên tục riêng rẽ (III, p. 28) khi E', F', G' được trang bị các tôpô yếu $\sigma(E', E)$, $\sigma(F', F)$ và $\sigma(G', G)$. Hãy chỉ ra rằng trong các điều kiện đó, $u$ là một ánh xạ liên tục từ $E' \times F'$ vào $G'$ khi E', F' và G' được trang bị các tôpô mạnh. (Với $z \in G$, đặt \langle z, u(x', y') \rangle = \langle v_z(x'), y' \rangle \text{ trong đó } v_z(x') \in F. \text{ Trước hết hãy chỉ ra rằng nếu } E' \text{ được trang bị tôpô mạnh và } F \text{ tôpô ban đầu, thì tập hợp tất cả } v_z, \text{ khi } z \text{ chạy trong một tập hợp bị chặn } C \text{ của } G, \text{ là đẳng liên tục; để làm điều này, dùng IV, p. 51, bài tập 19, } d). \text{ Tiếp theo hãy chỉ ra rằng tồn tại một lân cận } V' \text{ của } 0 \text{ đối với tôpô mạnh của } E' \text{ sao cho hợp của các tập } v_z(V') \text{ khi } z \text{ chạy trong } C \text{ là bị chặn trong } F; \text{ để làm điều này, dùng III, p. 47, bài tập 5.)} b) Hãy cho một ví dụ để chỉ ra rằng kết luận của a) không còn đúng nếu ta giả sử rằng $E$ là một không gian Fréchet và $F$ là một giới hạn quy nạp ngặt của các không gian Fréchet (III, p. 47, bài tập 3).

14) a) Cho $E$ là một không gian Fréchet, $E'$ là đối ngẫu của nó. Hãy chỉ ra rằng $E'$, được trang bị tôpô hội tụ compact hoặc một tôpô $\mathscr{S}$ mịn hơn, là đầy đủ ($cf.$ III, p. 22, Nhận xét 1). Nếu $E$ không phản xạ, hãy chỉ ra rằng $E'$ không là infrabarrelled đối với bất kỳ tôpô $\mathscr{S}$ nào mịn hơn tôpô hội tụ compact và thô hơn $\tau(E', E)$. b) Cho $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các không gian Fréchet, $E$ là một không gian vectơ và với mọi $\alpha \in A$, cho $h_\alpha$ là một ánh xạ tuyến tính từ $E_\alpha$ vào $E$. Giả sử rằng $E$, được trang bị tôpô lồi địa phương mịn nhất sao cho các $h_\alpha$ là liên tục (II, p. 27), là Hausdorff. Hãy chứng minh rằng đối ngẫu $E'$ của $E$, được trang bị tôpô hội tụ compact hoặc bất kỳ tôpô $\mathscr{S}$ mịn hơn nào, là đầy đủ ($cf.$ III, p. 20, th.