Corollaire 2

Étiquette 0E5E, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E5E].

Functions of a Real Variable, chapter II, § 1. Primitives et intégrales

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques réglées dans $I$ , telles que $g(x) \geqslant 0$ aux points où $g$ est continue ; si $m$ et $M$ sont les bornes inférieure et supérieure de $f$ dans l’ensemble des points de $I$ où $f$ est continue, on a

\frac{m}{b-a} \int_a^b g(t)\ dt \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t)\ g(t)\ dt \leqslant \frac{M}{b-a} \int_a^b g(t)\ dt.

Les deux premiers membres (resp. les deux derniers) ne sont égaux que si $g(x)(f(x)-m)=0$ (resp. $g(x)\ (f(x)-M)=0$ ) en tout point où $f$ et $g$ sont continues.

Pour les fonctions vectorielles, le th. des accroissements finis (I, p. 23, th. 2) donne de même la proposition suivante :

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.