Exemple 3

Soit $(\mathbf{u}_n)_{n \leq 1}$ une suite infinie de points de $E$, et soit $\mathbf{f}$ la fonction en escalier définie dans l’intervalle $(1, +\infty)$ par les conditions: $\mathbf{f}(x) = \mathbf{u}_n$ pour $n \leq x < n + 1$. Pour que l’intégrale $\int_1^{+\infty} \mathbf{f}(t)dt$ soit convergente, il faut et il suffit que la série de terme général $\mathbf{u}_n$ soit convergente dans $E$; en effet, on a

donc la condition est nécessaire; réciproquement, si la série de terme général $\mathbf{u}_n$ converge dans E, on a $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$; or, si $n \leq x \leq n + 1$, on a $\int_1^n f(t) \, dt = \sum_{p=1}^{n-1} u_p + u_n(x - n)$, donc cette intégrale a pour limite $\sum_{n=1}^\infty u_n$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

Il est immédiat que si une fonction $f$ réglée par morceaux admet une intégrale dans I, les formules (4) à (9) de II, p. 9 sont encore valables. De même, la formule (10) de II, p. 10 s’étend de la façon suivante : $f$ et $g$ sont supposées être des primitives de fonctions $f'$, $g'$ réglées dans ]$a, b$[, et on désigne par $[f.g]_a^b$ la limite (si elle existe) de $[f.g]_{x,y}^y$, lorsque $(x, y)$ tend vers $(a, b)$ (avec $a < x \leq y < b$) ; alors, si deux des expressions $[f.g]_a^b$, $\int_a^b [f(t).g'(t)] \, dt$, $\int_a^b [f'(t).g(t)] \, dt$ ont un sens, il en est de même de la troisième, et la formule (10) de II, p. 10 subsiste.

Enfin, soit $f$ une fonction numérique définie et continue dans $I = ]a, b[$, primitive d’une fonction $f'$ réglée dans ]$a, b$[; soit d’autre part $g$ une fonction vectorielle continue dans un intervalle ouvert $J$ contenant $f(I)$; si la fonction $g(f(x))f'(x)$ admet une intégrale dans $I$, et si $f$ tend vers une limite (finie ou non) aux points $a$ et $b$, $g$ admet une intégrale de $f(a+)$ à $f(b-)$, et on a la formule

En effet, si $(x, y)$ tend vers $(a, b)$, $(f(x), f(y))$ tend vers $(f(a+), f(b-))$ par hypothèse ; il suffit donc d’appliquer la formule (12) de II, p. 11 entre $x$ et $y$ et de passer à la limite pour avoir (1).

Étant donnée une fonction $f$ réglée dans un intervalle non compact $I \subset \mathbf{R}$, d’extrémités $a$ et $b$ ($a < b$), la condition pour que $f$ ait une intégrale dans $I$ peut se présenter de la manière suivante. Les intervalles compacts $J \subset I$ forment un ensemble ordonné filtrant $\mathfrak{A}(I)$ pour la relation $\subset^1$, car si $[\alpha, \beta]$ et $[\gamma, \delta]$ sont deux intervalles compacts contenus dans $I$, et si on pose $\lambda = \min(\alpha, \gamma)$, $\mu = \max(\beta, \delta)$, l’intervalle $[\lambda, \mu]$ est contenu dans $I$ et contient les deux intervalles considérés. Pour tout intervalle compact $J = [\alpha, \beta]$ contenu dans $I$, posons alors

pour que $f$ admette une intégrale dans $I$, il faut et il suffit que l’application $J \mapsto \int_J f(t) \, dt$ ait une limite dans $E$ suivant l’ensemble ordonné filtrant $\mathfrak{A}(I)$; cette limite est alors l’intégrale $\int_I f(t) \, dt$, que nous noterons encore $\int_1 f(t) \, dt$.

1 Rappelons (E, III, p. 12) qu’un ensemble $\mathfrak{F}$ de parties de $I$ est filtrant pour la relation $\subset$ si, quels que soient $X \in \mathfrak{F}$, $Y \in \mathfrak{F}$ il existe $Z \in \mathfrak{F}$ tel que $X \subset Z$ et $Y \subset Z$. Si $S(X)$ désigne la partie de $\mathfrak{F}$ formée des $Y \in \mathfrak{F}$ tels que $U \supset X$, les $S(X)$ forment la base d’un filtre sur $\mathfrak{F}$, dit filtre des sections de $\mathfrak{F}$; la limite (si elle existe) d’une application $f$ de $\mathfrak{F}$ dans un espace topologique, suivant le filtre des sections de $\mathfrak{F}$, est encore dite limite de $f$ suivant l’ordonné filtrant $\mathfrak{F}$ (cf. TG, I, p. 49 et TG, IV, p. 18).