Exemple

Étiquette 0E5G, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E5G].

Functions of a Real Variable, chapter II, § 2. Intégrales dans les intervalles non compacts

Si l’intervalle $I$ est borné, et si $f$ est bornée dans $I$ , l’intégrale $\int_I f(t)\ dt$ existe toujours, car d’après le th. de la moyenne, on a pour $y \leq \alpha \leq \beta \leq z$

\left\| \int_y^\alpha f(t)\ dt \right\| \leq (\alpha - a) \sup_{x \in I} \| f(x) \|, \qquad \left\| \int_\beta^z f(t)\ dt \right\| \leq (b - \beta) \sup_{x \in I} \| f(x) \|

et il suffit de prendre

\alpha - a

b - \beta

assez petits pour que le critère de Cauchy soit satisfait.

On notera que, dans ce cas, une primitive de $f$ dans $I$ n’a pas nécessairement de dérivée à droite (resp. à gauche) à l’origine (resp. l’extrémité) de $I$ (lorsque ce nombre est fini) contrairement à ce qui a lieu lorsque $I$ est compact et $f$ réglée dans $I$ (cf. II, p. 33, exerc. 1).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.