Exemple 2

Soit F un ensemble quelconque; l’espace $\mathscr{B}(F)$ des fonctions numériques bornées dans F, muni de la structure d’ordre induite par celle de $\mathbf{R}^F$, est complètement réticulé. Par contre, si F est un espace topologique, l’espace $\mathscr{C}(F)$ des fonctions numériques continues dans F (muni de la structure d’ordre induite par celle de $\mathbf{R}^F$) est un espace de Riesz qui en général n’est pas complètement réticulé (cf. exerc. 13). Considérons par exemple le cas où $F = \mathbf{R}$; soient I l’intervalle ]0, 1[, $\varphi_I$ la fonction caractéristique de I, et soit H l’ensemble des fonctions continues $x(t)$ telles que $x \leqslant \varphi_I$; il est clair que H est majoré dans $\mathscr{C}(F)$. La fonction $\varphi_I$ est l’enveloppe supérieure des $x \in H$, mais non leur borne supérieure dans $C(F)$, puisque $\varphi_1$ est semi-continue inférieurement et non continue. Montrons qu’en fait $H$ n’a pas de borne supérieure dans $C(F)$; il suffit de prouver que, si $u$ est une fonction continue telle que $u \geq \varphi_1$, il existe une fonction continue $v \neq u$ telle que $u \geq v \geq \varphi_1$. Or, on a $u(0) \geq 1$, donc il existe un nombre $\alpha > 0$ tel que $u(t) > 0$ pour $-\alpha \leq t \leq 0$; si $w$ est une fonction continue nulle hors de l’intervalle $]-\alpha, 0[$, et telle que $0 < w(t) < u(t)$ dans cet intervalle, la fonction $v = u - w$ répond à la question.