Lemme 1

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Integration, chapter II, § 2. Formes linéaires sur un espace de Riesz

Soient $E$ un espace vectoriel ordonné filtrant, $E^*$ son dual, ordonné en prenant pour éléments positifs les formes linéaires positives. Soit $(u_\alpha)$ une famille filtrante croissante d’éléments de $E^*$ . Si, pour tout $x \geq 0$ dans $E$ , on a $\sup u_\alpha(x) < +\infty$ , alors la famille $(u_\alpha)$ admet une borne supérieure $u$ dans $E^*$ , et pour tout $x \geq 0$ dans $E$ , on a

(2)

u(x) = \sup_\alpha u_\alpha(x).

Dans l’ensemble $P$ des $x \geq 0$ dans $E$ , définissons en effet l’application $u$ par la formule (2); il est immédiat que pour $\lambda \geq 0$ et $x \in P$ , on a $u(\lambda x) = \lambda u(x)$ ; pour prouver le lemme, il suffit donc, en vertu de la prop. 2 du n° 1, de montrer que l’on a

u(x + y) = u(x) + u(y)

pour

x, y

dans

P

. Or cela est immédiat si l’on remarque que l’on a

u(x) = \lim u_\alpha(x)

suivant l’ensemble filtrant des indices (théorème de la limite monotone).

De la formule (1) on déduit aussitôt que si $L$ et $M$ sont deux formes linéaires relativement bornées sur $E$ , on a, pour tout $x \geq 0$

(3)

\begin{cases} \sup (L, M)(x) = \sup_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} (L(y) + M(z)) \\ \inf (L, M)(x) = \inf_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} (L(y) + M(z)). \end{cases}

En particulier, si dans la première de ces formules, on remplace $M$ par $-L$ , il vient

|L|(x) = \sup_{y \geq 0, z \geq 0, y + z = x} L(y - z).

Or, si $x = y + z, y \geq 0$ et $z \geq 0$ , on a $-x \leq y - z \leq x$ ; inversement, la relation $|u| \leq x$ entraîne $L(u) \leq |L|(|u|) \leq |L|(x)$ . On en déduit la formule

(4)

|L|(x) = \sup_{|y| \leq x} L(y) \quad \text{pour } x \geq 0,

d’où en particulier (5)

|L(x)| \leq |L|(|x|)

pour tout

x \in \mathbf{E}

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.