Exemple 2

Étiquette 0E5X, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 0E5X].

Integration, chapter III, § 1. Mesures sur les espaces localement compacts

La mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$ n’est pas bornée : en effet, pour tout entier $n > 0$ , il existe une fonction $f \in \mathscr{H}(\mathbf{R}; \mathbf{C})$ , à valeurs dans $[0, 1]$ et égale à 1 dans l’intervalle $[-n, n]$ (n° 2, lemme 1); on a donc $\|f\| = 1$ et

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx \geqslant \int_{-n}^{n} f(x)\, dx = 2n,

ce qui prouve qu’il n’existe aucun nombre fini

M

vérifiant la relation (19).

Bourbaki place la démonstration juste après l’énoncé : ce qui précède est l’énoncé avec sa démonstration.

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Rien.

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Rien.